Solución

Usemos nuestro esquema de la estrategia de resolución de problemas:

Sea $\epsilon > 0$.

Elegimos $\delta =min(1,\epsilon/5)$.

Esta elección de $\delta$ puede parecer extraña a primera vista pero se obtiene teniendo en cuenta que se quiere que $$\left| {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 6} \right| < \varepsilon$$

o equivalentemente $$\left| {x + 1} \right| \cdot \left| {x - 3} \right| < \varepsilon$$

En este punto, la tentación de elegir simplemente $\delta = {\varepsilon \over {x - 3}}$ es muy fuerte. Desafortunadamente, nuestra elección de $\delta$ debe depender únicamente de $\epsilon$ y de ninguna otra variable. Si podemos reemplazar $| x − 3 |$ por un valor numérico, nuestro problema se puede resolver. En este punto es donde entra en juego asumir $\delta \le 1$. La elección de $\delta \le 1$ aquí es arbitraria y podríamos haber utilizado fácilmente cualquier otro número positivo. En algunas pruebas, puede ser necesario un mayor cuidado al hacer esta elección.

Ahora, como $\delta \le 1$ y $| x + 1 | < \delta \le 1$, podemos demostrar que $| x − 3 | < 5$.

En consecuencia, $$\left| {x + 1} \right| \cdot \left| {x - 3} \right| < \left| {x + 1} \right| \cdot 5$$ En este punto nos damos cuenta de que también necesitamos $\delta \le \epsilon/ 5$. Por lo tanto, elegimos $\delta = min \left\{1, \epsilon / 5\right\}$.

Supongamos $0 < |x+1 | < \delta$.

Así, $$\left| {x + 1} \right| < 1 \text{ y } \left| {x + 1} \right| < {\varepsilon \over 5}$$ Dado que $\left| {x + 1} \right| < 1$, podemos concluir que $−1 < x + 1 < 1$. Por lo tanto, al restar 4 de todas las partes de la desigualdad, obtenemos $−5 < x − 3 < −1$. En consecuencia, $| x − 3 | < 5$. Esto nos da $$\left| {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 6} \right| = \left| {x + 1} \right| \cdot \left| {x + 3} \right| < {\varepsilon \over 5} \cdot 5 = \varepsilon$$ Por lo tanto, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 6$$