Solución

Apartado a

Considere $f (x) = (x - 4)^2 + 5$.

Dominio: Dado que $f (x) = (x - 4)^2 + 5$ es un número real para cualquier número real $x$, el dominio de $f$ es el intervalo (−∞, ∞).

Rango: Como $(x - 4)^2 ≥ 0$, sabemos que $f (x) = (x - 4)^2 + 5 ≥ 5$. Por lo tanto, el rango debe ser un subconjunto de $\{y | y ≥ 5\}$.

Para mostrar que todos los elementos de este conjunto están en el rango, debemos mostrar que para un $y$ dado en ese conjunto, hay un número real $x$ tal que $$f (x) = (x - 4)^2 + 5 = y$$ Resolviendo esta ecuación para $x$, vemos que necesitamos $x$ tal que $(x - 4)^2 = y - 5$.

Esta ecuación se satisface siempre que exista un número real $x$ tal que $$x - 4 = ± \sqrt {y - 5}$$ Dado que $y ≥ 5$, la raíz cuadrada está bien definida. Concluimos que para $x = 4 ± \sqrt{y - 5}$, $f (x) = y$, y por lo tanto el rango es $\{y | y ≥ 5\}$.

Apartado b

Considere $f (x) = \sqrt{3x + 2} - 1$.

Dominio. Para encontrar el dominio de $f$, necesitamos que se verifique $3x + 2 ≥ 0.$ Resolviendo esta desigualdad, concluimos que el dominio es $$\{x | x ≥ −2/3\}$$

Rango. Para encontrar el rango de $f$, observamos que dado que $3x + 2 ≥ 0$, $$f (x) = \sqrt{3x + 2} - 1 ≥ −1$$ Por lo tanto, el rango de $f$ debe ser un subconjunto del conjunto $\{y | y ≥ −1\}$.

Para mostrar que todos los elementos de este conjunto están en el rango de $f$, necesitamos demostrar que para todo $y$ en este conjunto, existe un número real $x$ en el dominio tal que $f (x) = y$. Sea $y ≥ −1$, entonces, $f (x) = y$ si y solo si $\sqrt{3x + 2} - 1 = y$. Es decir, $\sqrt{3x + 2 }= y + 1$.

Dado que $y ≥ −1$, tal $x$ podría existir. Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación, tenemos $3x + 2 = (y + 1)^2$. Por lo tanto, necesitamos $$3x = (y + 1)^2 - 2$$ lo que implica que $$x=1/3(y+1)^2−2/3.$$ Necesitamos verificar que $x$ está en el dominio de $f$, es decir que es mayor o igual a $−2/3$. Dado que $y ≥ −1$, se cumple $$1/3(y+1)^2−2/3≥−2/3,$$ En consecuencia, existe un $x$ en el dominio de $f$ y concluirmos que el rango de $f$ es el conjunto $\{y|y≥−1\}$.

Apartado c

Consideramos $f(x)=3/(x−2)$.

Dominio. Como $3/(x−2)$ está definido cuando el denominador es no nulo, el dominio es $\{x|x≠2\}$.

Rango. Para encontrar el rango de $f$, necesitamos encontrar los valores de $y$ tales que existe un número real $x$ en el dominio con la propiedad $3/(x−2)=y$. Resolviendo la ecuación para $x$, encontramos que $x=3/y+2$.

Así, cuando $y≠0$, exitirá un número $x$ en el dominio tal que $f(x)=y$. Entonces el rango es $\{y|y≠0\}$.