Solución

Dado que la función de valor absoluto está definida para todos los números reales, el dominio de esta función es (−∞, ∞). Dado que x30| x − 3 | ≥0 para todo xx, la función f(x)=2x3+44f (x) = 2 | x − 3 | + 4≥4. Por tanto, el rango es, como máximo, el conjunto {yy4}\{y | y≥4\}. Para ver que el rango es, de hecho, todo este conjunto, necesitamos mostrar que para y4y≥4 existe un número real xx tal que 2x3+4=y2 | x − 3 | + 4 = y.

Un número real xx satisface esta ecuación siempre que x3=12(y4)| x − 3 | = 12 (y − 4).

Como y4y≥4, sabemos que y40y − 4≥0 y, por tanto, el lado derecho de la ecuación no es negativo, por lo que es posible que haya una solución. Además, x3=(x3) si    x<3| x − 3 |=-(x − 3) \text{ si \,\,\,} x \lt 3 x3=x3 si    x3| x − 3 |=x − 3 \text{ si \,\,\,} x \ge 3

Por tanto, vemos que hay dos soluciones: x=±12(y4)+3x = ± 12 (y − 4) +3.

El rango de esta función es {yy4}\{y | y≥4\}.