Solución

Sea $\epsilon > 0$.

Elegimos $\delta = \epsilon ^2$.

Dado que en última instancia queremos $\left| {\sqrt {x - 4} - 0} \right| < \varepsilon$, manipulamos esta desigualdad para obtener $\sqrt {x - 4} < \varepsilon$ o, de manera equivalente, $0 < x - 4 < {\varepsilon ^2}$, haciendo la elección $\delta = \epsilon ^2$.

También podemos determinar $\delta$ geométricamente, como se muestra en la Figura 2.42.

Figura 2.42 Esta gráfica muestra cómo encontramos δ para la prueba en Ejemplo 2.44.

Supongamos $0 < x − 4 < \delta$.

Se tiene, $$0 < x - 4 < {\varepsilon ^2}$$ $$0 < \sqrt {x - 4} < \varepsilon$$ Finalmente, $$\left| {\sqrt {x - 4} - 0} \right| < \varepsilon$$ Por lo tanto, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt {x - 4} = 0$$