Solución

Apartado a

Usando la definición de seno hiperbólico , escribimos sinh(5lnx)=e5lnxe?5lnx2=eln(x5)eln(x5)2=x5x52.sinh (5lnx) =\frac{e^{5lnx}-e^{?5lnx}}{2} =\frac{e^{ln(x^5)}-e^{ln(x^{-5})}}{2} =\frac{x^5-x^{-5}}{2}.

Apartado b

Utilizando la identidad cosh2xsinh2x=1cosh^2 x- sinh^2 x=1, vemos que cosh2x=1+(34)2=2516.cosh^2x= 1 +\left(\frac{3}{4}\right)^2= \frac{25}{16}. Como cosh1cosh^{-1} para todos xx, debemos considerar cosh=5/4cosh= 5/4. Luego, usando las definiciones de las otras funciones hiperbólicas, llegamos a la conclusión de que tanhx=3/5tanhx= 3/5, cschx=4/3cschx= 4/3, sechx=4/5sechx= 4/5, y cothx=5/3cothx= 5/3.