Solución

Sea ϵ>0\epsilon > 0 .

La primera parte de la definición comienza con "Para todo ε>0\varepsilon > 0 ".

Esto significa que debemos demostrar que todo lo que sigue es cierto sin importar qué valor positivo de ϵ\epsilon que se elija. Al indicar "Sea ϵ>0\epsilon > 0 ", indicamos nuestra intención de hacerlo.

Sin perdida de generalidad, suponemos ϵ≤4\epsilon \le 4. Debemos responder a dos cuestiones: ¿por qué queremos que ϵ≤4\epsilon \le 4 y por qué no importa suponerlo?

Respecto a la primera cuestión, en el proceso de encontrar δ\delta veremos que utilizamos 4−ϵ\sqrt{4-\epsilon}. En consecuncia debemos elegir ϵ≤4\epsilon \le 4. Respecto a la segunda cuestión, si encontramos un valor de δ\delta que "funciona" para cada ϵ<4\epsilon \lt 4, entonces ese valor "funcionará" para ϵ>4\epsilon > 4.

Elijiendo δ=min(2−4−ϵ,4+ϵ−2)\delta = min(2-\sqrt{4-\epsilon},\sqrt{4+\epsilon}-2).

La Figura 2.41 muestra cómo hicimos esta elección de δ\delta.

Figura 2.41 Esta gráfica muestra cómo encontramos δ\delta geométricamente para un ϵ\epsilon dado para la demostración del Ejemplo 2.41.

Debemos mostrar: Si 0<∣x−2∣<δ0 < |x−2 | < \delta, entonces ∣x2−4∣<ϵ| x^2−4 | < \epsilon

Empezemos asumiendo 0<∣x−2∣<δ0 < |x−2 | < \delta

Realmente no necesitamos 0<∣x−2∣0 < | x − 2 | (en otras palabras, x≠2x \ne 2) para esta prueba ya que 0<∣x−2∣<δ⇒∣x−2∣<δ0 < | x − 2 | < \delta \Rightarrow | x − 2 | < \delta, por lo que está bien eliminar la condición 0<∣x−2∣0 < | x − 2 |.

∣x−2∣<δ|x−2 | < \delta

Por lo tanto,

−δ<x−2<δ-\delta < x−2 < \delta

Teniendo en cuenta que δ=min(2−4−ϵ,4+ϵ−2)\delta = min(2-\sqrt{4-\epsilon},\sqrt{4+\epsilon}-2), δ≤2−4−ε\delta \le 2 - \sqrt {4 - \varepsilon } y, en consecuencia, −(2−4−ε)≤−δ - \left( {2 - \sqrt {4 - \varepsilon } } \right) \le -\delta También usamos aquí δ≤4+ε−2\delta \le \sqrt {4 + \varepsilon } - 2 Podríamos preguntarnos en este punto: ¿Por qué sustituimos 2−4+ε2 - \sqrt {4 + \varepsilon } por δ\delta en el lado izquierdo de la desigualdad y 4+ε−2\sqrt {4 + \varepsilon } - 2 en el lado derecho de la desigualdad?

Si miramos la Figura 2.41, vemos que 2−4−ε2 - \sqrt {4 - \varepsilon } corresponde a la distancia a la izquierda de 22 en el eje x y 24+ε−22 \sqrt {4 + \varepsilon }-2 corresponde a la distancia a la derecha. Así, −(2−4−ε)≤−δ<x−2<δ≤4+ε−2 - \left( {2 - \sqrt {4 - \varepsilon } } \right) \le -\delta < x - 2 < \delta \le \sqrt {4 + \varepsilon } - 2 Simplificamos la expresión de la izquierda: −2+4−ε<x−2<4+ε−2 - 2 + \sqrt {4 - \varepsilon } < x - 2 < \sqrt {4 + \varepsilon } - 2 Sumando 2 a todas las partes de la desigualdad: 4−ε<x<4+ε\sqrt {4 - \varepsilon } < x < \sqrt {4 + \varepsilon } Elevando al cuadrado todas las partes de la igualdad (nota: observa que todas las elementos de la desigualdad son positivos y por tanto es correcto) 4−ε<x2<4+ε4 - \varepsilon < {x^2} < 4 + \varepsilon Restamos 4 a las desigualdades: −ε<x2−4<ε - \varepsilon < {x^2} - 4 < \varepsilon y se obtiene finalmente ∣x2−4∣<ε\left| {{x^2} - 4} \right| < \varepsilon Por lo tanto, lim⁡x→2x2=4\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4