Cálculo
Volumen I
INTERACTIVO

Elena E. Álvarez Saiz
Universidad de Cantabria

Juan Guillermo Rivera Berrío
Institución Universitaria Pascual Bravo

Red Educativa Digital Descartes


Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2021

Título de la obra:
Cálculo - Volumen I
Interactivo

Autores:
Elena Esperanza Álvarez Saiz
Juan Guillermo Rivera Berrío

Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$

Obra derivada del libro Calculus Volume 1 de:
Gilbert Strang (Massachusetts Institute of Technology)
Edwin “Jed” Herman (University of Wisconsin-Stevens Point)

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN Obra completa: 978-84-18834-18-9
ISBN Volumen I: 978-84-18834-19-6

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

Tabla de contenido

Prefacio

Este libro digital interactivo se ha diseñado con fundamento en la filosofía del Proyecto Descartes: "Trabajando altruistamente por la comunidad educativa de la aldea global", que sólo busca desarrollar contenidos educativos para el provecho de la comunidad académica, esperando únicamente como retribución el uso y difusión de estos contenidos. El contenido del libro, al igual que los objetos interactivos se han diseñado de forma que se puedan leer en ordenadores y dispositivos móviles sin necesidad de instalar ningún programa o plugin. El libro se puede descargar para su uso en local sin dependencia de la red. Algunos de los objetos interactivos se han diseñado con el Editor DescartesJS.

El contenido del libro se basa en un recurso de OpenStax, organización sin fines de lucro de la Universidad de Rice, cuya misión, similar a la nuestra, es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. El libro corresponde al Volumen 1 de Cálculo, que cubre funciones elementales, límites, derivadas y sus aplicaciones e integración.

Funciones y gráficas

1.1 Introducción

Figura 1.1. Una porción de la falla de San Andrés en California. Grandes fallas como esta aparecen en los terremotos más fuertes registrados. (crédito: modificación del trabajo por Robb Hannawacker, NPS)

En los últimos años, se han producido grandes terremotos en varios países del mundo. En enero de 2010, un terremoto de magnitud 7.3 golpeó Haití. Un terremoto de magnitud 9 sacudió el noreste de Japón en marzo de 2011. En abril de 2014, un terremoto de magnitud 8.2 sacudió la costa del norte de Chile. ¿Qué significan estos números? En particular, ¿cómo se compara un terremoto de magnitud 9 con un terremoto de magnitud 8.2? ¿o 7.3? Más adelante, en este capítulo, mostraremos cómo se utilizan las funciones logarítmicas para comparar la intensidad relativa de dos terremotos en función de la magnitud de cada uno de ellos (ver Ejemplo 1.39).

El cálculo es la matemática que describe los cambios en las funciones. En este capítulo, se revisarán todas las funciones necesarias para su estudio. Se definirán las funciones polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Se analizará cómo evaluar estas funciones y se mostrarán las propiedades de sus gráficas.

En este capítulo se proporcionarán también ejemplos de ecuaciones que involucran estas funciones y se ilustrarán técnicas algebraicas que se requieren para resolverlas. En resumen, este capítulo proporcionará la base para el estudio del material de los capítulos siguientes. Es por ello esencial, estar familiarizado con estos conceptos antes de proceder a la introducción formal del cálculo en el próximo capítulo.

1.2 Conceptos básicos de funciones

1. Usar la notación funcional para evaluar una función.
2. Determinar el dominio y el rango de una función.
3. Dibujar la gráfica de una función.
4. Encontrar los ceros de una función.
5. Reconocer una función a partir de una tabla de valores.
6. Construir nuevas funciones a partir de otras dadas.
7. Describir las propiedades de simetría de una función.

En esta sección, se analizará la definición de una función y se examinarán varias formas de representarlas: a través de tablas, fórmulas y gráficas. Se estudiará cómo denotar una función y los términos relacionados con este concepto. También se definirá la composición de funciones y las propiedades de simetría. La mayor parte de este material posiblemente sea ya conocido, pero sirve como referencia útil para recordar algunas de las técnicas algebraicas que se requieren para trabajar con funciones.

1.2.1 Definición de función

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, se puede definir una relación de $A$ a $B$ a partir de pares ordenados $(x, y)$, donde $x$ es un elemento de $A$ e $y$ es un elemento de $B$.

Una relación de $A$ a $B$ define un vínculo entre esos dos conjuntos. Una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado con exactamente un elemento del segundo conjunto. El elemento del primer conjunto se llama entrada u origen. El elemento del segundo conjunto se denomina salida o imagen. Para cualquier función, cuando conocemos el origen, se determina la imagen, por lo que decimos que la imagen es una función del origen.

Por ejemplo, el área de un cuadrado está determinado por su longitud lateral, esto significa que el área (la salida o imagen) es una función de su longitud lateral (el origen). La velocidad de una pelota lanzada al aire puede describirse como una función de la cantidad de tiempo que la pelota está en el aire. El coste de enviar un paquete por correo es una función del peso del paquete. Como las funciones tienen muchos usos, es importante tener definiciones precisas y terminología adecuada para poder estudiarlas.

Por ejemplo, consideremos la función $f$, donde el dominio es el conjunto de todos los números reales y la regla consiste en obtener el cuadrado de cada número. Así, a la entrada $x = 3$ se le asigna la salida $3^2 = 9$.

Como cada número real no negativo tiene una raíz cuadrada de valor real, será un elemento del rango de esta función. Como no hay números reales con un cuadrado que sea negativo, los números reales negativos no formarán parte del rango o imagen. Concluimos por tanto que el rango es el conjunto de números reales no negativos.

Para una función general $f$ con dominio $D$, es frecuente utilizar $x$ para denotar la entrada y utilizamos $y$ para denotar la imagen o salida asociada a $x$. Al hacerlo, nos referimos a $x$ como la variable independiente e $y$ como la variable dependiente, ya que depende de $x$. Usando la notación de función, se escribirá $y = f (x)$, y esta expresión se leerá de la siguiente forma: "$y$ es igual a $f$ de $x$". Así, la función descrita anteriormente que eleva al cuadrado cada número, se escribirá $f (x) = x^2$.

El concepto de una función se puede visualizar utilizando la Figura 1.2, Figura 1.3 y la Figura 1.4.

Figura 1.2 Una función se puede visualizar como un dispositivo de entrada/salida.

Figura 1.3 Una función asigna cada elemento del dominio exactamente un único elemento en el rango. Aunque a cada entrada se puede asignar una sola salida, es posible asignar a dos entradas diferentes la misma salida.

Figura 1.4 En este caso, la gráfica de la función $f$ tiene como dominio el conjunto $\{1,2,3\}$ y como rango $\{1,2\}$. La variable independiente es $x$ y la variable dependiente es $y$.

También se puede visualizar una función trazando puntos $(x, y)$ en el plano de coordenadas siendo $y = f (x)$. La gráfica de una función consiste en el conjunto de todos estos puntos.

Por ejemplo, consideremos la función $f$, donde el dominio es el conjunto $D = \{1,2,3\}$ y la regla es $f (x) = 3-x$. En la Figura 1.5, se da una representacion gráfica de esta función.

Figura 1.5 Gráfica de la función $f$ que viene dada por $f (x) = 3-x$ en el dominio $\{1,2,3\}$. La gráfica consta de los puntos $(x, f (x))$ para todos los $x$ en el dominio.

En la siguiente escena interactiva traducida de la propuesta por J Mulholland, se ilustra cómo una función asigna para cada entrada una salida.

Una vez elegida la función con el deslizador que se muestra en la parte superior izquierda, basta mover el punto rojo, la entrada, para ver el valor de la función en dicho punto, la salida.

Se debe observar que para cada ejemplo de función que se puede elegir, cada entrada tiene una única salida.

En la siguiente escena interactiva se muestra el dominio y el rango de una función determinado por la expresión $f(x)$.

Cada función tiene un dominio. Sin embargo, a veces una función viene dada por una expresión, como por ejemplo $f (x) = x^2$ sin especificar explícitamente cuál es. En este caso, se considerará que el dominio es el conjunto de todos los números reales $x$ para los cuales $f (x)$ es un número real. Dado que se puede obtener el cuadrado de cualquier número real se considerará, salvo que se indique otro conjunto, que el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

Si por ejemplo se considerara la función raíz cuadrada $f (x) = \sqrt{x}$, como solo se obtiene un valor real si $x$ es no negativo, su dominio será el conjunto de los números reales no negativos. Este conjunto se suele llamar su dominio natural.

Para las funciones $f (x) = x^2$ y $f (x) = \sqrt{x}$, los dominios son conjuntos formados por un número infinito de elementos no pudiendo por ello enumerar todos sus elementos.

A menudo, al describir un conjunto con un número infinito de elementos, es útil usar la notación de conjuntos o de intervalo. Cuando se usa la notación de conjuntos para describir un subconjunto de todos los números reales, denotado ${\R}$, se escribe $$\{x | x \text{ tiene alguna propiedad}\}$$

Esta expresión se lee como el conjunto de los números reales $x$ tal que $x$ tiene alguna propiedad. Por ejemplo, si estuviéramos interesados en el conjunto de números reales que son mayores que uno pero menores que cinco, podríamos denotar este conjunto escribiendo

A un conjunto como este, que contiene todos los números mayores que $a$ y menores que $b$, también se le puede denotar utilizando la notación de intervalo $(a, b)$. Por lo tanto,

Podemos usar una notación similar si queremos incluir uno de los puntos finales, pero no el otro. Para denotar el conjunto de números reales no negativos, podríamos usar la siguiente notación

El número más pequeño en este conjunto es cero, pero para este conjunto no existe un número que sea más grande que todos sus elementos. Usando notación de intervalo, usaríamos el símbolo $\infty$ que se refiere al infinito positivo, y escribiríamos el conjunto como $$[0, \infty) = \{x | 0 ≤ x\}$$

Es importante tener en cuenta que $\infty$ no es un número real. Aquí se usa simbólicamente para indicar que este conjunto incluye todos los números reales mayores o iguales que cero. Del mismo modo, si quisiéramos describir el conjunto de todos los números no positivos, podríamos escribir

La notación $-\infty$ se refiere al infinito negativo e indica que estamos incluyendo todos los números menores o iguales a cero, sin importar cuánto. El conjunto

describiría al conjunto de todos los números reales.

Algunas funciones se definen usando diferentes expresiones para diferentes partes de su dominio. Estos tipos de funciones se conocen como funciones definidas por tramos o a trozos. Por ejemplo, supongamos que queremos definir una función $f$ con un dominio que es el conjunto de todos los números reales de modo que $f (x) = 3x + 1$ para $x\ge 2$ y $f (x) = x^2$ para $x <2$. Para expresar esta función se escribirá

Al evaluar esta función para una entrada $x$, la ecuación a utilizar dependerá de si $x \ge 2$ o si $x < 2$.

Por ejemplo, como $5> 2$, utilizaremos el hecho de que $f (x) = 3x + 1$ para $x\ge 2$ y se tendrá que $f (5) = 3 \cdot 5 + 1 = 16$. Por otro lado, para $x =-1$, como $f (x) = x^2$ para $x ≤2$ se tendrá $f (-1) = 1.$

1.1 Evaluando funciones

Para la función $f(x)=3x^2+2x-1$, evaluar

1. $f(-2)$
2. $f(\sqrt{2})$
3. $f(a+h)$

En la siguiente escena interactiva se obtiene el dominio y el rango de varias funciones. Esta escena está tomada del Proyecto EDAD y diseñada por la profesora María José García Cebrian.

En la siguiente escena interactiva se muestra cómo obtener el rango de algunas funciones.

1.2.2 Representación de funciones

Típicamente, una función se representa usando una o más de las siguientes herramientas:

• Una tabla.
• Una gráfica.
• Una fórmula.

Podemos identificar una función de cualquiera de las tres formas, pero también se pueden utilizar de forma conjunta. Por ejemplo, podemos trazar en un gráfico los valores de una tabla o crear una tabla a partir de una fórmula.

Tablas

Las funciones descritas usando una tabla de valores surgen con frecuencia en aplicaciones del mundo real.

Consideremos el siguiente ejemplo sencillo que consiste en obtener la temperatura en un día determinado en función de la hora del día, para ello se registra la temperatura cada hora durante un período de 24 horas a partir de la medianoche. La variable de entrada $x$ será el tiempo medido en horas después de la medianoche, y la variable de salida $y$ será la temperatura medida en grados Fahrenheit transcurridas $x$ horas después de la medianoche. Registramos nuestros datos en la Tabla 1.1.

Podemos ver en la tabla que la temperatura es una función del tiempo. Se observa que la temperatura disminuye, luego aumenta y finalmente vuelve a decrecer. Sin embargo, no podemos conocer el comportamiento de la función sin representar su gráfica.

Tabla 1.1 Temperatura en función de la hora del día

Gráfica

A partir de los puntos trazados en el gráfico de la Figura 1.6 obtenidos de la tabla 1.1, podemos visualizar la forma general del gráfico. A menudo es útil unir los puntos en el gráfico que representan los datos de la tabla. En este ejemplo, aunque no podemos llegar a una conclusión definitiva con respecto a la temperatura en un momento para el que no se registró la temperatura, dada la cantidad de puntos de datos recopilados y el patrón de estos puntos, es razonable sospechar que las temperaturas siguieron un comportamiento similar al que podemos ver en la Figura 1.7.

Figura 1.6 Gráfica correspondiente a los datos de la tabla 1.1 considerando la temperatura como función dependiente del tiempo-

Figura 1.7 Uniendo los puntos de la figura 1.6 se muestra el patrón de los datos.

Fórmulas algebraicas

A veces no tenemos los valores de una función en forma de tabla, sino que los valores vienen dados en una fórmula explícita. Las fórmulas surgen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, el área de un círculo de radio $r$ viene dada por la fórmula $$A (r) = \pi r^2.$$ Cuando un objeto se lanza hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial $v_0$ pies¹ por segundo, su altura sobre el suelo desde el momento en que se arroja hasta que toca el suelo viene dada por la fórmula $$s (t) = - 16t^2 + v_0t$$ Cuando se invierten $P$ dólares en una cuenta a una tasa de interés anual $r$ compuesta continuamente, la cantidad de dinero después de $t$ años viene dada por la fórmula $$A (t) = Pe^{rt}$$

En la siguiente escena, del libro Cálculo Diferencial Interactivo cuyo editor es Juan Gmo. Rivera, se muestra cómo evaluar una función en los puntos $x$ de valores $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ cuando la función considerada es $f(x)$. Haciendo clic sobre cada número se mostrará el valor de la función en el punto correspondiente.

Las fórmulas algebraicas son herramientas importantes para calcular valores de funciones. A menudo también representamos estas funciones visualmente en forma de gráfica.

Dada una fórmula algebraica para una función $f$, la gráfica de $f$ es el conjunto de puntos $(x, f (x))$, donde $x$ está en el dominio de $f$ y $f(x)$ está en el rango. Para graficar una función dada por una fórmula, es útil comenzar usando la fórmula para crear una tabla de entradas y salidas. Si el dominio de $f$ consiste en un número infinito de valores, no podemos enumerarlos todos, pero puede ser muy útil, para comenzar, dar valor a alguna de las entradas y obtener su imagen.

Al crear una tabla de entradas y salidas, generalmente verificamos si cero es una salida. Los valores de $x$ donde $f (x) = 0$ se llaman ceros de una función.

Por ejemplo, los ceros de $f (x) = x^2-4$ son $x = ± 2$. Los ceros determinan dónde la gráfica de $f$ corta al eje $X$, lo que da más información sobre ella. La gráfica puede no cortar nunca al eje $X$, o cortarlo múltiples veces, incluso infinitas veces.

Otro punto de interés, es la intersección con el eje $Y$. Cuando exista, vendrá dado por el punto $(0, f (0))$. Como una función tiene exactamente una única imagen para cada punto del dominio, el gráfico de una función puede tener, como máximo, una intersección con el eje $Y$.

• Si $x = 0$ está en el dominio de una función $f$, $f$ cortará exactamente una vez al eje $Y$.
• Si no está en el dominio entonces no habrá ningún punto de intersección con dicho eje.

De manera similar, para cualquier número real $c$,

• si $c$ está en el dominio de $f$, hay exactamente un valor de $f (c)$, y la recta $x = c$ corta a la gráfica de $f$ exactamente una vez.
• si $c$ no está en el dominio de $f$, $f (c)$ no está definida y la recta $x = c$ no corta a la gráfica de $f$.

Figura 1.8 (a) El conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función porque cada línea vertical se cruza con el conjunto de puntos, como máximo, una vez. (b) El conjunto de puntos trazados no representa la gráfica de una función porque algunas rectas verticales se cruzan con el conjunto de puntos más de una vez.

Practica lo anterior en la siguiente escena tomada del Proyecto EDAD diseñada por la profesora María José García Cebrian. Observa la gráfica de la función y haz clic en los botones "SI" o "NO", según el caso.

Para la función del ejemplo anterior y para la función $f (x) = - 4x + 2$ representada en la Figura 1.9, los valores de $f(x)$ se hacen más pequeños a medida que $x$ se hace más grande. Se dice que una función con esta propiedad es decreciente. Por otro lado, para la función $f (x) =\sqrt{ x + 3} + 1$ cuya gráfica se muestra en la Figura 1.10, los valores de $f (x)$ aumentan a medida que aumentan los valores de $x$. Se dice que una función con esta propiedad es creciente.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que una función puede aumentar en algunos intervalos y disminuir en otros diferentes. Por ejemplo, usando la función de temperatura vista anteriormente en la Figura 1.6, observamos que la función está decreciendo en el intervalo $(0,4)$, aumenta en el intervalo $(4,14)$ y luego disminuye en el intervalo $(14,23)$.

Expresamos a continuación con más precisión la idea de que una función aumente o disminuya en un intervalo determinado.

Por ejemplo,

• la función $f(x) = 3x$ aumenta en el intervalo $(-\infty, \infty)$ porque $3x_1 <3x_2$ siempre que $x_1 < x_2$.
• Por otro lado, la función $f(x) = - x^3$ es decreciente en el intervalo $(-\infty, \infty)$ porque $-{x_1}^3 \ge -{x_2}^3$ siempre que $x_1 <x_2$

1.2.3 Combinación de funciones

Ahora que hemos revisado las características básicas de las funciones, vamos a analizar qué sucede cuando generamos nuevas

funciones combinando funciones mediante la aplicación de operaciones matemáticas básicas.

Figura 1.11 (a) La función $f(x) = 3x$ aumenta en el intervalo $(-\infty, \infty)$. (b) La función $f(x) =-x^3$ está disminuyendo en el intervalo $(-\infty, \infty)$.

Por ejemplo, si la función $C (x)$ describe el coste para una empresa de fabricar $x$ artículos y la función $R (x)$ describe los ingresos generados por la venta de $x$ artículos, entonces el beneficio de la fabricación y venta de $x$ elementos se define como $P (x) = R (x)-C (x)$. Usando la diferencia entre dos funciones, se ha creado una nueva función, veamos un ejemplo de cómo generar una nueva función componiendo dos funciones.

Por ejemplo, dadas las funciones $f (x) = x^2$ y $g (x) = 3x + 1$, la función $g$ compuesta con $f$, que se denota por $f\circ g$ se define de manera que $$(f\circ g) (x) = f (g (x)) = (g (x))^2 = (3x + 1)^2$$

Si se compone $f$ con $g$, es decir $g\circ f$, la función que se obtiene es $$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = 3f (x) + 1 = 3x^2 + 1$$ Se debe observar que estas dos nuevas funciones, $f\circ g$ y $g\circ f$, son diferentes entre sí.

Vamos a analizar con más detalle la generación de funciones a partir de otras dadas.

Combinando funciones con operadores matemáticos

Para combinar funciones usando operadores matemáticos, simplemente aplicamos a las funciones el operador y simplificamos la expresión que se obtenga.

Así, dadas dos funciones $f$ y $g$, podemos definir las siguientes funciones nuevas:

1. Suma: $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$
2. Diferencia: $(f - g) (x) = f (x) -g (x)$
3. Producto: $(f \cdot g) (x) = f (x)\cdot g (x)$
4. Cociente: $(f/g) (x) = f (x) / g (x)$ para $g (x) \ne 0$

1.6 Combinando funciones usando operaciones matemáticas

Dada la función $f(x)=2x-3$ y $g(x)=x^2-1$, encuentra para cada función su dominio.

1. $(f+g)(x)$
2. $(f-g)(x)$
3. $(f\cdot g)(x)$
4. $(f/g)(x)$

Cuestión 1.4

Para $f(x)=x^2+3$ y $g(x)=2x-5$, encuentra $(f/g)(x)$ y su dominio.

Función composición

Cuando componemos funciones, aplicamos una función a una función. Por ejemplo, supongamos que la temperatura $T$ en un día dado se describe como una función del tiempo $t$ medido en horas después de la medianoche, como en la Tabla 1.1.

Supongamos también que el coste $C$, para calentar o enfriar un edificio durante una hora, puede describirse como una función de la temperatura $T$. Combinando estas dos funciones, podemos describir el coste de calentar o enfriar un edificio como una función del tiempo mediante la evaluación de $C (T (t))$.

Hemos definido así una nueva función, denominada $C\circ T$, que se define de la siguiente manera: $(C\circ T) (t) = C (T (t))$ para todas las $t$ en el dominio de $T$ que cumplan que $T(t)$ es un punto del dominio de $C$.

Esta nueva función se denomina función compuesta . Notamos que dado que el coste es una función de la temperatura y la temperatura es una función del tiempo, tiene sentido definir esta nueva función $(C\circ T) (t)$, pero no tiene sentido considerar $(T\circ C) (t)$, porque la temperatura no es una función del coste.

Una función compuesta $g\circ f$ se puede ver en dos pasos. Primero, la función $f$ asigna cada entrada $x$ en el dominio de $f$ su imagen $f (x)$ en el rango de $f$. En segundo lugar, dado que el rango de $f$ es un subconjunto del dominio de $g$, el valor $f (x)$ es un elemento en el dominio de $g$ y, por lo tanto, se puede considerar $g (f (x))$ en el rango de $g$.

En la Figura 1.12>, se muestra una representacion visual de la composición de funciones.

Figura 1.12 Para la composición $g\circ f$, tenemos $(g \circ f)(1)=4$,$(g\circ f)(2)=5$, y $(g\circ f)(3)=4$.

En la siguiente escena interactiva diseñada en GeoGebra por Javier Cayetano, se muestra cómo componer distintas funciones.

1.7 Composición de funciones definidas por fórmulas

Consideramos las funciones $f(x)=x^2+1$ y $g(x)=1/x$

1. Encuentra $(g\circ f)(x)$ y determina su dominio y rango.
2. Evalúa $(g\circ f)(4)$, $(g \circ f)(-1/2)$.
3. Encuentra $(f \circ g)(x)$ y determina su dominio y rango.
4. Evalúa $(f \circ g)(4)$, $(f \circ g)(-1/2)$.

En el ejemplo 1.7, vemos que $(f\circ g)(x)\ne(g \circ f)(x)$. Esto nos indica que el orden en el que se componen las funciones, en general, es importante.

Cuestión 1.5

Sea $f(x)=2-5x$, $g(x)=\sqrt{x}$, encuentra $(f \circ g)(x)$.

1.8 Composición de funciones definidas por tablas

Se consideran las funciones $f$ y $g$ de las tablas 1.4 y 1.5.

Tabla 1.4

Tabla 1.5

1.9 Aplicación de la composición de funciones

Una tienda está anunciando una venta del 20% de descuento en toda la mercancía. Carolina tiene un cupón que le da derecho a un 15% de descuento adicional en cualquier artículo, incluidos los productos en oferta.

Cuestión 1.6

Si los artículos están en oferta con un 10% de descuento sobre su precio original y un cliente tiene un cupón con un 30% de descuento adicional, ¿cuál será el precio final de un artículo que originalmente cuesta $x$ dólares, después de aplicar el cupón al precio de oferta?

1.2.4 Simetría de funciones

Las gráficas de ciertas funciones tienen propiedades de simetría que nos ayudan a comprender la función y la forma de su gráfica. Por ejemplo, consideremos la función $f (x) = x^4-2x^2-3$ que se muestra en la Figura 1.13a. Si tomamos la parte de la curva que se encuentra a la derecha del eje $Y$ y la volteamos sobre el eje $Y$, se sitúa exactamente encima de la curva a la izquierda del eje $Y$. En este caso, decimos que la función tiene simetría con respecto al eje $Y$.

Por otro lado, consideremos la función $f (x) = x^3-4x$ que se muestra en la Figura 1.13b. Si tomamos el gráfico y lo giramos 180° sobre el origen, el nuevo gráfico se verá exactamente igual. En este caso, decimos que la función tiene simetría con respecto al origen.

Figura 1.13 (a) Una gráfica que es simétrica respecto del eje $Y$ (b) Una imagen que es simétrica respecto del origen.

En la figura 1.13a, correspondiente a la función $$f (x) = x^4 - 2 x^2 - 3$$ el eje $X$ va de -3 a 4 y el eje $Y$ va de -4 a 5. Esta función disminuye hasta que llega al punto (-1, -4), que es el mínimo de la función. La gráfica aumenta hasta el punto (0,3), que es un máximo local. Luego, el gráfico disminuye hasta que llega al punto (1, -4), antes de volver a aumentar.

En la figura del apartado b), la función que se representa es $$f (x) = x^3 - 4 x$$ y su gráfica comienza en la intersección con $x$ en $(-2, 0)$ y aumenta hasta el punto aproximado de $(-1.2, 3.1)$.

Luego, la función disminuye, pasando por el origen, hasta que llega al punto aproximado de $(1.2, -3.1)$. Después, la función comienza a aumentar nuevamente y tiene otra intersección $x$ en $(2, 0)$.

Si se nos dan la gráfica de una función, es fácil ver si tiene uno de estos dos tipos de simetría. Pero sin una gráfica, ¿cómo podemos determinar algebraicamente si una función $f$ tiene simetría? Mirando la Figura 1.13 a nuevamente, vemos que dado que $f$ es simétrica con respecto al eje $Y$, si el punto $(x, y)$ está en la gráfica, el punto $(-x, y)$ también está. En otras palabras, $f (-x) = f (x)$. Si una función $f$ tiene esta propiedad, decimos que $f$ es una función par, esto es, que tiene simetría con respecto al eje $Y$. Por ejemplo, $f (x) = x^2$ es par porque

Por el contrario, fijándonos en la Figura 1.13b, si una función $f$ es simétrica con respecto al origen, entonces siempre que el punto $(x, y)$ está en la gráfica, el punto $(-x, -y)$ también está en la gráfica. En otras palabras, $f (-x) = - f (x)$. Si $f$ tiene esta propiedad, decimos que $f$ es una función impar, que tiene simetría con respecto al origen. Por ejemplo, $f (x) = x^3$ es impar porque $$f (-x) = (- x)^3 = -x^3 = -f (x)$$

1.10 Funciones pares e impares

Determinar, para cada una de las siguientes funciones, si tienen simetría par, impar o ninguna de ellas.

1. $f(x)=-5x^4+7x^2-2$
2. $f(x)=2x^5-4x+5$
3. $f(x)=3x^2+1$

Cuestión 1.7

Determina si $f(x)=4x^3-5x$ es par, impar o ni par ni impar.

Una función simétrica que surge con frecuencia es la función valor absoluto que se escribe $|x|$. Se define como $$f(x) = \begin{cases} -x & \text{si $x<0$} \\ x & \text{si $x \ge 0$} \end{cases} \tag{$1.2$}$$

Algunos estudiantes describen esta función diciendo que "hace que todo sea positivo".

Por la definición de la función valor absoluto, vemos que si $x <0$, entonces $| x | = -x> 0$, y si $x> 0$, entonces $| x | = x> 0$. Sin embargo, para $x = 0$, $| 0 | = 0$. Por lo tanto, es más exacto decir que para todas las entradas distintas de cero, la imagen es positiva, pero si $x = 0$, la imagen es cero, $| 0 | = 0$. Concluimos que el rango de la función valor absoluto es $$\{y | y \ge 0\}$$

En la figura 1.14, se muestra que la función valor absoluto es simétrica con respecto al eje $Y$ siendo, por lo tanto, una función par.

En la figura, el eje $X$ va de -3 a 3 y el eje $Y$ va de -4 a 4. La gráfica comienza en el punto $(-3, 3)$ y disminuye en línea recta hasta que llega al origen. Luego, la gráfica aumenta en línea recta hasta que llega al punto $(3, 3)$.

Figura 1.14 La gráfica de $f(x)=|x|$ es simétrica respecto del eje $Y$.

1.11 Trabajando con la función valor absoluto

Encuentra el dominio y el rango de $f(x)=2|x-3|+4$.

Cuestión 1.8

Dada $f(x)=|x+2|-4$, encuentra el dominio y el rango.

1.2.5 Ejercicios

A continuación, encontrarás varios ejercicios para que confrontes lo aprendido. Lo ejercicios correspondientes a numerales impares, presentan la solución.

Para los siguientes ejercicios, (a) determina el dominio y el rango de cada relación y (b) determina cuando la relación es una función.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Para los siguientes ejercicios encuentra, si existen, los valores para cada función y da los resultados simplificados.
a. $f(0)$ b. $f(1)$ c. $f(3)$ d. $f(-x)$ e. $f(a)$ f. $f(a+h)$

7. $f(x)=\frac{2}{x}$ (Solución)

8. $f(x)=5x-2$

9. $f(x)=4x^2-3x+1$ (Solución)

10. $f(x)=|x-7|+8$

11. $f(x)=\sqrt{6x+5}$ (Solución)

12. $f(x)=\frac{x-2}{3x+7}$

13. $f(x)=9$ (Solución)

Para los siguientes ejercicios, encuentra el dominio, rango, los ceros y la intersección con el eje $y$ de las funciones siguientes:

14. $f(x)=\frac{x}{x^2-16}$

15. $f(x)=\sqrt{8x-1}$ (Solución)

16. $f(x)=\frac{3}{x^2+4}$

17. $f(x)=-1+\sqrt{x+2}$ (Solución)

18. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-9}}$

19. $f(x)=\frac{3}{x-4}$ (Solución)

20. $f(x)=4|x+5|$

21. $f(x)=\sqrt{\frac{7}{x-5}}$ (Solución)

Para los siguientes ejercicios, prepare una tabla para esbozar la gráfica de cada función utilizando los siguientes valores: $x=-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

22. $f(x)=x^2+1$

23. $f(x)=3x-6$

24. $f(x)=\frac{1}{2}x+1$

25. $f(x)=2|x|$

26. $f(x)=-x^2$