Solución

Para que la función sea continua en x=−10x = -10, debe cumplirse

lim⁡x→10−f(x)=f(−10)\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^{-} }} f (x) = f (-10)

Es decir,como lim⁡x→10−f(x)=110(−10)2−10b+c=10−10b+c\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^{-} }} f(x)=\frac{1}{10}(-10)^2-10b+c=10-10b+c f(−10)=5 f (-10) = 5

debe cumplirse que 10−10b+c=510-10b + c = 5, esto es, c=10b−5c = 10b - 5.

Para que la función sea derivable en −10-10, debe existir el siguiente límite f′(10)=lim⁡x→10f(x)−f(−10)x+10f'(10) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {10 }} \frac{ f (x) -f (-10)}{ x + 10} Dado que f(x)f (x) se define de forma diferente a la derecha y a la izquierda de 10, debemos evaluar este límite por la derecha y por la izquierda y luego igualarlos:

lim⁡x→10−f(x)−f(−10)x+10=lim⁡x→10−110x2+bx+c−5x+10=lim⁡x→10−110x2+bx+(10b−5)−5x+10Sustituyendo  c=10b−5=lim⁡x→10−x2−100+10bx+100b10(x+10)=lim⁡x→10−(x+10)(x−10+10b)10(x+10)Factorizando=b−2\begin{aligned} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{f (x) -f (-10)}{ x + 10} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{\frac{1}{10}x^2+bx+c-5} {x+10}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{\frac{1}{10}x^2 + bx + (10b - 5) -5}{x + 10} &\text{Sustituyendo} \,\,c=10b-5\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{x^2-100 + 10bx + 100b}{10 (x + 10)}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{ (x + 10) (x - 10 + 10b)}{ 10 (x + 10)} &\text{Factorizando}\\ &= b - 2 \end{aligned} Por otro lado, lim⁡x→10+f(x)−f(−10)x+10=lim⁡x→10+(−14x+52−5)x+10=lim⁡x→10+−(x+10)4(x+10)=−14\begin{aligned}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{f (x) -f (-10)}{ x + 10} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{(\frac{-1}{4}x + \frac{5}{2}-5)}{x + 10} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{- (x + 10)}{ 4 (x + 10)}\\ &= -\frac{1}{4}\\ \end{aligned} Esto implica que b−2=−14b - 2 = -\frac{1}{4}. Por lo tanto,b=74 b = \frac{7}{4} y c=10(74)−5=252c = 10 \left(\frac{7}{4}\right) -5 = \frac{25}{2}.