Solución

Comenzamos directamente con la definición de la función derivada utilizando la ecuación 3.1.

f′(x)=lim⁡h→0x+h−xhSustituyendof(x+h)=x+h   y   f(x)=x=lim⁡h→0x+h−xh⋅x+h+xx+h+xMultiplicando numerador y denominador por x+h+x=lim⁡h→0hh(x+h+x)Multiplicando el numerador y simplificando=lim⁡h→01x+h+xCancelando h=12xEvaluando el lıˊmite\begin{aligned} f'\left( x \right) &= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {{\sqrt {x + h} - \sqrt x } \over h} &\text{Sustituyendo} f(x+h)=\sqrt{x+h} \,\,\,\text{y} \,\,\, f(x)=\sqrt{x}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {{\sqrt {x + h} - \sqrt x } \over h} \cdot {{\sqrt {x + h} + \sqrt x } \over {\sqrt {x + h} + \sqrt x }} &\text{Multiplicando numerador y denominador por } \sqrt{x+h}+\sqrt{x}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {h \over {h (\sqrt {x + h} + \sqrt x })} &\text{Multiplicando el numerador y simplificando} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {1 \over {\sqrt {x + h} + \sqrt x }} &\text{Cancelando h} \\ &=\frac{1}{2\sqrt{x}} &\text{Evaluando el límite}\\ \end{aligned}