Solución

El proceso es el mismo que en el ejemplo 3.82, aunque con derivadas más sencillas lny=lnxrPaso 1. Tomando logaritmos a ambos ladoslny=rlnxPaso 2. Propiedades de los logaritmos1ydydx=r1xPaso 3. Derivar a ambos ladosdydx=yrxPaso 4. Multiplicar ambos lados por  ydydx=xrrxPaso 5. Sustituir   y=xrdydx=rxr−1Paso 5. Simplificar\begin{aligned} lny &=lnx^r &\text{Paso 1. Tomando logaritmos a ambos lados}\\ lny &=rlnx &\text{Paso 2. Propiedades de los logaritmos}\\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &=r \frac{1}{x} &\text{Paso 3. Derivar a ambos lados}\\ \frac{dy}{dx} &=y \frac{r}{x} &\text{Paso 4. Multiplicar ambos lados por}\,\,y\\ \frac{dy}{dx} &=x^r \frac{r}{x} &\text{Paso 5. Sustituir}\,\,\,y=x^r\\ \frac{dy}{dx} &=r x^{r-1} &\text{Paso 5. Simplificar}\\ \end{aligned}