Solución

Comenzamos expresando $tgx$ como el cociente de $senx$ y $cosx$: $$f (x) = tgx = \frac{senx}{cosx}$$ Ahora aplique la regla del cociente para obtener $$f'(x) =\frac{cosxcosx - (- senx) senx}{ (cosx)^2}$$ Simplificando, obtenemos $$f'(x) = \frac{cos^2x + sen^2x}{cos2x}$$ Teniendo en cuenta que $cos^2x + sen^2x = 1$, por el teorema de Pitágoras, tenemos $$f'(x) = \frac{1}{cos^2x}$$ Finalmente, utilizando la identidad $secx = \frac{1}{cosx}$ para obtener $$f'(x) = sec^2x$$