Solución

Apartado a

No es posible dividir por cero, por lo que el dominio es el conjunto de números reales xx tal que x≠−2/5x≠ −2 / 5. Para encontrar el rango, necesitamos encontrar los valores yy para el cual existe un número real xx tal que y=3x−13x+2y= \frac{3x-1}{3x+2} Cuando multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 5x+25x+2, vemos eso xx debe satisfacer la ecuación 5xy+2y=3x−15xy+2y= 3x−1 De esta ecuación, podemos ver que xx debe satisfacer 2y+1=x(3−5y)2y+ 1 =x(3−5y) Si y=3/5y= 3/5, esta ecuación no tiene solución. Por otro lado, siempre que y≠3/5y≠ 3/5, x=2y+13−5yx= \frac{2y+1}{3-5y} satisface esta ecuación. Podemos concluir que el rango de ff es {y∣y≠3/5}\{y|y≠ 3/5\}.

Apartado b

Para encontrar el dominio de ff, nosotros necesitamos 4−x2≥04−x^2≥0. Cuando factorizamos, escribimos 4−x2=(2−x)(2+x)≥04−x^2= (2−x) (2+x) ≥0.Esta desigualdad se mantiene si y solo si ambos términos son positivos o ambos términos son negativos. Para que ambos términos sean positivos, necesitamos encontrar xx tal que 2−x≥02−x≥0 y 2+x≥02 +x≥0.

Estas dos desigualdades se reducen a 2≥x2≥x y x≥−2x≥ − 2. Por tanto, el conjunto {x∣−2≤x≤2}\{x| −2≤x≤2\}debe ser parte del dominio. Para que ambos términos sean negativos, necesitamos 2−x≤0    y     2+x≥02−x≤0 \,\,\,\,\text{y} \,\,\,\,\,2 +x≥0 Estas dos desigualdades también se reducen a 2≤x2≤x y x≥−2x≥ − 2. No hay valores de xx que satisfacen ambas de estas desigualdades. Por tanto, podemos concluir que el dominio de esta función es {x∣−2≤x≤2}\{x| −2≤x≤2\}.

Si −2≤x≤2−2≤x≤2, luego 0≤4−x2≤40≤4−x^2≤4. Por lo tanto, 0≤4−x2≤20≤\sqrt{4-x^2}≤2, y el rango de ff es {y∣0≤y≤2}\{y| 0≤y≤2\}.