Solución

Este problema realmente hace uso de las propiedades de los logaritmos y las reglas de derivación que se dan en este capítulo. lny=lnx2x+1exsen3xPaso 1. Tomando logaritmoslny=lnx+12(2x+1)−xlne−3  lnsinxPaso 2. Propiedades de los logaritmos1ydydx=1x+12x+1−1−3cosxsinxPaso 3. Derivando a ambos ladosdydx=y(1x+12x+1−1−3cotx)Paso 4. Multiplicando a ambos lados por   ,ydydx=x2x+1exsen3x(1x+12x+1−1−3cotx)Paso 5. Sustituyendo el valor de   y\begin{aligned} lny &=ln \frac{x\sqrt{2x+1}}{e^x sen^3x} &\text{Paso 1. Tomando logaritmos}\\ lny &= lnx+\frac{1}{2}(2x+1) −xlne − 3\,\,lnsinx &\text{Paso 2. Propiedades de los logaritmos}\\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{x} + \frac{1}{2x + 1}−1−3\frac{cosx}{sinx} &\text{Paso 3. Derivando a ambos lados}\\ \frac{dy}{dx}&= y (\frac{1}{x} + \frac{1}{2x + 1}−1−3cotx) &\text{Paso 4. Multiplicando a ambos lados por}\,\,\,,y\\ \frac{dy}{dx}&= \frac{x\sqrt{2x+1}}{e^xsen^3x}( \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1}−1−3cotx) &\text{Paso 5. Sustituyendo el valor de}\,\,\,y\\ \end{aligned}