Solución

En el ejemplo 3.68, mostramos que dydx=−xy\frac{dy}{dx} = −\frac{x}{y}. Podemos derivar ambos lados de esta ecuación para encontrar d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}. d2ydx2=ddy(−xy)Derivando a ambos lados=−(1⋅y−xdydx)y2Usando la regla del cociente=−y+xdydxy2Simplificando=−y+x(−xy)y2Sustituyendo   dydx=−xy=−y2−x2y3Simplificando\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dy} (−\frac{x}{y}) &\text{Derivando a ambos lados}\\ &= - \frac{(1⋅y − x \frac{dy}{dx})}{ y^2} &\text{Usando la regla del cociente}\\ &=\frac{ −y + x\frac{dy}{dx}}{y^2} &\text{Simplificando}\\ & = \frac{−y + x (−\frac{x}{y)}} {y^2} &\text{Sustituyendo}\,\,\,\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\\ & = \frac{−y^2 − x^2}{y^3} &\text{Simplificando}\\ \end{aligned}

En este punto, hemos encontrado una expresión para d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}. Podemos simplificar aún más la expresión recordando que x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 y haciendo esta sustitución en el numerador para obtener d2ydx2=−25y3\frac{d^2y}{dx^2}= −\frac{25}{y^3}.