Solución

Paso 1.

x+2−1x+1{{\sqrt {x + 2} - 1} \over {x + 1}} es de la forma 0/00/0 en el punto −1-1. Comenzamos multiplicando el numerador y el denominador por x+2+1{\sqrt {x + 2} + 1} que es la espresión conjugada de x+2−1{\sqrt {x + 2} - 1}

lim⁡x→−1x+2−1x+1=lim⁡x→−1x+2−1x+1⋅x+2+1x+2+1\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{\sqrt {x + 2} - 1} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{\sqrt {x + 2} - 1} \over {x + 1}} \cdot {{\sqrt {x + 2} + 1} \over {\sqrt {x + 2} + 1}}

Paso 2.

Realiamos el producto del numerado pero no el denominador para poder cancelar posteriormente

=lim⁡x→−1x+1(x+1)(x+2+1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 1} \right)}}

Paso 3.

Cancelando

=lim⁡x→−11x+2+1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {1 \over {\sqrt {x + 2} + 1}}

Paso 4.

Aplicando finalmente las propiedades de los límites

lim⁡x→−11x+2+1=12\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {1 \over {\sqrt {x + 2} + 1}} = {1 \over 2}