Solución

El beneficio P(x)P (x) obtenido al producir xx sistemas de juego es R(x)−C(x)R (x) −C (x), donde R(x)R (x) es el ingreso obtenido por la venta de xx juegos. Dado que la empresa puede vender x juegos a p=−0.01x+400p = −0.01x + 400 por juego, R(x)=xp=x(−0.01x+400)=−0.01x2+400x.R (x) = xp = x (−0.01x + 400) = - 0.01x^2 + 400x. Por lo tanto, P(x)=−0.01x2+400x−10000.P (x) = - 0.01x^2 + 400x − 10000. Al evaluar la tasa de cambio de la ganancia da P′(10000)=lim⁡x→10000P(x)−P(10000)x−10000=lim⁡x→10000−0.01x2+400x−10000−1990000x−10000=lim⁡x→10000−0.01x2+400x−2000000x−10000=100\begin{aligned} P ′ (10000) &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 10000} \frac{P (x) −P (10000)}{ x − 10000 }\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 10000}\frac{ −0.01x^2 + 400x − 10000−1990000}{x − 10000 }\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 10000}\frac{ −0.01x^2 + 400x − 2000000}{x − 10000 }\\ &= 100 \end{aligned}

Dado que la tasa de cambio de la ganancia P′(10000)>0P'(10000)> 0 yP(10000)>0 P (10000)> 0, la empresa debe aumentar la producción.