Solución

Paso 1

Después de sustituir en $x = 2$ , vemos que este límite tiene la forma $-1/0$ . Es decir, cuando $x$ se acerca a 2 por la izquierda, el numerador se acerca a $−1$ ; y el denominador se acerca a $0$ . En consecuencia, la magnitud de ${{x - 3} \over {x\left( {x - 2} \right)}}$ se vuelve infinito. Para tener una mejor idea de cuál es el límite, necesitamos factorizar el denominador:

\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 3} \over {{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 3} \over {x\left( {x - 2} \right)}}

Paso 2

Dado que $x − 2$ es la única parte del denominador que es cero cuando se sustituye $2$ , separamos $1 / (x − 2)$ del resto de la función:

\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 3} \over {x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 3} \over x} \cdot {1 \over {x - 2}}

Paso 3

Se tiene que $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 3} \over x} = {{ - 1} \over 2}$ y y $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {1 \over {x - 2}} = - \infty$ . Por lo tanto,

\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 3} \over {x\left( {x - 2} \right)}} = + \infty