Solución

Apartado a

Según la definición de la función logaritmo natural, $$ln(\frac{1}{x})= 4 \,\,\,\,\text{si y solo si}\,\,\,\, e^4= \frac{1}{x}$$. Por tanto, la solución es $x= 1 /e^4$.

Apartado b

Usando el producto y las propiedades de potencia de las funciones logarítmicas, reescribimos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente forma $$log_{10} \sqrt{x}+ log_{10}x\sqrt{x}= log_{10} x\sqrt{x}= log_{10}x^{3/2}= \frac{3}{2} log_{10} x.$$ Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como $$\frac{3}{2}log_{10}x= 2 \,\,\,\,\,o\,\,\,\,\,log_{10}x= \frac{4}{3}.$$ La solucion es $x= 10^{4/3}= 10\sqrt[3]{10}$.

Apartado c

Usando la propiedad de potencia de las funciones logarítmicas, podemos reescribir la ecuación como en $ln(2x) −ln(x^6)= 0$. Utilizando la propiedad del cociente, esto se convierte en $ln(\frac{2}{x^5})= 0$. Por lo tanto, $2 /x^5= 1$, lo que implica $x= \sqrt[5]{2}$. A continuación, deberíamos comprobar si existen soluciones extrañas.