Solución

Apartado a

Usando la fórmula del ángulo doble para $cos (2θ)$, vemos que $θ$ es una solución de $$1 + cos (2θ) = cosθ$$ si y solo si $$1 + 2cos^2θ−1 = cosθ$$ que es cierto si y solo si $$2cos^2θ−cosθ= 0$$ Para resolver esta ecuación, es importante notar que necesitamos factorizar el lado izquierdo y no dividir ambos lados de la ecuación por $cosθ$. Si dividiéamos ambos lados de la ecuación por $cosθ$ perderíamos algunas de las soluciones de la ecuación original, es decir los valores de $θ$ para los que $cosθ=0$.

Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, vemos que $θ$ es una solución de esta ecuación si y solo si $$cosθ(2cosθ−1) = 0$$

• Cuando $cosθ= 0$ entonces $$θ=\frac{π}{2},\frac{π}{2} ±π,\frac{π}{2} ± 2π,…$$
• Cuando $cosθ= 1/2$ cuando $$θ=\frac{π}{3},\frac{π}{3} ± 2π,…\text{\,\,\,o\,\,\,} θ= -\frac{π}{3}, -\frac{π}{3} ± 2π,…,$$

Se llega entonces a la conclusión de que el conjunto de soluciones de esta ecuación es $$θ=\frac{π}{2}+nπ,θ=\frac{π}{3} + 2nπ, \text{\,\,\,y\,\,\,} θ= -\frac{π}{3} + 2nπ, \text{\,\,\,para\,\,\,} n= 0, ± 1, ± 2,….$$

Apartado b

Usando la fórmula de ángulo doble para $sen(2θ)$ y la identidad recíproca para $tg(θ)$, la ecuación se puede escribir como $$2sinθcosθ= \frac{sinθ}{cosθ}$$

Para resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por $cosθ$ para eliminar el denominador, y entonces si $θ$ satisface esta ecuación, entonces se cumple $$2sinθcos^2θ−senθ= 0$$

Sin embargo, debemos tener un poco de cuidado aquí. Incluso si $θ$ satisface esta nueva ecuación, es posible que no satisfaga la ecuación original porque, para satisfacer la ecuación original, necesitaríamos poder dividir ambos lados de la ecuación por $cosθ$. Sin embargo, si $cosθ= 0$, no podríamos dividir ambos lados de la ecuación por este valor.Por tanto, es posible que lleguemos a soluciones extrañas. Es por esto importante verificar al final si hay soluciones extrañas.

Volviendo a la ecuación, es importante que factoricemos pecadoθ de ambos términos en el lado izquierdo en lugar de dividir ambos lados de la ecuación por $senθ$. Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, podemos reescribir esta ecuación como $$senθ(2cos^2θ−1) = 0.$$ Por tanto, las soluciones vienen dadas por los ángulos $θ$ tal que $senθ= 0$ o $cos^2θ= 1/2$. Las soluciones de la primera ecuación son $$θ= 0, ±π, ± 2π,….$$ Las soluciones de la segunda ecuación son $$θ=π/ 4, (π/ 4) ± (π/ 2), (π/ 4) ±π,….$$ Después de verificar si todas son soluciones de la ecuación original, el conjunto de soluciones sería $$θ=nπ \text{\,\,\,y\,\,\,} θ=\frac{π}{4}+\frac{nπ}{1},\,\,\,\,n= 0, ± 1, ± 2,….$$