Solución

Apartado a

Podemos encontrar la expresión de $(g \circ f)(x)$ de dos formas diferentes. Podemos escribir $$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1)=1/(x^2+1)$$ Alternativamente, podemos escribir $$(g \circ f)(x)=g(f(x))=1/f(x)=1/(x^2+1).$$ Como $x^2+1≠0$ para todos los números reales $x$, el dominio de $(g \circ f)(x)$ es el conjunto de todos los números reales.

Como $0 < 1/(x^2+1) \leq 1$, el rango es, al menos, el intervalo $(0,1]$. Para mostrar que el rango es este intervalo, hacemos $y=1/(x^2+1)$ y resolvemos esta ecuación en $x$ para demostrar que todo $y$ en el intervalo $(0,1]$, existirá un número real $x$ tal que $$y=1/(x^2+1)$$ Resolviendo esta ecuación para $x$, vemos que $x^2+1=1/y$, lo que implica que $$x = \pm \sqrt {{1 \over y} - 1}$$.

Si $y$ está en el intervalo $(0,1]$, la expresión bajo el radical es no negativa, y por ello existirá un número real $x$ tal que $1/(x^2+1)=y$. Concluimos que el rango de $g \circ f$ es el intervalo $(0,1]$.

Apartado b

$$(g \circ f)(4)=g(f(4))=g(4^2+1)=g(17)=1/17$$ $$(g \circ f)(−1/2)=g(f(−1/2))=g((−1/2)^2+1)=g(5/4)=45$$

Apartado c

Podemos encontrar una fórmula para $(f \circ g)(x)$ de dos formas. En primer lugar, podemos escribir $$(f∘g)(x)=f(g(x))=f(1/x)=(1/x)^2+1.$$ Alernativamente, podemos escribir $$(f \circ g)(x)=f(g(x))=(g(x))^2+1=(1/x)^2+1.$$ El dominio de $f \circ g$ es el conjunto de todos los números reales $x$ tales que $x \neq 0$. Para encontrar el rango de $f$, necesitamos encontrar todos los valores $y$ para los cuales existe un número real $x≠0$ tal que $$(1/x)^2+1=y.$$ Resolviendo la ecuación para $x$, vemos que necesitamos encontrar $x$ que verifique $$(1/x)^2=y−1,$$ que implica $$x = \pm \sqrt {y - 1}$$ Finalmente, obtenemos $$x = \pm {1 \over {\sqrt {y - 1} }}$$ Como ${1 \over {\sqrt {y - 1} }}$ es un número real si y solo si $y>1$, el rango de $f$ es el conjunto $\{y|y>1\}$.

Apartado d

$$(f \circ g)(4)=f(g(4))=f(1/4)=(1/4)^2+1=17/16$$ $$(f \circ g)(−1/2)=f(g(−1/2))=f(−2)=(−2)^2+1=5$$