Solución

Apartado a

Evaluar sen−1(−3/2)sen^{−1}(-\sqrt{3}/2) es equivalente a encontrar el ángulo θθ tal que senθ=−3/2sen θ = -\sqrt{3}/2 y −π/2≤θ≤π/2-π/2 ≤ θ ≤ π/2. El ángulo θ=−π/3θ = -π/3 satisface estas dos condiciones. Por lo tanto, sen−1(−3/2)=−π/3sen^{−1}(-\sqrt{3}/2)=-π/3

Apartado b

En primer lugar utilizamos el hecho de que tg(−1/3)=−π/6tg(-1/\sqrt{3})=-π/6. Por lo tanto tg(π/6)=−1/3tg(π/6) = -1/\sqrt{3}. Se cumple entonces que, tg(tg−1(−1/3)=−1/3tg(tg^{-1}(-1/\sqrt{3})=-1/\sqrt{3}

Apartado c

Para evaluar cos−1(cos(5π/4))cos^{-1}(cos(5π/4)), utilizamos primero que cos(5π/4)=−2/2cos(5π/4)=-\sqrt{2}/2. Se debe encontrar ahora un ángulo θθ tal que cosθ=−2/2cosθ = -\sqrt{2}/2 y 0≤θ≤π0 ≤ θ ≤ π. Como 3π/43π/ 4 cumple ambas condiciones, cos−1(cos(5π/4))=cos−1(−2/2)=3π/4.cos^{-1}(cos(5π/4))= cos^{-1}( -\sqrt{2}/2)=3π/4.

Apartado d

Como cos(2π/3)=−1/2cos (2π/3) = −1/2, necesitamos evaluar sen−1(−1/2)sen^{−1}(−1/2). ES decir, tenemos que encontrar el ángulo θθ tal que sen(θ)=−1/2sen(θ) = −1/2 y −π/2≤θ≤π/2-π/2 ≤ θ ≤ π/2. Como −π/6-π/6 satisfacers ambas condiciones, podemos concluir que sen−1(cos(2π/3))=sen−1(−1/2)=−π/6.sen^{−1}(cos (2π/3)) = sen^{−1}(−1/2) = -π/6.