Solución

Se utilizará la derivación logarítmica para encontrar esta derivada. lny=ln(2x4+1)tgxPaso 1. tomando logaritmoslny=tgx  ln(2x4+1)Paso 2. Propiedades del logaritmo1ydydx=sec2x  ln(2x4+1)+8x32x4+1⋅tgxPaso 3. Derivando a ambos ladosdydx=y⋅(sec2x  ln(2x4+1)+8x32x4+1⋅tgx)Paso 4. Multiplicando por  y   aambosladosdydx=(2x4+1)tgx(sec2x  ln(2x4+1)+8x32x4+1⋅tgx)Paso 5. Sustiyendo el valor de   y\begin{aligned} lny &=ln (2x^4 + 1)^{tgx} &\text{Paso 1. tomando logaritmos}\\ lny &=tgx \,\,ln (2x^4 + 1) &\text{Paso 2. Propiedades del logaritmo}\\ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} &=sec^2x\,\,ln (2x^4 + 1) + \frac{8x^3}{2x^4 + 1}⋅tgx &\text{Paso 3. Derivando a ambos lados}\\ \frac{dy}{dx}&=y⋅ (sec^2x\,\,ln (2x^4 + 1) + \frac{8x^3}{2x^4 + 1}⋅tgx) &\text{Paso 4. Multiplicando por}\,\,y\,\,\,{a ambos lados}\\ \frac{dy}{dx}&=(2x^4 + 1)^{tgx} (sec^2x\,\,ln (2x^4 + 1) + \frac{8x^3}{2x^4 + 1}⋅tgx) &\text{Paso 5. Sustiyendo el valor de}\,\,\,y\\ \end{aligned}