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Misceláneas. Probabilidad a posteriori. Teorema de Bayes.

 

Ley de los grandes números

En la Wikipedia, al buscar información sobre el tema, encontramos lo siguiente:

"En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de ley de los grandes números se engloban varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.

Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie aumenta con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

El matemático italiano Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó sin pruebas que la precisión de las estadísticas empíricas tienden a mejorar con el número de intentos. Después esto fue formalizado como una ley de los grandes números. Una forma especial de la ley (para una variable aleatoria binaria) fue demostrada por primera vez por Jacob Bernoulli.​ Le llevó más de 20 años desarrollar una prueba matemática..."

La siguiente imagen enlaza con una pequeña utilidad dados.xls creada con Microsoft Excell 2010 que simula el lanzamiento de un dado y comprueba lo predicho. La hoja de cálculo, que es editable, simula el lanzamiento de un dado desde 90.000 a 63.000.000 de veces. Cada 'lanzamiento' consiste en generar, de forma 'aleatoria' (semialeatoria), un número entero del 1 al 6, y tener en cuenta el resultado incrementando en una unidad la cantidad apropiada. Se observa como al realizar pruebas sucesivas aumentando en cada una el número de lanzamientos el valor de la frecuencia relativa de un suceso concreto va acercándose muy lentamente al valor teórico previsto para su probabilidad de ocurrencia.

Aquí tocamos un tema interesante, la generación de números aleatorios (semialeatorios). Cada lenguaje de programación, cada intérprete y cada autor tiene su propia manera de generar números aleatorios. El hipervínculo anterior es un ejemplo de lo dicho y al final del artículo se enlazan algunas de las páginas que tratan este asunto.

El Teorema de Bayes

Dentro de la particularidad que nos ocupa: el estudio de la probabilidad a posteriori, o también probabilidad de las causas, que evidentemente es consecuencia de lo comentado en los párrafos anteriores, destaca la labor de Thomas Bayes que con su teorema sobre la probabilidad de las causas condicionadas a los efectos observados, abrió un amplio abanico de posibilidades al estudio científico de múltiples situaciones. El avance de las ciencias sociales, políticas y económicas, por citar algunas, se debe al uso acertado y sistemático de esta filosofía, además de a otras herramientas afines.


donde:

  • {A1, A2, A3,....., An} es un sistema completo de sucesos y se conocen las probabilidades P(Ai) (probabilidades a priori).
  • B es un suceso cualquiera y P(B/Ai) es conocida, por lo tanto también se conoce P(B).
  • P(Ai/B) es la probabilidad a posteriori a calcular.

A continuación enlazamos con una utilidad, creada con el editor DescartesJS, en la que, en primer lugar, se plantea una situación resoluble mediante el teorema de Bayes. Siguiendo las indicaciones que proporciona la propia escena, esta muestra el planteamiento y solución del ejercicio y más adelante la utilidad plantea, en una nueva escena, otra situación similar para que la persona interesada la resuelva ofreciéndose la posibilidad de contrastar la solución.

Entre los materiales disponibles para su uso y descarga en la web de la Red Descartes, relacionados con la Estadística y la Probabilidad, se encuentra una completa colección de utilidades que cubren todo el recorrido curricular, desde Primaria a Bachillerato. La autoría de estos materiales corresponde a miembros de la Red Descartes y, entre otros, destacamos la labor de:

En próximas entradas continuaremos exponiendo enlaces a algunos de los contenidos interactivos de Estadística y Probabilidad significativos por su capacidad didáctica.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la aplicación del teorema de Bayes a la resolución de un problema.


A continuación exponemos algunos enlaces a la información sobre la generación de números aleatorios.


Ildefonso Fernández Trujillo. 2018

 

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La modalidad de los juegos de introducción de preguntas escritas mediante ficherosde texto permite que las preguntas se puedan crear, archivar y utilizar de forma personalizada. Los ficheros de texto (.txt) se pueden crear mediante elgenerador de ficherosal que se puede acceder desde la web y del DVD. El generador de ficheros no necesita de conexión a Internet para funcionar. Estos ficheros de texto se pueden editar mediante editores de texto sencillos como el bloc de notas o notepad++.

La ventana para cargar el fichero de preguntas en el juego se muestra después de la de introducción de los nombres de los jugadores y las opciones específicas del juego y tiene el siguiente aspecto:
 
 
Los ficheros pueden introducirse de las siguientes formas:
 
  • Repositorio ADJA. Se trata de un menú desplegable que ofrece los ficheros de preguntas que se han subido al repositorio de la web del proyecto. Para poder utilizar esta opción se necesita conexión a Internet. Los usuarios pueden mandar ficheros al coordinador del proyecto para que estos sean publicados en el repositorio y que aparezcan en este selector para todos los usuarios.
  • Repositorio juego. Se muestra un selector de los ficheros de preguntas contenidos en la carpeta subida/ficheros del juego. Para que el fichero se muestre en el selector, el fichero debe encontrarse en la citada carpeta subida/ficheros y su nombre debe aparecer en el fichero lista.txt que se encuentra en la carpeta subida.
  • Dirección URL/local. Se carga el fichero simplemente escribiendo su nombre si dicho fichero se encuentre en la carpeta subida/ficheros. Si no se encuentra en dicha carpeta hay que poner la ruta local o dirección URL completa del juego.
  • Su equipo, explorador. Permite seleccionar un fichero de preguntas del equipo local u ordenador en el que se encuentra el juego a través del explorador del navegador.
  • Su equipo, arrastrar y soltar. Permite seleccionar un fichero de preguntas del equipo local u ordenador en el que se encuentra el juego arrastrándolo al área recuadrada.
Una vez seleccionado un juego mediante una de las formas comentadas, se mostrará el botón (inicialmente en blanco) que al lado del selector en uno los siguientes colores:

 Color Comentario  Estado
Lectura correcta del fichero
Fichero cargado. Se puede empezar a jugar.
El fichero ha sido leído.
Puede contener alguna incorrección en el tipo número de preguntas.
Fichero cargado. Comprobar los datos del fichero de preguntas antes de jugar.
El fichero no ha sido leído.
Puede que el número de preguntas sea insuficiente o que la extensión sea incorrecta
Revisar los datos del fichero y corregirlo o cargar otro. No se puede empezar a jugar.
 
 
Al cargar un fichero se mostrarán los datos cargados del mismo: estado de carga, autor, tema, número de preguntas y preguntas mínimas necesarias para jugar. En caso de existir algún error se podría detectar en estos datos.

Cuando se selecciona un fichero, antes de pulsar en el botón Jugar, se puede cambiar por otro. El fichero seleccionado será el que tenga activo el botón en color verde, naranja o rojo.

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La mayoría de los juegos admiten más de una forma o modalidad de introducción de preguntas en el mismo. Para los juegos del proyecto AJDA pueden ser:
 
  • Preguntas escritas cargadas desde un fichero. El fichero de preguntas se carga antes de iniciar la partida.
  • Preguntas orales. El presentador del juego formula las preguntas y verifica las respuestas.
  • Sin preguntas. Modalidad en la que no se formulan preguntas con contenidos específicos.
  • Preguntas escritas cargadas a mano al principio del juego. Antes de empezar la partida se escriben las preguntas y respuestas en el propio juego en un formulario destinado a tal fin. Estos contenidos se pierden al finalizar la partida.
  • Preguntas escritas generadas por juego con verificación de respuesta. El juego dispone de contenidos cargados y verifica las respuestas a los mismos.
La elección de modalidad o forma de introducción de preguntas en el juego es la primera que se muestra al acceder al mismo, salvo que el juego sólo disponga de una modalidad.

Dependiendo de la modalidad elegida, las preguntas se realizarán de una forma u otra. Por ello, es importante que el presentador disponga de los recursos necesarios dependiendo de la modalidad elegida, es decir, si se va a utilizar un fichero se deberá tener éste preparado, si se van a hacer las preguntas orales, estar preparado para realizarlas y corregirlas o si se van a introducir las preguntas al principio del juego realizarlo antes de comenzar el juego.
 

Miércoles, 28 Marzo 2018 16:30

Particiones del cubo en pirámides (Adenda)

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"Si comparamos las anteriores veintiuna particiones del cubo ¿cuántas son congruentes a su vez entre sí?, es decir, ¿cuántas son diferentes salvo isometrías?"... Esta pregunta quedó abierta en el artículo "Partición de un cubo en pirámides (y parte III)" y en esta adenda procedemos a su respuesta.

1. Reducción por congruencia de las particiones prismáticas del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes 

Podemos realizar dos planteamientos conducentes a determinar el menor número de particiones diferentes salvo isometrías:

Opción A

En las treinta y seis particiones prismáticas del cubo observamos que la partición P2-P1 es congruente con la P1-P2 sin más que realizar un giro de 180º alrededor de la vertical (eje Oz) y, por tanto, quedaban reducidas a veintiuna las posibles particiones. Éstan son : {I-I, I-II, I-III, I-IV, I-V, I-VI, II-II, II-III, II-IV, II-V, II-VI, III-III, III-IV, III-V, III-VI, IV-IV, IV-V, IV-VI, V-V, V-VI, VI-VI}. Y en particular, entre ellas, hay tres casos en los que todas las pirámides son congruentes: {I-I, I-IV, IV-IV}.

Partición con pirámides equivalentes

Escena 1. Congruencia mediante giro de 180º alrededor del eje Oz

En el análisis de la descomposición del prisma triangular en tres pirámides triangulares equivalentes indicamos que la aplicación de una simetría y de un giro alrededor del eje Oy generaba las siguientes transformaciones:

  tipo partición del prisma transformada 
tipo partición del prisma original SIMETRÍA GIRO ALREDEDOR OY
IV I
II VI
III VI V
IV I IV
V II III
VI III II

 

que aplicadas a las particiones del cubo conducen a: 

Simetría       Giro alrededor de Oy

  I II III IV V VI
I IV-IV V-IV VI-IV I-IV II-IV III-IV
II IV-V V-V VI-V I-V II-V III-V
III IV-VI V-VI VI-VI I-VI II-VI III-VI
IV IV-I V-I VI-I I-I II-I III-I
V IV-II V-II VI-II I-II II-II III-II
VI IV-III V-III VI-III I-III II-III III-III

  I II III IV V VI
I I-I I-VI I-V I-IV I-III I-II
II VI-I VI-VI VI-V VI-IV VI-III VI-II
III V-I V-VI V-V V-IV V-III V-II
IV IV-I IV-VI IV-V IV-IV IV-III IV-II
V III-I III-VI III-V III-IV III-III III-II
VI II-I II-VI II-V II-IV II-III II-II

 

Así pues combinando estas isometrías podemos ver las relaciones existentes entre las treinta y seis particiones e identificar las congruencias existentes entre las mismas. Esto puede verse interactivamente en la siguiente escena:

Congruencias en las particiones del cubo

Escena 2. Congruencias en las particiones del cubo

Opción B

Otro planteamiento posible sería partir de las dos particiones posibles del prisma (I y II), junto a sus congruencias respectivas (IV y III, V, VI) y abordar las combinaciones de las mismas para formar el cubo. Esto nos lleva a:

I-I    particiones del cubo
I-II   particiones del cubo
I-III   particiones del cubo
I-IV   particiones del cubo
I-V  congruente con I-III  
I-VI congruente con I-II  
II-II   particiones del cubo
II-III   particiones del cubo
II-IV congruente con I-III  
II-V   particiones del cubo
II-VI   particiones del cubo

 

La primera opción tiene como ventaja el poder ver todas las particiones posibles, agrupadas por congruencia, y la segunda el ser un análisis más breve. Ambas nos permiten obtener las conclusiones finales expuestas a continuación.  

2. Conclusiones en la partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes 

Del análisis anterior se concluye que, salvo isometrías, hay sólo ocho formas diferentes de descomponer prismáticamente el cubo en seis pirámides equivalentes y entre ellas hay dos en las que todas las pirámides son también congruentes entre sí.

Conclusiones en las particiones prismáticas del cubo

Escena 3. Las ocho particiones prismáticas del cubo, salvo isometrías

 

Todo queda englobado en este objeto interactivo:

Partición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes

Objeto interactivo: Partición prismática del cubo en pirámides triangulares equivalentes

 

Nota bene. 

En los artículos publicados en este blog con el título "Particiones del cubo en pirámides" se han realizado las siguientes aportaciones:

1. Partiendo de las clásicas y conocidas descomposiciones del cubo en tres, cuatro, cinco y seis pirámides de base cuadrada, aquí se ha planteado una visión global que muestra que los casos anteriores no son más que cuatro casos particulares de una infinidad de particiones, todas construidas en base a considerar un punto que pasa a configurarse como el vértice común a todas las pirámides que conforman cada partición. El cardinal mínimo de la partición se alcanza en tres pirámides.

2. En base a la partición genérica anterior, se ha descompuesto de manera general el cubo en seis, ocho, diez y doce pirámides triangulares mediante la subdivisión de cada pirámide cuadrada en dos triangulares. En el caso de seis pirámides se demuestra que dichas pirámides son siempre equivalentes, de igual volumen.

3. Constructivamente se prueba que la partición del cubo en pirámides triangulares alcanza su cardinal mínimo en una única y clásica partición en cinco pirámides triangulares compuesta por un tetraedro regular y cuatro pirámides trirrectángulares, pero que no tienen igual volumen. 

4. Centrándose en las particiones del cubo en pirámides triangulares que sean equivalentes (igual volumen) se ha obtenido que en este caso el cardinal mínimo es de seis y pueden englobarse en particiones no prismáticas y particiones prismáticas (aquellas en las que el cubo queda a su vez dividido en dos prismas triangulares).

5.  Se ha abordado y analizado la partición de un prisma triangular en tres pirámides equivalentes, como problema conducente a la partición prismática del cubo, y se ha concluído que salvo isometrías hay sólo dos posibilidades. En particular en una de ellas las tres pirámides son además congruentes (coincidentes mediante isometrías).

6. A partir de la descomposición del prisma se han construido las posibles particiones prismáticas del cubo en pirámides triangulares equivalentes obteniéndose ocho posibilidades y, entre ellas, dos casos en las que las seis pirámides además son congruentes.

Así pues, un problema clásico —la partición de un cubo en pirámides cuadradas y triangulares—, que ha sido siempre expuesto de manera parcial a través de ejemplos particulares que no detallan la totalidad de las posibilidades, aquí se ha analizado constructivamente desde una perspectiva metódica, englobadora que logra hacer un completo y detallado recubrimiento descriptivo de su solución.

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