Solución

Supongamo que $L$ es candidato a límite. Elegimos $\epsilon = 1/2.$

Sea $\delta > 0.$

Se cumple $L \ge 0$ o $L < 0$. Si $L \ge 0$, entonces sea $x = −\delta / 2$. Así, $$\left| {x - 0} \right| = \left| { - {\delta \over 2} - 0} \right| = {\delta \over 2} < \delta$$ y $$\left| {{{\left| { - {\delta \over 2}} \right|} \over { - {\delta \over 2}}} - L} \right| = \left| { - 1 - L} \right| = L + 1 \ge 1 > {1 \over 2} = \varepsilon$$ Por otro lado, si $L < 0$, entonces sea $x = \delta / 2$. Así, $$\left| {x - 0} \right| = \left| {{\delta \over 2} - 0} \right| = {\delta \over 2} < \delta$$ y $$\left| {{{\left| {{\delta \over 2}} \right|} \over {{\delta \over 2}}} - L} \right| = \left| {1 - L} \right| = \left| L \right| + 1 \ge 1{\rm{ > }}{1 \over 2} = \varepsilon$$ Por tanto, para cualquier valor de $L$, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left| x \right|} \over x} \ne L$$