Solución

Paso 1.

La función f(x)=x2−3x2x2−5x−3f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x} \over {2{x^2} - 5x - 3}} no está definido para x=3x = 3. De hecho, si sustituimos 3 en la función obtenemos 0/0, que no está definido. La estrategia de factorizar y cancelar será una buena opción.

lim⁡x→3x2−3x2x2−5x−3=lim⁡x→3x(x−3)(x−3)(2x+1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{{x^2} - 3x} \over {2{x^2} - 5x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}}

Paso 2.

Para todo x≠3x ≠ 3, x2−3x2x2−5x−3=x2x+1{{{x^2} - 3x} \over {2{x^2} - 5x - 3}} = {x \over {2x + 1}} Por lo tanto,

lim⁡x→3x(x−3)(x−3)(2x+1)=lim⁡x→3x2x+1\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x \over {2x + 1}}

Paso 3.

Evaluando el límite se tendrá,

lim⁡x→3x2x+1=37\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x \over {2x + 1}} = {3 \over 7}