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vista diferentes, busque alternativas); avive
(promueva el uso de la fantasía y del humor); libere
(use la discontinuidad y escape de ideas
preestablecidas); y contrarreste la rigidez (vea las
cosas desde diferentes ángulos y evite
dogmatismos). Este es un método adecuado cuando
el problema que se desea resolver no requiere
información adicional, sino un reordenamiento de la
información disponible; cuando hay ausencia del
problema y es necesario apercibirse de que hay un
problema; o cuando se debe reconocer la posibilidad
de perfeccionamiento y redefinir esa posibilidad como
un problema (De Bono, 1970).
Como se puede apreciar, hay muchas estrategias para
solucionar problemas; sin embargo, esta Guía se enfoca
principalmente en dos de estas estrategias: Heurística y
Algorítmica.
Según Polya (1957), cuando se resuelven problemas,
intervienen cuatro operaciones mentales:
1. Entender el problema
2. Trazar un plan
3. Ejecutar el plan (resolver)
4. Revisar
Numerosos autores de textos escolares de matemáticas
hacen referencia a estas cuatro etapas planteadas por
Polya. Sin embargo, es importante notar que estas son
flexibles y no una simple lista de pasos como a menudo
se plantea en muchos de esos textos (Wilson,
Fernández & Hadaway, 1993). Cuando estas etapas se
siguen como un modelo lineal, resulta contraproducente
para cualquier actividad encaminada a resolver
problemas.
Ilustración 1-1: Interpretación dinámica y cíclica de las etapas
planteadas por Polya para resolver problemas.
Es necesario hacer énfasis en la naturaleza dinámica y
cíclica de la solución de problemas. En el intento de
trazar un plan, los estudiantes pueden concluir que
necesitan entender mejor el problema y deben regresar
a la etapa anterior; o cuando han trazado un plan y
tratan de ejecutarlo, no encuentran cómo hacerlo;
entonces, la actividad siguiente puede ser intentar con
un nuevo plan o regresar y desarrollar una nueva
comprensión del problema (Wilson, Fernández &
Hadaway, 1993; Guzdial, 2000).
TIP
La mayoría de los textos escolares de matemáticas abordan la
Solución de Problemas bajo el enfoque planteado por Polya. Por
ejemplo, en “Recreo Matemático 5” (Díaz, 1993) y en “Dominios 5”
(Melo, 2001) se pueden identificar las siguientes sugerencias
propuestas a los estudiantes para llegar a la solución de un problema
matemático:
1. COMPRENDER EL PROBLEMA.
• Leer el problema varias veces
• Establecer los datos del problema
• Aclarar lo que se va a resolver (¿Cuál es la pregunta?)
• Precisar el resultado que se desea lograr
• Determinar la incógnita del problema
• Organizar la información
• Agrupar los datos en categorías
• Trazar una figura o diagrama.
2. HACER EL PLAN.
• Escoger y decidir las operaciones a efectuar.
• Eliminar los datos inútiles.
• Descomponer el problema en otros más pequeños.
3. EJECUTAR EL PLAN (Resolver).
• Ejecutar en detalle cada operación.
• Simplificar antes de calcular.
• Realizar un dibujo o diagrama
4. ANALIZAR LA SOLUCIÓN (Revisar).
• Dar una respuesta completa
• Hallar el mismo resultado de otra manera.
• Verificar por apreciación que la respuesta es adecuada.
EJEMPLO
En un juego, el ganador obtiene una ficha roja; el segundo, una ficha
azul; y el tercero, una amarilla. Al final de varias rondas, el puntaje se
calcula de la siguiente manera: Al cubo de la cantidad de fichas rojas
se adiciona el doble de fichas azules y se descuenta el cuadrado de
las fichas amarillas. Si Andrés llegó 3 veces en primer lugar, 4 veces
de último y 6 veces de intermedio, ¿Qué puntaje obtuvo? (Adaptado
de Melo (2001), página 30).
R/.
COMPRENDE
• Leer detenidamente el problema
• ¿Cuántos colores de fichas se reparten?
• ¿Cuántas fichas rojas, azules y amarillas obtuvo Andrés?
• ¿Qué pregunta el problema?
PLANEA
• Para hallar el puntaje que obtiene Andrés por sus llegadas de
primero, calcular el cubo de la cantidad de fichas rojas.
• Para hallar el puntaje por sus llegadas en segundo lugar, calcular
el doble de la cantidad de fichas azules.
• Para hallar el puntaje que pierde por sus llegadas en último
lugar, calcular el cuadrado de la cantidad de fichas amarillas.
• Para hallar el puntaje total, calcular la suma de los puntajes por
las fichas rojas y azules, restarle los puntos de las fichas
amarillas.
RESUELVE
• Por tres fichas rojas: 3
3
= 27 puntos
• Por seis fichas azules: 6 x 2 = 12 puntos
• Por cuatro fichas amarillas: 4
2
= 16 puntos
• Para obtener el puntaje final de Andrés, sumar los puntos
obtenidos con las fichas rojas y azules (27 + 12 = 39 puntos) y de
este resultado restar los puntos representados por las fichas
amarillas (39 – 16 = 23 puntos).
REVISA
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• El puntaje que obtuvo Andrés es 23 puntos.
• Verificar las operaciones y comparar los cálculos con la solución
estimada.
El anterior es un problema típico en clase de
matemáticas. Es muy importante que los estudiantes
reflexionen sobre las actividades que realizan para
solucionarlo (metacognición) y las agrupen de acuerdo a
las etapas que contenga la estrategia de solución
empleada.
ACTIVIDAD
En la academia de las ciencias sociales hay dos grupos de materias:
Geografía, con 124 alumnos; Historia, con 220; y Educación
Ambiental, con 185. Si hay 25 alumnos que estudian Geografía y
Educación Ambiental, 37 que estudian Educación Ambiental e
Historia, y ninguno toma las tres materias, ¿cuántos alumnos tiene la
academia? (Adaptado de Melo, 2001, página 46).
El estudiante debe tener en cuenta (y anotar) las actividades que
realiza para resolver este problema y agruparlas en cada una de las
cuatro etapas propuestas por Polya (comprende, planea, resuelve y
revisa). Para resolver este problema, los estudiantes deben tener
conocimientos sobre conjuntos (representación, clasificación e
intersección). Es buena idea que construyan una tabla para
organizar la información y un diagrama de Venn para representar los
datos.
Establecer un modelo para solucionar problemas es un
paso fundamental pero no suficiente. Según Clements &
Meredith (1992) y Zemelman, Daniels & Hyde (1998) y
otros, los docentes deben adoptar una serie de buenas
prácticas con el fin de ayudar a los estudiantes a
desarrollar habilidades para resolver problemas:
• Plantear verbalmente problemas con variedad de
estructuras y de formas de solución.
• Presentar diversas estrategias de solución de
problemas.
• Asignar problemas que tengan aplicación en la vida
diaria.
• Ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de
los estudiantes y construyan confianza en la
investigación, la solución de problemas y la
comunicación.
• Permitir a los estudiantes tomar la iniciativa en el
planteamiento de preguntas e investigaciones que les
interesen.
• Hacer preguntas que involucren pensamiento de
orden superior.
• Verificar que los estudiantes son conscientes de las
estrategias que deben utilizar y de los procesos que
deben aprender.
• Plantear problemas que proporcionen contextos en
los que se aprendan conceptos y habilidades.
• Proveer ejemplos de cómo los conceptos y
habilidades utilizados podrían aplicarse en otros
contextos.
• Promover, de manera creciente, la abstracción y la
generalización mediante la reflexión y la
experimentación.
• Fomentar la utilización de representaciones visuales
que favorezcan la comprensión de conceptos
(diagramas de flujo, mapas conceptuales, diagramas
de Venn, etc).
• Dar retroalimentación personalizada en
consideración al esfuerzo hecho por los estudiantes
para solucionar problemas.
• Verificar que una cantidad importante de la
instrucción ocurra en grupos pequeños o en
situaciones de uno a uno.
• Ventilar los errores y malentendidos más comunes.
• Promover la interacción tanto estudiante-docente,
como estudiante-estudiante. Los niños son los
mejores maestros de otros niños en cosas tan
importantes para ellos como el aprendizaje de
diversos juegos (Savater, 1996).
• Ofrecer actividades que den oportunidad a los
estudiantes de discutir, hacer conjeturas, sacar
conclusiones, defender ideas y escribir
conceptualizaciones.
• Proporcionar oportunidades para realizar trabajo
reflexivo y colaborativo entre estudiantes.
Solución de problemas y programación
Desde el punto de vista educativo, la solución de
problemas mediante la programación de computadores
posibilita la activación de una amplia variedad de estilos
de aprendizaje. Los estudiantes pueden encontrar
diversas maneras de abordar problemas y plantear
soluciones, al tiempo que desarrollan habilidades para:
visualizar caminos de razonamiento divergentes,
anticipar errores, y evaluar rápidamente diferentes
escenarios mentales (Stager, 2003).
Ilustración 1-2(a): Área de trabajo de MicroMundos EX
(interfaz del programa)
Quienes han utilizado Logo con estudiantes de básica
primaria (especialmente con grados 3º a 5º - 8 a 11