Solución

Usando esta expresión, podemos sustituir dos valores de la función en la ecuación, y deberíamos obtener el mismo valor que en el Ejemplo 3.5.

f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hAplicar la definicioˊn=lim⁡h→0(3(2+h)2−4(2+h)+1)−5h Sustituir   f(2)=5   y   f(2+h)=lim⁡h→03h2+8hhSimplificar el numerador=lim⁡h→0h(3h+8)hFactorizar el numerador=lim⁡h→0(3h+8)Cancelar el factor comuˊn=8Evaluar el lıˊmite\begin{aligned} f'(2) &= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f (2 + h) -f (2)}{ h } &\text{Aplicar la definición}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{(3 (2 + h)^2-4 (2 + h) +1) -5}{h } &\text{ Sustituir}\,\,\, f (2) = 5 \,\,\,\text{y}\,\,\, f (2 + h)\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{3h^2 + 8h}{h } &\text{Simplificar el numerador}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h (3h + 8)}{ h } &\text{Factorizar el numerador}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (3h + 8) &\text{Cancelar el factor común}\\ &= 8 &\text{Evaluar el límite}\\ \end{aligned}

Los resultados son los mismos si usamos la Ecuación 3.5 o la Ecuación 3.6.