Solución

En el primer paso, multiplicamos por el conjugado para que podamos usar una identidad trigonométrica y convertir el coseno en el numerador en un seno: lim⁡θ→01−cos⁡θθ=lim⁡θ→01−cos⁡θθ⋅1+cos⁡θ1+cos⁡θ=lim⁡θ→01−cos⁡2θθ(1+cos⁡θ)=lim⁡θ→0sen2θθ(1+cos⁡θ)=lim⁡θ→0senθθ⋅senθ1+cos⁡θ=1⋅02=0\begin{aligned} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {{1 - \cos \theta } \over \theta } &= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {{1 - \cos \theta } \over \theta } \cdot {{1 + \cos \theta } \over {1 + \cos \theta }} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {{1 - {{\cos }^2}\theta } \over {\theta \left( {1 + \cos \theta } \right)}} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {{se{n^2}\theta } \over {\theta \left( {1 + \cos \theta } \right)}} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} {{sen\theta } \over \theta } \cdot {{sen\theta } \over {1 + \cos \theta }} \\ & = 1 \cdot {0 \over 2} = 0 \end{aligned}