Deltoides
con proporciones áureas
Luis Barrios Calmaestra

Deltoides
con proporciones áureas

Luis Barrios Calmaestra

Red Educativa digital Descartes




Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2024

Título de la obra:
Deltoides con proporciones áureas


Autor:
Luis Barrios Calmaestra
Red Educativa digital Descartes


Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono



Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-18834-99-8


Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

Prefacio

En este libro se estudia la existencia y construcción de deltoides con proporciones áureas. Se incluyen escenas interactivas del Proyecto Descartes que ayudan a realizar la construcción paso a paso de las figuras estudiadas y a una mejor comprensión de sus propiedades.

El primer capítulo es una introducción sobre el número de oro, su historia, sus propiedades y su representación gráfica. Se calculan también las primeras potencias del números de oro y se observa su relación con la sucesión de Fibonacci.

El segundo capítulo trata sobre el rectángulo de oro, símbolo de armonía y belleza. Se estudia su construcción y sus propiedades. Se representan algunas figuras y curvas que se pueden inscribir en él y, que por este motivo, reciben la denominación de áureas.

En el tercer capítulo se estudian triángulos isósceles con proporciones áureas, se calculan sus elementos y se observa su presencia en el pentágono regular y en el decágono regular. Así mismo se estudian las proporciones áureas en estos dos polígonos regulares.

El cuarto capítulo estudia los cuadrilaterós con proporciones áureas, el rombo de oro, el romboide, trapecios isósceles y escalenos y trapezoides. Se estudian sus elementos y la forma de construirlos.

Y los capítulos quinto y sexto, que le dan título al libro, tratan sobre un tipo particular de trapezoide, el deltoide, un trapezoide con dos parejas de lados consecutivos iguales. Se estudian deltoides convexos y cóncavos inscritos en un rectángulo áureo. Y se estudia también la existencia de deltoides que, aunque no están inscritos en un rectángulo de oro, verifican que sus lados y sus diagonales están en proporción áurea.

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Capítulo I

El número de oro

1.1 Introducción histórica

Su descubrimiento se remonta al siglo V a. C., en la época de la Grecia Clásica, en la que era utilizado en arquitectura y escultura. Sin embargo, la primera documentación escrita sobre el número de oro data del siglo III a. C. La tercera definición del libro VI de los "Elementos" de Euclides (325-265 a.C.), es la siguiente:

"Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor".

Esta razón o proporción es lo que hoy conocemos como proporción áurea o número de oro.

Euclides también demostró que esta razón no puede expresarse como cociente de dos números enteros, es decir, que no era un número racional, sino irracional.

En el año 1509 Luca Pacioli (1447-1517) publica un tratado sobre el número de oro, titulado "La Divina Proporción", asignándole este calificativo de "divino".

El calificativo "áureo" se debe al matemático alemán Martin Ohm (1792-1872), quién se refiere a este número como "sección dorada" en su obra "Las matemáticas puras elementales" de 1835.

El símbolo, ϕ\bm{\phi}, vigésima primera letra del alfabeto griego, con el que lo conocemos en la actualidad, fue propuesto por el ingeniero norteaméricano James Mark Barr (1871-1950), como inicial del nombre del escultor griego Fidias (490-431 a.C.), uno de los arquitectos del Partenón de Atenas, una de las obras más importantes en las que se utiliza la proporción áurea.

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1.2 Cálculo del número de oro

Vamos a dividir un segmento de longitud una unidad en dos partes, de forma que la razón entre la parte mayor y la parte menor sea igual a la razón entre el total y la parte mayor. A esta forma de dividir un segmento se le conoce como proporción o sección áurea.

De la condición impuesta para la división del segmento, se obtiene:

x1x=1xx2=1xx2+x1=0\displaystyle\frac{x}{1-x}=\frac{1}{x} \quad \rightarrow \quad x^{2}=1-x \quad \rightarrow \quad x^2+x-1=0

Esta ecuación tiene como soluciones:

x=1+52>0x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}>0 \quad y x=152<0\quad x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0

La solución válida es la solución positiva.

Si x=1+521x=11+52=352\quad x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \quad \rightarrow \quad 1-x=1-\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}

El número de oro, ϕ\phi, es la razón entre la parte mayor y la menor:

ϕ=x1x=1+52352=1+535=(1+5)(3+5)(35)(3+5)\phi=\displaystyle\frac{x}{1-x}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}{\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{(-1+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}

ϕ=3+25+595=2+254=1+52\phi=\displaystyle\frac{-3+2\sqrt{5}+5}{9-5}=\displaystyle\frac{2+2\sqrt{5}}{4}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}

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El número de oro es un número irracional, es decir, está formado por infinitas cifras decimales no periódicas.

A continuación, se expresa el número de oro con sus mil primeras cifras decimales, que se han calculado utilizando el programa Mathematica:

ϕ=1.6180339887498948482045868343656381177203091798057\phi=1.6180339887498948482045868343656381177203091798057
628621354486227052604628189024497072072041893911374847628621354486227052604628189024497072072041893911374847
540880753868917521266338622235369317931800607667263544540880753868917521266338622235369317931800607667263544
333890865959395829056383226613199282902678806752087668333890865959395829056383226613199282902678806752087668
925017116962070322210432162695486262963136144381497587925017116962070322210432162695486262963136144381497587
012203408058879544547492461856953648644492410443207713012203408058879544547492461856953648644492410443207713
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Como no es un decimal exacto, la mejor forma de utilizarlo para hacer cálculos con la mayor precisión es con su expresión matemática y, cuando haya que expresarlo en forma decimal, escoger el número de decimales apropiado para cada situación.

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1.3 División de un segmento en la razón áurea

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir paso a paso la división de un segmento, con regla y compás, en la razón áurea.

Se verifica que la razón entre la parte mayor y la parte menor en las que se ha dividido el segmento es igual a la razón entre el segmento completo y la parte mayor. Al dividir el segmento de esta forma, estos cocientes coinciden con el número de oro, según se ha visto anteriormente.

ABAX=AXXB=ϕ\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\overline{AX}}=\displaystyle\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}=\phi

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Demostración

Aplicando el Teorema de Pitágoras

AC2=AB2+BC2=AB2+AB24=5AB24\overline{AC}^{2}=\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}=\overline{AB}^{2}+\displaystyle\frac{\overline{AB}^{2}}{4}=\frac{5\overline{AB}^{2}}{4}

Por otra parte:

AC2=(AD+DC)2=(AX+BC)2=(AX+AB2)2\overline{AC}^{2}=\big(\overline{AD}+\overline{DC}\big)^{2}=\big(\overline{AX}+\overline{BC}\big)^{2}=\bigg(\overline{AX}+\displaystyle\frac{\overline{AB}}{2} \bigg)^{2}

AC2=AX2+AXAB+AB24\overline{AC}^{2}=\overline{AX}^{2}+\overline{AX}·\overline{AB}+\displaystyle\frac{\overline{AB}^{2}}{4}

Se igualan las dos expresiones de AC2\overline{AC}^{2}:

5AB24=AX2+AXAB+AB24\displaystyle\frac{5\overline{AB}^{2}}{4}=\overline{AX}^{2}+\overline{AX}·\overline{AB}+\displaystyle\frac{\overline{AB}^{2}}{4}

Se agrupan los términos semejantes:

AB2=AX2+AXABAB2AXAB=AX2\overline{AB}^{2}=\overline{AX}^{2}+\overline{AX}·\overline{AB}\quad\rightarrow\quad\overline{AB}^{2}-\overline{AX}·\overline{AB}=\overline{AX}^{2}

Se saca factor común y se sustituye la expresión del paréntesis:

AB(ABAX)=AX2ABXB=AXAX\overline{AB}·\big(\overline{AB}-\overline{AX}\big)=\overline{AX}^{2}\quad\rightarrow\quad\overline{AB}·\overline{XB}=\overline{AX}·\overline{AX}

Finalmente se obtiene la relación buscada:

ABAX=AXXB\displaystyle\frac{\overline{AB}}{\overline{AX}}=\displaystyle\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}

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1.4 Representación gráfica del número de oro

El número de oro es un número algebraico. Esto significa:

• Es solución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, se obtiene como una de las soluciones de   x2x1=0: \, \, x^{2}-x-1=0:

x=(1)±(1)241(1)21=1±52x=\displaystyle\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}=\displaystyle\frac{1 \pm\sqrt{5}}{2}

• Se puede representar gráficamente con regla y compás, como se puede comprobar en la siguiente escena del proyecto Descartes:

El número 2\bm{\sqrt{2}} también es algebraico. Sin embargo, otros números irracionales como π\bm{\pi} y e\bm{e} se dice que son trascendentes porque no verifican estas condiciones.

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1.5 Potencias del número de oro

Se van a necesitar, en cálculos de capítulos posteriores, potencias de exponente positivo y negativo del número de oro. Vamos a calcularlas en este apartado para, cuando aparezcan, utilizar directamente su expresión.

1.5.1 Potencias de exponente entero positivo

El número de oro se ha obtenido como solución de la ecuación:

x2x1=0x^{2}-x-1=0

Sustituyendo el valor de ϕ\phi en la ecuación se obtiene el valor de ϕ2\phi^{2}:

ϕ2ϕ1=0ϕ2=ϕ+1\phi^{2}-\phi-1=0 \quad \rightarrow \quad \phi^{2}=\phi+1

Calculamos algunas potencias más:

ϕ3=ϕϕ2=ϕ(ϕ+1)=ϕ2+ϕ=(ϕ+1)+ϕ=2ϕ+1\phi^{3}=\phi\cdot\phi^{2}=\phi\cdot(\phi+1)=\phi^{2}+\phi=(\phi+1)+\phi=2\phi+1

ϕ4=ϕϕ3=ϕ(2ϕ+1)=2ϕ2+ϕ=2(ϕ+1)+ϕ=3ϕ+2\phi^{4}=\phi\cdot\phi^{3}=\phi\cdot(2\phi+1)=2\phi^{2}+\phi=2(\phi+1)+\phi=3\phi+2

ϕ5=ϕϕ4=ϕ(3ϕ+2)=3ϕ2+2ϕ==5ϕ+3\phi^{5}=\phi\cdot\phi^{4}=\phi\cdot(3\phi+2)=3\phi^{2}+2\phi=\dotso=5\phi+3

ϕ6=ϕϕ5=ϕ(5ϕ+3)=5ϕ2+3ϕ==8ϕ+5\phi^{6}=\phi\cdot \phi^{5}=\phi\cdot(5\phi+3)=5\phi^{2}+3\phi=\dotso=8\phi+5

Calculando más potencias, se puede observar:

• Tanto los números que multiplican a ϕ\phi como los que no, son los términos de la sucesión de Fibonacci.

• Cada potencia se obtiene sumando las dos anteriores.

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1.5.2 Potencias de exponente cero y entero negativo

Como ϕ0\,\phi\not=0\, se verifica que ϕ0=1\,\phi^{0}=1.

Veamos las potencias de exponente negativo:

Dividiendo por ϕ\, \phi \, en la igualdad    ϕ2=ϕ+1,   \, \, \, \phi^{2}=\phi+1, \, \, \, se obtiene:

ϕ2ϕ=ϕϕ+1ϕϕ=1+1ϕϕ1=1ϕ=ϕ1\displaystyle\frac{\phi^{2}}{\phi}=\frac{\phi}{\phi}+\frac{1}{\phi} \quad \rightarrow \quad \phi=1+\frac{1}{\phi} \quad \rightarrow \quad \phi^{-1}=\frac{1}{\phi}=\phi-1

A partir de este valor, se pueden calcular el resto de potencias de exponente negativo:

ϕ2=ϕ1ϕ1=(ϕ1)(ϕ1)=ϕ22ϕ+1=2ϕ\phi^{-2}=\phi^{-1}\cdot \phi^{-1}=(\phi-1)\cdot (\phi-1)=\phi^{2}-2\phi+1=2-\phi

ϕ3=ϕ1ϕ2=(ϕ1)(2ϕ)=ϕ2+3ϕ2=2ϕ3\phi^{-3}=\phi^{-1}\cdot \phi^{-2}=(\phi-1)\cdot (2-\phi)=-\phi^{2}+3\phi-2=2\phi-3

ϕ4=ϕ1ϕ3=(ϕ1)(2ϕ3)=2ϕ25ϕ+3=53ϕ\phi^{-4}=\phi^{-1}\cdot \phi^{-3}=(\phi-1)\cdot (2\phi-3)=2\phi^{2}-5\phi+3=5-3\phi

ϕ5=ϕ1ϕ4=(ϕ1)(53ϕ)==5ϕ8\phi^{-5}=\phi^{-1}\cdot \phi^{-4}=(\phi-1)\cdot(5-3\phi)=\dotso=5\phi-8

.... \, . \, .

Calculando más potencias, se puede observar:

• Tanto el valor absoluto de los números que multiplican a ϕ\phi como el de los que no, son los términos de la sucesión de Fibonacci.

• Cada potencia se obtiene sumando las dos anteriores, igual que sucede con la sucesión de Fibonacci, en la que cada término se obtiene sumando los dos anteriores.

ϕz=ϕz1+ϕz2,  zZ\phi^{z}=\phi^{z-1}+\phi^{z-2}\,,\,\,z \in \Z

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Potencias de ϕ\phi

ϕ1=ϕ\phi^{1}=\phiϕ1=ϕ1\phi^{-1}=\phi-1
ϕ2=ϕ+1\phi^{2}=\phi+1ϕ2=ϕ+2\phi^{-2}=-\phi+2
ϕ3=2ϕ+1\phi^{3}=2\phi+1ϕ3=2ϕ3\phi^{-3}=2\phi-3
ϕ4=3ϕ+2\phi^{4}=3\phi+2ϕ4=3ϕ+5\phi^{-4}=-3\phi+5
ϕ5=5ϕ+3\phi^{5}=5\phi+3ϕ5=5ϕ8\phi^{-5}=5\phi-8
ϕ6=8ϕ+5\phi^{6}=8\phi+5ϕ6=8ϕ+13\phi^{-6}=-8\phi+13
ϕ7=13ϕ+8\phi^{7}=13\phi+8ϕ7=13ϕ21\phi^{-7}=13\phi-21
ϕ8=21ϕ+13\phi^{8}=21\phi+13ϕ8=21ϕ+34\phi^{-8}=-21\phi+34
ϕ9=34ϕ+21\phi^{9}=34\phi+21ϕ9=34ϕ55\phi^{-9}=34\phi-55
ϕ10=55ϕ+34\phi^{10}=55\phi+34ϕ10=55ϕ+89\phi^{-10}=-55\phi+89
ϕ11=89ϕ+55\phi^{11}=89\phi+55ϕ11=89ϕ144\phi^{-11}=89\phi-144
ϕ12=144ϕ+89\phi^{12}=144\phi+89ϕ12=144ϕ+233\phi^{-12}=-144\phi+233
ϕ13=233ϕ+144\phi^{13}=233\phi+144ϕ13=233ϕ377\phi^{-13}=233\phi-377
ϕ14=377ϕ+233\phi^{14}=377\phi+233ϕ14=377ϕ+610\phi^{-14}=-377\phi+610
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Capítulo II

El rectángulo de oro

2.1 Rectángulo de oro

A un rectángulo, cuyos lados están en proporción áurea, se le conoce como rectángulo áureo o rectángulo de oro.

Es un rectángulo muy utilizado desde siempre en arte, buscando el modelo de perfección y belleza, pues es considerado como el rectángulo más armonioso a la vista de todos los que se pueden construir.

El ejemplo más antiguo de construcción en el que aparece el número de oro es la Pirámide de Keops o Pirámide de Guiza, en Egipto, cuya construcción finalizó alrededor del año 2600 a. C. En esta pirámide la altura de una cara entre la mitad de la arista básica coincide con el número de oro, es decir, el rectángulo de lados la altura de una cara y la mitad de la arista básica sería un rectángulo áureo.

Sin embargo, el ejemplo más importante es el Partenón de Atenas, del siglo V a. C., cuya fachada principal se puede inscribir en un rectángulo áureo. Esto supuso que se represente el número de oro con la letra griega ϕ\bm{\phi}, inicial de uno de los arquitectos que colaboraron en su diseño. Sin embargo, también existen estudios que dudan que ese ajuste sea perfecto.

Aunque se suele decir que tanto el DNI como las tarjetas de crédito son rectángulos áureos, en realidad no lo son. Sus medidas son 85.6 x 53.98 mm y la razón entre los lados es 1.58577.

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2.1.1 Construcción de un rectángulo áureo

Se puede construir un rectángulo de oro a partir de un cuadrado cualquiera, utilizando un procedimiento similar al utilizado para la representación gráfica del número ϕ\phi.

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir los pasos para la construcción de un rectángulo de oro.

Demostración

Si se representa por xx la longitud del lado del cuadrado, la longitud del segmento MB\overline{MB} es x/2x/2. Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo MBCMBC, se puede calcular la longitud del lado MC\overline{MC}:

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MC=x2+(x2)2=x2+x24=5x24=5x2\overline{MC}=\sqrt{x^2+\bigg(\displaystyle\frac{x}{2}\bigg)^{2}}=\sqrt{x^2+\displaystyle\frac{x^{2}}{4}}=\sqrt{\displaystyle\frac{5x^{2}}{4}}={\displaystyle\frac{\sqrt{5}x}{2}}

De la construcción se deduce que MC=ME\overline{MC}=\overline{ME}.

El lado mayor del rectángulo mide:

AE=AM+ME=x2+5x2=x+5x2=x(1+5)2\overline{AE}=\overline{AM}+\overline{ME}=\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{5}x}{2}=\displaystyle\frac{x+\sqrt{5}x}{2}=\displaystyle\frac{x(1+\sqrt{5})}{2}

La razón entre los lados del rectángulo es el número de oro:

AEAD=x(1+5)2x=1+52=ϕ\displaystyle\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x(1+\sqrt{5})}{2}}{x}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi

2.1.2 Propiedades del rectángulo áureo

• Si se divide un rectángulo de oro en dos rectángulos iguales, los dos rectángulos obtenidos no son rectángulos áureos.

ϕ1/2=2ϕϕ1ϕ/2=2ϕ=2ϕ2ϕ\displaystyle\frac{\phi}{1/2}=2\phi\not=\phi\quad\quad\quad\quad\displaystyle\frac{1}{\phi/2}=\frac{2}{\phi}=2\phi-2\not=\phi

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• Si a un rectángulo de oro se le añade un cuadrado, cuyo lado mide la longitud del lado mayor, se obtiene otro rectángulo de oro.

ϕ+1ϕ=1+1ϕ=1+(ϕ1)=ϕ\displaystyle\frac{\phi+1}{\phi}=1+\displaystyle\frac{1}{\phi}=1+(\phi-1)=\phi

• Si a un rectángulo de oro se le quita un cuadrado, cuyo lado mide la longitud del lado menor, se obtiene otro rectángulo de oro.

1ϕ1=11/ϕ=ϕ\displaystyle\frac{1}{\phi-1}=\displaystyle\frac{1}{1/\phi}=\phi

• Perímetro y superficie. En el rectángulo de oro cuyos lados miden ϕ\phi y 11 unidades, se verifica que:

P=2ϕ+2=2(ϕ+1)=2ϕ25.24  uP=2\phi+2=2(\phi+1)=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

S=ϕ1=ϕ1.618  u2S=\phi\cdot 1=\phi\approx1.618\,\,u^{2}

En cualquier otro rectángulo semejante, el perímetro se obtiene multiplicando por la razón de semejanza y la superficie por el cuadrado de la razón de semejanza.

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2.1.3 Figuras inscritas en un rectángulo áureo

Si el rectángulo áureo se considera que es el rectángulo con las mejores proporciones, se puede considerar de igual forma cualquier figura inscrita en un rectángulo de oro. Veamos algunas:

Espiral de Durero

Utilizando la primera de las propiedades de la página anterior, la espiral que se va construyendo de forma indefinida, siempre estará inscrita en un rectángulo áureo.

Rombo áureo

Si en un rectángulo áureo se unen los puntos medios de sus lados, se obtiene un rombo cuyas diagonales guardan la proporción del número de oro. Este rombo se conoce como rombo de oro o rombo áureo.



Se pueden ampliar todas las imágenes de este apartado pulsando con el ratón sobre ellas.

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Elipse áurea

Al inscribir una elipse en un rectángulo áureo, el cociente entre las longitudes del eje mayor y del eje menor coincide con el número de oro. Esta elipse se conoce como elipse de oro o elipse áurea. En la imagen se puede observar la elipse, su ecuación y sus elementos.

Hipérbola áurea

Si construimos una hipérbola con el eje real igual al eje mayor de la elipse y el eje imaginario igual al eje menor de la elipse, sus asíntotas coinciden con las diagonales de un rectángulo áureo.

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Parábola áurea

No se puede inscribir una parábola en un rectángulo áureo al no ser una curva cerrada. La parábola y=ϕx2y=\phi·x^{2}, para x=0x=0 y x=1x=1 pasa por dos vértices opuestos de un rectángulo áureo. ¿Se le puede llamar parábola áurea?

Lemniscata áurea

Si inscribimos una lemniscata en un rectángulo de oro, se obtiene una lemniscata de oro o lemnicata áurea. Se podria hablar también del símbolo de oro del infinito.

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2.2 Rectángulo de proporción 2\sqrt{2}

Aunque no tiene relación con el número de oro, un rectángulo muy interesante por su uso frecuente, es el rectángulo cuyos lados están en proporción 2\sqrt{2}.

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir los pasos para la construcción de un rectángulo de razón 2\sqrt{2}.

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Es el formato de los tamaños de papel utilizados y que se conoce como formato DIN, serie A. El más habitual es el A4 que corresponde al folio La hoja completa corresponde al formato A0 de dimensiones 1189 x 841 milímetros y de aproximadamente 1m21 m^{2}.

• Si se divide un rectángulo de proporción 2\sqrt{2} en dos rectángulos iguales, los rectángulos obtenidos tienen también proporción 2\sqrt{2}.

12/2=22=2222=2\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2·\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}=\sqrt{2}

29
Capítulo III

Triángulos
con proporciones áureas

3.1 Triángulos con proporciones áureas

¿Existe el triángulo de oro? Se puede pensar en un triángulo cuyos lados estén en proporción áurea, es decir cuyos lados midan 11, ϕ\phi y ϕ2\phi^{2}.

En cualquier triángulo se verifica que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que el tercero. En este caso:

1+ϕ=ϕ21+\phi=\phi^{2}

Por tanto, no es posible construir un triángulo con estas medidas.

3.1.1 Triángulo isósceles con proporciones áureas I

No existe un triángulo escaleno con proporciones áureas, pero sí existe un triángulo isósceles en el que la razón entre las longitudes de los lados iguales y del lado distinto es el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden ϕ\phi, ϕ\phi y 11.

33

Vamos a calcular los ángulos. Calculamos en primer lugar el ángulo α\alpha con el teorema del coseno:

12=ϕ2+ϕ22ϕϕcos(α)=2ϕ22ϕ2cos(α)1^2=\phi^{2}+\phi^{2}-2\phi\cdot\phi\cdot cos(\alpha)=2\phi^{2}-2\phi^{2}cos(\alpha)

cos(α)=2ϕ212ϕ2=2(ϕ+1)12(ϕ+1)=2ϕ+12ϕ+2=2+53+5cos(\alpha)=\displaystyle\frac{2\phi^{2}-1}{2\phi^{2}}=\displaystyle\frac{2(\phi+1)-1}{2(\phi+1)}=\displaystyle\frac{2\phi+1}{2\phi+2}=\displaystyle\frac{2+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}

cos(α)=2+53+53535=1+54=ϕ2cos(\alpha)=\displaystyle\frac{2+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \cdot \displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\displaystyle\frac{\phi}{2}

α=arccos(1+54)=36º\alpha=arccos \bigg(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}\bigg)=36º

Calculamos ahora los ángulos iguales:

α+2β=180ºβ=180ºα2=180º36º2=72º\alpha+2\beta=180º \quad \rightarrow \quad \beta=\displaystyle\frac{180º-\alpha}{2}=\displaystyle\frac{180º-36º}{2}=72º

El triángulo buscado es cualquier triángulo semejante al de la figura siguiente:

Calculamos el perímetro y superficie:

P=2ϕ+1=ϕ34.24  uP=2\phi+1=\phi^3\approx4.24\,\,u

h2=ϕ214=4ϕ+34h^{2}=\phi^{2}-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{4\phi+3}{4}

h=4ϕ+32h=\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}

S=1214ϕ+32=4ϕ+340.77  u2S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{4}\approx0.77\,\,u^{2}

34

3.1.2 Triángulo isósceles con proporciones áureas II

Existe un triángulo isósceles en el que la razón entre las longitudes del lado distinto y de los lados iguales es el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden ϕ\phi, 11 y 11.

Calculamos en primer lugar el ángulo α\alpha con el teorema del coseno:

ϕ2=12+12211cos(α)=22cos(α)\phi^{2}=1^{2}+1^{2}-2\cdot 1\cdot 1\cdot cos(\alpha)=2-2cos(\alpha)

cos(α)=2ϕ22=2(ϕ+1)2=1ϕ2=154cos(\alpha)=\displaystyle\frac{2-\phi^{2}}{2}=\displaystyle\frac{2-(\phi+1)}{2}=\displaystyle\frac{1-\phi}{2}=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{4}

α=arccos(154)=108º\alpha=arccos \bigg(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{4} \bigg)=108º

Calculamos ahora los ángulos iguales:

α+2β=180ºβ=180ºα2=180º108º2=36º\alpha+2\beta=180º \quad \rightarrow \quad \beta=\displaystyle\frac{180º-\alpha}{2}=\displaystyle\frac{180º-108º}{2}=36º

El triángulo buscado es cualquier triángulo semejante al de la figura siguiente:

P=ϕ+23.62  uP=\phi+2\approx3.62\,\,u

S=ϕ3ϕ40.48  u2S=\displaystyle\frac{\phi\cdot\sqrt{3-\phi}}{4}\approx0.48\,\,u^{2}

35

3.1.3 Dos triángulos rectángulos interesantes

• Se ha comprobado anteriormente que no existe un triángulo cuyos lados midan 11, ϕ\phi y ϕ2\phi^{2}. Sin embargo, vamos a estudiar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 11 y ϕ\phi.

Calculamos la longitud de la hipotenusa con el Teorema de Pitágoras:


a2=ϕ2+12=(ϕ+1)+1=ϕ+2a^{2}=\phi^{2}+1^{2}=(\phi+1)+1=\phi+2

a=ϕ+21.9  ua=\sqrt{\phi+2}\approx1.9\,\,u


Calculamos ahora los ángulos agudos:


tg(α)=ϕ1=ϕtg(\alpha)=\displaystyle\frac{\phi}{1}=\phi

α=arctg(ϕ)=58º1657.09\alpha=arctg(\phi)=58º\,16'\,57.09''

β=90º58º1657.09=31º432.91\beta=90º-58º\,16'\,57.09''=31º\,43'\,2.91''


El triángulo rectángulo es:


P=ϕ+1+ϕ+24.52  uP=\phi+1+\sqrt{\phi+2}\approx4.52\,\,u

S=1ϕ20.81  u2S=\displaystyle\frac{1 \cdot \phi}{2}\approx0.81\,\,u^{2}

36

• Vamos a estudiar otro triángulo rectángulo de forma que uno de sus catetos mide 11 y la hipotenusa mide ϕ\phi unidades.

Calculamos la longitud del otro cateto con el Teorema de Pitágoras:


b2=ϕ212=(ϕ+1)1=ϕb^{2}=\phi^{2}-1^{2}=(\phi+1)-1=\phi

b=ϕ1.27  ub=\sqrt{\phi}\approx1.27\,\,u


Los lados de este triángulo rectángulo están en progresión geométrica de razón ϕ\sqrt{\phi}. Vamos a calcular los datos que faltan:

tg(α)=ϕ1=ϕtg(\alpha)=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi}}{1}=\sqrt{\phi}

α=arctg(ϕ)=51º4938.25\alpha=arctg(\sqrt{\phi})=51º\,49'\,38.25''

β=90º51º4938.25=38º1021.75\beta=90º-51º\,49'\,38.25''=38º\,10'\,21.75''

P=ϕ+1+ϕ3.89  uS=1ϕ20.64  u2P=\phi+1+\sqrt{\phi}\approx3.89\,\,u \quad \quad S=\displaystyle\frac{1 \cdot \sqrt{\phi}}{2}\approx0.64\,\,u^{2}


En este triángulo rectángulo, la interpetación geométrica del Teorema de Pitágoras nos proporciona una comprobación geométrica del valor del cuadrado del número de oro.

ϕ2=ϕ+1\phi^{2}=\phi+1

37

3.2 El pentágono regular

Empezamos recordando la construcción de un pentágono regular inscrito en una circunferencia.

Si la longitud del radio de la circunferencia es 1 unidad, el lado del pentágono regular, utilizando el teorema del coseno, mide:

x2=12+12211cos(72º)x^{2}=1^{2}+1^{2}-2\cdot 1 \cdot 1 \cdot cos(72º)

x2=22514=552x^{2}=2-2\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\displaystyle\frac{5-\sqrt{5}}{2}

x2=3ϕx=3ϕx^2=3-\phi\quad \rightarrow \quad x=\sqrt{3-\phi}

38

Si necesitamos una longitud determinada del lado del pentágono, se puede construir a partir del procedimiento anterior por semejanza, pero también es posible construir gráficamente, con regla y compás, un pentágono regular conociendo la longitud del lado.

Si la longitud del lado del pentágono regular es 1 unidad, el radio de la circunferencia, utilizando semejanza de triángulos, mide:


r1=1xr=1x=13ϕ\displaystyle\frac{r}{1}=\displaystyle\frac{1}{x} \quad \rightarrow \quad r=\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3-\phi}}

39

Los ángulos interiores de un pentágono regular miden 108º.

Un pentágono regular tiene 5 diagonales de igual longitud. Cada una de ellas es paralela a uno de los lados.

Si dibujamos un pentágono regular cuyo lado mida una unidad, utilizando lados y diagonales se pueden construir los triángulos con proporciones áureas de los apartados anteriores.

Si la longitud del lado es distinta de 1, el cociente entre la longitud de la diagonal y la longitud del lado coincide con el número de oro.

Además existen otros triángulos semejantes a los dos anteriores.

40

3.3 El decágono regular

Empezamos recordando la construcción de un decágono regular inscrito en una circunferencia.

Si la longitud del radio de la circunferencia es 1 unidad, el lado del decágono regular, utilizando el teorema del coseno, mide:

x2=12+12211cos(36º)x^{2}=1^{2}+1^{2}-2\cdot1 \cdot1\cdot cos(36º)

x2=22cos(36º)=2ϕ=1ϕ2x^{2}=2-2cos(36º)=2-\phi=\displaystyle\frac{1}{\phi^2}

x=1ϕ=ϕ1x=\displaystyle\frac{1}{\phi}=\phi-1

41

Si necesitamos una longitud determinada del lado del decágono, se puede construir a partir del procedimiento anterior por semejanza, pero también es posible construir gráficamente, con regla y compás, un decágono regular conociendo la longitud del lado.

Si el lado del decágono regular es 1 unidad, el radio de la circunferencia, utilizando semejanza de triángulos, mide:


r1=1xr=1x=11/ϕ=ϕ\displaystyle\frac{r}{1}=\displaystyle\frac{1}{x} \quad \rightarrow \quad r=\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{1}{1/\phi}=\phi

42

Los ángulos interiores de un decágono regular miden 144º.

Un decágono regular tiene 35 diagonales de cuatro longitudes distintas. Cinco de ellas coinciden con diámetros del decágono y hay diez de cada una de las restantes.

Vamos a calcular la longitud de las cuatro diagonales distintas en un decágono regular cuyo lado mide una unidad.

• Se calcula d1d_{1} aplicando el teorema del coseno:

d12=12+12211cos(144º)=22cos(144º)=ϕ+2{d_{1}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\cdot1\cdot 1\cdot cos(144º)=2-2cos(144º)=\phi+2

d12=ϕ+2=ϕ2+1d1=ϕ+2=ϕ2+1{d_{1}}^{2}=\phi+2=\phi^{2}+1 \quad \rightarrow \quad d_{1}=\sqrt{\phi+2}=\sqrt{\phi^{2}+1}

43

• Se calcula d2d_{2} aplicando el teorema del seno:

d2sen(126º)=1sen(18º)d2=sen(126º)sen(18º)=ϕ+1=ϕ2\displaystyle\frac{d{2}}{sen(126º)}=\displaystyle\frac{1}{sen(18º)} \quad \rightarrow \quad d_{2}=\displaystyle\frac{sen(126º)}{sen(18º)}=\phi+1=\phi^{2}

• Se calcula d3d_{3} aplicando el teorema del seno:

d3sen(108º)=1sen(18º)d3=sen(108º)sen(18º)=4ϕ+3\displaystyle\frac{d{3}}{sen(108º)}=\displaystyle\frac{1}{sen(18º)} \quad \rightarrow \quad d_{3}=\displaystyle\frac{sen(108º)}{sen(18º)}=\sqrt{4\phi+3}

• Se calcula d4d_{4} aplicando la definición de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo:

cos(72º)=1d4d4=1cos(72º)=2ϕcos(72º)=\displaystyle\frac{1}{d_{4}}\quad \rightarrow \quad d_{4}=\displaystyle\frac{1}{cos(72º)}=2\phi

Anteriormente se demostró que si la longitud del lado de un decágono regular es una unidad, el radio de la circunferencia circunscrita es ϕ\phi. La diagonal d4d_{4} es el diámetro de la circunferencia circunscrita, por tanto, su longitud es 2ϕ2\phi.

Una vez conocida la longitud de la diagonal d4d_{4} se puede ver con mayor claridad la longitud de la diagonal d3d_{3} aplicando el Teorema de Pitágoras en este último triángulo rectángulo:

d42=d32+12d32=d421{d_{4}}^{2}={d_{3}}^{2}+1^{2} \quad \rightarrow \quad {d_{3}}^{2}={d_{4}}^{2}-1

d32=(2ϕ)21=4ϕ21=4(ϕ+1)1=4ϕ+3{d_{3}}^{2}=(2\phi)^{2}-1=4\phi^{2}-1=4(\phi+1)-1=4\phi+3

d32=4ϕ+3=(3ϕ+2)+(ϕ+1)=ϕ4+ϕ2=ϕ2(ϕ2+1){d_{3}}^{2}=4\phi+3=(3\phi+2)+(\phi+1)=\phi^{4}+\phi^{2}=\phi^{2}(\phi^{2}+1)

d3=4ϕ+3=ϕ2(ϕ2+1)=ϕϕ2+1=ϕϕ+2d_{3}=\sqrt{4\phi+3}=\sqrt{\phi^{2}(\phi^{2}+1)}=\phi\sqrt{\phi^{2}+1}=\phi\sqrt{\phi+2}

44

Al dibujar las diagonales de un decágono regular, se pueden construir varios triángulos con proporciones áureas.

• Algunos ejemplos semejantes al triángulo del apartado 3.1.1.

• Algunos ejemplos semejantes al triángulo del apartado 3.1.2.

45
Capítulo IV

Cuadriláteros
con proporciones áureas

4.1 Rombo de oro

Ya se ha visto en el apartado 2.1.3 como se construye el rombo de oro. Vamos a conocerlo con más detalle.

Empezamos calculando el lado aplicando el Teorema de Pitágoras:

l2=(ϕ2)2+(12)2=ϕ24+14=ϕ2+14l^{2}=\bigg(\displaystyle\frac{\phi}{2} \bigg)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2} \bigg)^{2}=\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{\phi^{2}+1}{4}

l2=(ϕ+1)+14=ϕ+24l^{2}=\displaystyle\frac{(\phi+1)+1}{4}=\displaystyle\frac{\phi+2}{4}

l=ϕ+24=ϕ+220.95  ul=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi+2}{4}}=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2}}{2}\approx0.95\,\,u

Calculamos ahora los ángulos:

tg(β2)=ϕ/21/2=ϕβ2=arctg(ϕ)tg\bigg(\displaystyle\frac{\beta}{2}\bigg)=\displaystyle\frac{\phi/2}{1/2}=\phi \quad \rightarrow \quad \displaystyle\frac{\beta}{2}=arctg(\phi)

β=2arctg(ϕ)=116º3354.18\beta=2arctg(\phi)=116º\,33'\,54.18''

α=180º116º3354.18=63º265.82\alpha=180º-116º\,33'\,54.18''=63º\,26'\,5.82''

Y por último, calculamos el perímetro y la superficie:

P=4ϕ+22=2ϕ+23.8  uP=4 \cdot\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2}}{2}=2\sqrt{\phi+2}\approx3.8\,\,u

S=ϕ12=ϕ20.81  u2S=\displaystyle\frac{\phi\cdot 1}{2}=\displaystyle\frac{\phi}{2}\approx0.81\,\,u^{2}

49

4.2 Romboide con proporciones áureas

Un romboide con proporciones áureas debe ser un romboide cuyos lados midan ϕ\phi y 11, pero se pueden construir infinitos romboides con estas longitudes de sus lados dependiendo de los ángulos interiores. Vamos a buscar un romboide que verifique también que el cociente de sus diagonales sea el número de oro.

En la siguiente escena de Descartes puedes construir romboides cuyos lados tengan estas longitudes, modificando el valor del ángulo agudo en la barra inferior. Encuentra el romboide en el que el cociente entre las longitudes de las diagonales se aproxima más a ϕ\phi.

En la escena anterior se ha podido encontrar el romboide buscado, vamos a determinarlo ahora realizando cálculos para obtener el valor del ángulo agudo.

50

Se verifica que:

α+β=180ºβ=180ºα\alpha+\beta=180º \quad \rightarrow \quad \beta=180º-\alpha

cos(β)=cos(α)cos(\beta)=-cos(\alpha)

Aplicando el teroema del coseno:

D2=ϕ2+12ϕcos(β)=ϕ2+1+2ϕcos(α)D^{2}=\phi^{2}+1-2\phi cos(\beta)=\phi^{2}+1+2\phi cos(\alpha)

d2=ϕ2+12ϕcos(α)d^{2}=\phi^{2}+1-2\phi cos(\alpha)

El cociente de las diagonales debe ser el número de oro:

Dd=ϕD2d2=ϕ2+1+2ϕcos(α)ϕ2+12ϕcos(α)=ϕ2\displaystyle\frac{D}{d}=\phi\quad \rightarrow \quad \displaystyle\frac{D^{2}}{d^{2}}=\displaystyle\frac{\phi^{2}+1+2\phi cos(\alpha)}{\phi^{2}+1-2\phi cos(\alpha)}=\phi^2

ϕ2+1+2ϕcos(α)=ϕ4+ϕ22ϕ3cos(α)\phi^{2}+1+2\phi cos(\alpha)=\phi^{4}+\phi^{2}-2\phi^{3} cos(\alpha)

1+2ϕcos(α)=ϕ42ϕ3cos(α)1+2\phi cos(\alpha)=\phi^{4}-2\phi^{3} cos(\alpha)

Se sustituye ϕ4\phi^{4} por 3ϕ+23\phi+2 y ϕ3\phi^{3} por 2ϕ+1:2\phi+1:

1+2ϕcos(α)=(3ϕ+2)2(2ϕ+1)cos(α)1+2\phi cos(\alpha)=(3\phi+2)-2(2\phi+1) cos(\alpha)

(6ϕ+2)cos(α)=3ϕ+1(6\phi+2) cos(\alpha)=3\phi+1

51

cos(α)=3ϕ+16ϕ+2=12α=arccos(12)=60ºcos(\alpha)=\displaystyle\frac{3\phi+1}{6\phi+2}=\displaystyle\frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad \alpha=arccos \bigg( \displaystyle\frac{1}{2} \bigg)=60º

β=180ºα=180º60º=120º\beta=180º-\alpha=180º-60º=120º

La longitud de las diagonales es:

D=ϕ2+1+2ϕcos(60º)=ϕ2+1+ϕ=2ϕ+2=2ϕD=\sqrt{\phi^{2}+1+2\phi cos(60º)}=\sqrt{\phi^{2}+1+\phi}=\sqrt{2\phi+2}=\sqrt{2} \phi

d=ϕ2+12ϕcos(60º)=ϕ2+1ϕ=2d=\sqrt{\phi^{2}+1-2\phi cos(60º)}=\sqrt{\phi^{2}+1-\phi}=\sqrt{2}

Cálculo del perímetro:

P=2ϕ+2=2(ϕ+1)=2ϕ25.24  uP=2\phi+2=2(\phi+1)=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

Para calcular la superficie se necesita calcular previamente la altura:

sen(60º)=h1=hh=sen(60º)=32sen(60º)=\displaystyle\frac{h}{1}=h \quad \rightarrow \quad h=sen(60º)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}

Cálculo de la superficie.

S=ϕh=ϕ32=3ϕ21.4  u2S=\phi\cdot h=\phi\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}\phi}{2}\approx1.4\,\,u^{2}

52

4.3 Trapecios con proporciones áureas

4.3.1 Trapecios isósceles

Existen tres trapecios isósceles con proporciones áureas.

• Empezamos estudiando el trapecio cuyos lados miden 11, ϕ\phi, ϕ\phi y ϕ2\phi^{2}.

Vamos a calcular los ángulos.

cos(α)=ϕ/2ϕ=12cos(\alpha)=\displaystyle\frac{\phi/2}{\phi}=\displaystyle\frac{1}{2}

α=arccos(1/2)=60º\alpha=arccos(1/2)=60º

β=180º60º=120º\beta=180º-60º=120º


53

Este es el trapecio isósceles aúreo.

Calculamos ahora la altura con la figura de la página anterior:

sen(60º)=hϕh=ϕsen(60º)=32ϕ1.4  usen(60º)=\displaystyle\frac{h}{\phi}\quad \rightarrow \quad h=\phi\cdot sen(60º)={\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\phi\approx1.4\,\,u

Y ahora ya se puede calcular el perímetro y la superficie.

P=1+ϕ+ϕ+ϕ2=3ϕ+2=ϕ46.85  uP=1+\phi+\phi+\phi^{2}=3\phi+2=\phi^{4}\approx6.85\,\,u

S=(ϕ+1)+1232ϕ=(3ϕ+1)342.53  u2S=\displaystyle\frac{(\phi+1)+1}{2}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\phi=\displaystyle\frac{(3\phi+1)\sqrt{3}}{4}\approx2.53\,\,u^{2}

La longitud de la diagonal también tiene relación con ϕ\phi.


d2=ϕ2+12ϕcos(120º)d^{2}=\phi^{2}+1-2\phi cos(120º)

d2=ϕ2+1+ϕ=2ϕ2d^{2}=\phi^{2}+1+\phi=2\phi^{2}

d=ϕ22.29  ud=\phi \sqrt{2}\approx2.29\,\,u

54

Existen otros dos trapecios isósceles con proporciones áureas:

• Uno cuyos lados miden ϕ\phi, 11, 11 y ϕ2\phi^{2}.

Altura: h=320.87  uh={\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx0.87\,\,u.         Diagonal: d=ϕ22.29  ud=\phi \sqrt{2}\approx2.29\,\,u

P=1+1+ϕ+ϕ2=2+ϕ+(ϕ+1)=2ϕ+36.24  uP=1+1+\phi+\phi^{2}=2+\phi+(\phi+1)=2\phi+3\approx6.24\,\,u

S=ϕ2+ϕ232=(2ϕ+1)34=ϕ3341.83  u2S=\displaystyle\frac{\phi^{2}+\phi}{2}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{(2\phi+1)\sqrt{3}}{4}=\displaystyle\frac{\phi^{3}\sqrt{3}}{4}\approx1.83\,\,u^{2}

• Y otro cuyos lados miden 11, ϕ2\phi^{2}, ϕ2\phi^{2} y ϕ\phi.




h2.6  uh\approx2.6\,\,u

d2.91  ud\approx2.91\,\,u

P=3ϕ27.85  uP=3\phi^{2}\approx7.85\,\,u

S3.4  u2S\approx3.4\,\,u^{2}

55

4.3.2 Trapecios escalenos

• Un trapecio escaleno con proporciones áureas debe ser un trapecio cuyos lados midan 11, ϕ\phi, ϕ2\phi^{2} y ϕ3\phi^{3}. Empezamos construyendo el que tiene por bases ϕ3\phi^{3} y 11.

Vamos a calcular los ángulos. Se traza una paralela al lado AD\overline{AD} por el vértice CC que corta al lado AB\overline{AB} en el punto EE. Se calculan los ángulos α\alpha y β\beta del triángulo EBCEBC, que coinciden con los ángulos α\alpha y β\beta del trapecio ABCDABCD. Los ángulos δ\delta y γ\gamma son los suplementarios de α\alpha y β\beta.

56

Aplicando el teorema del coseno:

cos(α)=ϕ2+(2ϕ)2(ϕ2)22ϕ2ϕ=ϕ2+4ϕ2ϕ44ϕ2=2ϕ+34ϕ+4cos(\alpha)=\displaystyle\frac{\phi^{2}+(2\phi)^{2}-(\phi^{2})^{2}}{2\cdot\phi\cdot2\phi}=\displaystyle\frac{\phi^{2}+4\phi^{2}-\phi^{4}}{4\phi^{2}}=\displaystyle\frac{2\phi+3}{4\phi+4}

α=arccos(2ϕ+34ϕ+4)=53º278.36\alpha=arccos \bigg(\displaystyle\frac{2\phi+3}{4\phi+4} \bigg)=53º\,27'\,8.36''

δ=180º53º278.36=126º3251.64\delta=180º-53º\,27'\,8.36''=126º\,32'\,51.64''


cos(β)=(ϕ2)2+(2ϕ)2ϕ22(ϕ2)2ϕ=ϕ4+4ϕ2ϕ24ϕ3=6ϕ+58ϕ+4cos(\beta)=\displaystyle\frac{(\phi^{2})^{2}+(2\phi)^{2}-\phi^{2}}{2\cdot(\phi^{2})\cdot2\phi}=\displaystyle\frac{\phi^{4}+4\phi^{2}-\phi^{2}}{4\phi^{3}}=\displaystyle\frac{6\phi+5}{8\phi+4}

β=arccos(6ϕ+58ϕ+4)=29º468.49\beta=arccos \bigg(\displaystyle\frac{6\phi+5}{8\phi+4} \bigg)=29º\,46'\,8.49''

γ=180º29º468.49=150º1351.51\gamma=180º-29º\,46'\,8.49''=150º\,13'\,51.51''

Este es el trapecio escaleno aúreo.

Cálculo del perímetro:

P=1+ϕ+ϕ2+ϕ3=1+ϕ+(ϕ+1)+(2ϕ+1)=4ϕ+39.47  uP=1+\phi+\phi^{2}+\phi^{3}=1+\phi+(\phi+1)+(2\phi+1)=4\phi+3\approx9.47\,\,u

57

Cálculo de la superficie. La altura del trapecio es igual a la altura del triángulo EBCEBC que pasa por el vértice CC.

sen(α)=hϕh=ϕsen(53º278.36)1.3  usen(\alpha)=\displaystyle\frac{h}{\phi}\quad \rightarrow \quad h=\phi\cdot sen(53º\,27'\,8.36'')\approx1.3\,\,u

S=1+ϕ321.3=1+(2ϕ+1)21.3=ϕ21.33.4  u2S=\displaystyle\frac{1+\phi^{3}}{2}\cdot 1.3=\displaystyle\frac{1+(2\phi+1)}{2}\cdot 1.3=\phi^{2}\cdot 1.3\approx3.4\,\,u^{2}

Existen otros dos trapecios escalenos con proporciones áureas:

• Uno cuyas bases miden ϕ3\phi^{3} y ϕ\phi.

Altura: h0.98  uh\approx0.98\,\,u

P=1+ϕ+ϕ2+ϕ3=4ϕ+39.47  uP=1+\phi+\phi^{2}+\phi^{3}=4\phi+3\approx9.47\,\,u

S=ϕ3+ϕ20.982.87  u2S=\displaystyle\frac{\phi^{3}+\phi}{2}\cdot 0.98\approx2.87\,\,u^{2}

58

• Y otro cuyas bases miden ϕ3\phi^{3} y ϕ2\phi^{2}.

Altura: h=sen(72º)=ϕ+220.95  uh=sen(72º)=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2}}{2}\approx0.95\,\,u

P=1+ϕ+ϕ2+ϕ3=4ϕ+39.47  uP=1+\phi+\phi^{2}+\phi^{3}=4\phi+3\approx9.47\,\,u

S=ϕ3+ϕ22ϕ+22=ϕ4ϕ+243.26  u2S=\displaystyle\frac{\phi^{3}+\phi^{2}}{2}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2}}{2}=\displaystyle\frac{\phi^{4}\sqrt{\phi+2}}{4}\approx3.26\,\,u^{2}

Como el trapecio escaleno tiene 4 lados de distinta longitud, existen C4,2=6C_{4,2}=6 posibilidades para elegir las bases. En los ejemplos anteriores se han construidos trapecios cuyas bases son:

ϕ3\phi^{3} y 1{1}          ϕ3\phi^{3} y ϕ{\phi}          ϕ3\phi^{3} y ϕ2\phi^{2}

Faltarían los casos:

ϕ2\phi^{2} y 1{1}          ϕ2\phi^{2} y ϕ{\phi}          ϕ\phi y 11

Pero es imposible construir trapecios escalenos con estos cuatro lados, eligiendo estas parejas para las bases.

59

4.4 Trapezoides con proporciones áureas

Un trapezoide con proporciones áureas debe ser un trapezoide cuyos lados midan 11, ϕ\phi, ϕ2\phi^{2} y ϕ3\phi^{3}. Se pueden construir infinitos trapezoides, tanto convexos como cóncavos, con estas longitudes de sus lados.

A continuación se indica la forma de construirlos utilizando procedimientos similares en los que cambia la posición de los lados.

En algunos casos se puede observar que existen dos soluciones, obteniéndose un trapezoide convexo y otro cóncavo.

En otros casos se puede comprobar que se obtienen los trapecios escalenos del apartado anterior.

Y en otras situaciones no es posible construirlos como se detalla en el procedimiento.

60

61
Capítulo V

Deltoides
con proporciones áureas

5.1 Deltoides

Un deltoide es un trapezoide con dos parejas de lados consecutivos de igual longitud. Puede ser convexo o cóncavo.

Las diagonales de un deltoide son dos líneas perpendiculares, siendo una de ellas la mediatriz de la otra; en el caso del deltoide cóncavo, prolongando la diagonal interior. Una de las diagonales es el eje de simetría de la figura. Esto supone que el área de un deltoide se puede calcular de forma similar al área de un rombo, como el semiproducto de las dos diagonales.

S=Dd2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}

Si unimos los puntos medios de los lados de un rectángulo áureo se obtiene un rombo inscrito en un rectángulo de oro, conocido como rombo de oro, que ya se ha estudiado anteriormente. El cociente entre las longitudes de sus diagonales es el número de oro. Pero si intentamos inscribir en un rectángulo de oro una figura no regular, como es un deltoide, nos encontramos con infinitas posibilidades. ¿Existen deltoides cuyos lados y diagonales estén en proporción áurea? ¿Existen deltoides con proporciones áureas que no tengan relación con el rectángulo de oro?

65

5.2 Deltoides pentagonales

Con triángulos semejantes a los dos triángulos isósceles con proporciones áureas, se pueden construir dos deltoides, uno convexo y otro cóncavo, en los que aparecen proporciones áureas entre sus lados y diagonales. Al ser deltoides que aparecen en el pentágono regular, les llamaremos deltoides pentagonales.

5.2.1 Deltoide pentagonal convexo

Se escoge un triángulo semejante al primero de los triángulos áureos con razón de semejanza ϕ\phi. Se construye un deltoide uniendo el nuevo triángulo y el segundo de los triángulos anteriores por el lado común.

Se obtiene un deltoide convexo en el que la razón entre la longitud de la diagonal menor y la longitud de los lados menores es el número de oro. También es igual al número áureo la razón entre la longitud de los lados mayores y la longitud de la diagonal menor. Los ángulos miden 108º108º, 108º108º, 108º108º y 36º36º.

El perímetro de este deltoide es:

P=2+2ϕ2=2ϕ+47.24  uP=2+2\phi^{2}=2\phi+4\approx7.24\,\,u

66

La diagonal menor coincide con el número de oro. La diagonal mayor mide, aplicando el teorema del coseno:

D2=1+ϕ42ϕ2cos(108º)D^{2}=1+\phi^{4}-2\phi^{2}cos(108º)

D2=1+(3ϕ+2)2(ϕ+1)1ϕ2=4ϕ+3D^{2}=1+(3\phi+2)-2(\phi+1)\cdot\displaystyle\frac{1-\phi}{2}=4\phi+3

D=4ϕ+33.08  uD=\sqrt{4\phi+3}\approx3.08\,\,u

La superficie es igual a:

S=Dd2=4ϕ+3ϕ2=(4ϕ+3)ϕ22S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}\cdot\phi}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{(4\phi+3)\cdot\phi^{2}}}{2}

S=11ϕ+722.49  u2S=\displaystyle\frac{\sqrt{11\phi+7}}{2}\approx2.49\,\,u^{2}

Este deltoide aparece al trazar las diagonales de un pentágono regular y de otros polígonos regulares cuyo número de lados es múltiplo de 5.

          

67

5.2.2 Deltoide pentagonal cóncavo

Se escoge un triángulo semejante al primero de los triángulos áureos con razón de semejanza ϕ\phi. Se construye un deltoide cóncavo según se observa en la siguiente figura.

La razón entre la longitud de la diagonal menor y la longitud de los lados menores es el número de oro. También es igual al número áureo la razón entre la longitud de los lados mayores y la longitud de la diagonal menor. Los ángulos interiores miden 252º252º, 36º36º, 36º36º y 36º36º.

El perímetro de este deltoide es:

P=2+2ϕ2=2ϕ+47.24  uP=2+2\phi^{2}=2\phi+4\approx7.24\,\,u

La diagonal menor coincide con el número de oro. La diagonal mayor mide, aplicando el teorema del coseno:

D2=1+ϕ42ϕ2cos(36º)D^{2}=1+\phi^{4}-2\phi^{2}cos(36º)

D2=1+(3ϕ+2)2(ϕ+1)ϕ2=ϕ+2D^{2}=1+(3\phi+2)-2(\phi+1)\cdot\displaystyle\frac{\phi}{2}=\phi+2

D=ϕ+21.9  uD=\sqrt{\phi+2}\approx1.9\,\,u

68

La superficie es igual a:

S=Dd2=ϕ+2ϕ2=4ϕ+321.54  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2}\cdot\phi}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\approx1.54\,\,u^{2}

Este deltoide aparece también al trazar las diagonales de un pentágono regular y de otros polígonos regulares cuyo número de lados es múltiplo de 5.

        

Construcción de los deltoides pentagonales

69

5.3 Deltoides decagonales

Con dos triángulos iguales de cada uno los triángulos isósceles con proporciones áureas, se pueden construir dos deltoides, uno convexo y otro cóncavo, en los que aparecen proporciones áureas entre sus lados y diagonales. Al ser deltoides que aparecen en el decágono regular, les llamaremos deltoides decagonales.

5.3.1 Deltoide decagonal convexo

Se escogen dos triángulos como el primero de los triángulos isósceles con proporciones áureas. Se construye un deltoide uniendo ambos triángulos por uno de los lados mayores como se observa en la figura siguiente.

Se obtiene un deltoide en el que la razón entre la longitud de los lados mayores y la longitud de los lados menores es el número de oro. La longitud de los lados mayores es igual a la longitud de la diagonal menor. Los ángulos miden 144º144º, 72º72º, 72º72º y 72º72º.

El perímetro de este deltoide es:

P=2+2ϕ=2(1+ϕ)=2ϕ25.24  uP=2+2\phi=2(1+\phi)=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

La diagonal menor coincide con el número de oro. La diagonal mayor mide, aplicando el teorema del coseno:

70

D2=1+12cos(144º)=22(ϕ2)=2+ϕD^{2}=1+1-2cos(144º)=2-2\bigg(-\displaystyle\frac{\phi}{2}\bigg)=2+\phi

D=2+ϕ1.9  uD=\sqrt{2+\phi}\approx1.9\,\,u

La superficie es igual a:

S=Dd2=ϕ+2ϕ2=4ϕ+321.54  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2}\cdot\phi}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\approx1.54\,\,u^{2}

Este deltoide aparece al trazar las diagonales de un decágono regular y de polígonos regulares cuyo número de lados es múltiplo de 10.

5.3.2 Deltoide decagonal cóncavo

Se escogen dos triángulos como el segundo de los triángulos isósceles con proporciones áureas. Se construye un deltoide uniendo ambos triángulos por uno de los lados menores como se observa en la figura siguiente.

71

Se obtiene un deltoide en el que la razón entre la longitud de los lados mayores y la longitud de los lados menores es el número de oro. La longitud de los lados menores es igual a la longitud de la diagonal menor. Los ángulos miden 216º216º, 72º72º, 36º36º y 36º36º.

El perímetro de este deltoide es:

P=2+2ϕ=2(1+ϕ)=2ϕ25.24  uP=2+2\phi=2(1+\phi)=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

La longitud de la diagonal menor es igual a 1. La diagonal mayor mide, aplicando el teorema del coseno:

D2=1+12cos(144º)=22(ϕ2)=2+ϕD^{2}=1+1-2cos(144º)=2-2\bigg(-\displaystyle\frac{\phi}{2}\bigg)=2+\phi

D=2+ϕ1.9  uD=\sqrt{2+\phi}\approx1.9\,\,u

La superficie es igual a:

S=Dd2=ϕ+212=ϕ+220.95  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2}\cdot1}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2}}{2}\approx0.95\,\,u^{2}

Este deltoide aparece también al trazar las diagonales de un decágono regular y de otros polígonos regulares cuyo número de lados es múltiplo de 10.

72

Construcción de los deltoides decagonales

73

5.3.3 Teselación de Penrose

Una Teselación de Penrose es una teselación construida a partir de un conjunto de figuras de forma que no existe un motivo básico que permita su construcción mediante traslaciones. A este tipo de teselaciones se les llama teselaciones aperiódicas.

Este tipo de teselaciones supuso un reto entre los matemáticos de las décadas de los sesenta y setenta del siglo XX para encontrar un número reducido de figuras que cubrieran el plano con esta propiedad.

El físico y matemático Roger Penrose, (1931- ) encontró en 1974, dos figuras que permitían construir teselaciones aperiódicas. Estas figuras son el deltoide decagonal convexo, cometa y el deltoide decagonal cóncavo, flecha.

Un ejemplo de una teselación aperiódica con estos polígonos se puede observar en la portada del libro. Otro ejemplo es el siguiente:

74

5.4 Deltoides inscritos en un rectángulo áureo

5.4.1 Deltoide áureo convexo

Si intentamos construir un deltoide convexo inscrito en un rectángulo áureo, es decir, cuyas diagonales estén en proporción áurea, tenemos infinitas posibilidades.

Vamos a distinguir dos casos, según el eje de simetría del deltoide coincida con su diagonal menor o su diagonal mayor.

El eje de simetría del deltoide es su diagonal menor

En la siguiente escena de Descartes puedes construir deltoides convexos inscritos en un rectángulo áureo, modificando el valor del control de la barra inferior o desplazando en la escena el control gráfico (punto azul) por el lado derecho del rectángulo. Uniendo los puntos medios de cada lado del rectángulo áureo se obtiene el rombo de oro, que aparece representado. Encuentra el deltoide en el que el cociente de las longitudes de los lados se aproxima más a ϕ\phi.

75

Todos tienen en común que el cociente entre sus diagonales es el número de oro. También todos tienen igual área, pero distinto perímetro.

S=Dd2=ϕ11=ϕ2  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi\cdot 1}{1}=\displaystyle\frac{\phi}{2}\,\,u^{2}

En la escena anterior se puede comprobar que no es posible construir un deltoide convexo inscrito en un rectángulo áureo cuyos lados estén también en proporción áurea y que tenga por eje de simetría su diagonal menor; el cociente de las longitudes de sus lados sería siempre menor que el número de oro.

Vamos a comprobarlo analíticamente:

Si existe este deltoide, su lado menor, l1l_{1}, debe ser mayor que ϕ/2\phi/2 y su lado mayor, l2l_{2}, debe ser menor que la longitud del segmento aa.


a2=12+(ϕ2)2=ϕ+54a^{2}=1^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{\phi}{2}\bigg)^{2}=\displaystyle\frac{\phi+5}{4}

a=ϕ+52a={\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+5}}{2}}


Y el cociente entre las longitudes del lado mayor y el lado menor sería menor que el número de oro:

l2l1<aϕ/2=(ϕ+5)/2ϕ/2=ϕ+5ϕ1.59<ϕ\displaystyle\frac{l_{2}}{l_{1}}<\displaystyle\frac{a}{\phi/2}=\displaystyle\frac{(\sqrt{\phi+5})/2}{\phi/2}=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+5}}{\phi}\approx1.59<\phi

Luego no es posible construir el deltoide con las propiedades exigidas.

76

El eje de simetría del deltoide es su diagonal mayor

En la siguiente escena de Descartes puedes construir deltoides convexos inscritos en un rectángulo áureo, modificando el valor del control de la barra inferior o desplazando en la escena el control gráfico (punto azul) por el lado derecho del rectángulo. Uniendo los puntos medios de cada lado del rectángulo áureo se obtiene el rombo de oro, que aparece representado. Encuentra el deltoide en el que el cociente de las longitudes de los lados se aproxima más a ϕ\phi.

En esta escena se puede comprobar gráficamente que sí es posible construir este deltoide.

Todos tienen en común que el cociente entre sus diagonales es el número de oro. También todos tienen igual área como los anteriores, S=ϕ/2    u2S=\phi/2\;\;u^{2} y distinto perímetro.

77

Vamos a determinar este deltoide áureo convexo, calculando la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos

Cálculo de la longitud de los lados:

l12=x2+(12)2  l1=x2+14l_{1}^{2}=x^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}\rightarrow \,\, l_{1}=\sqrt{x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}

l22=(ϕx)2+(12)2l_{2}^{2}=(\phi-x)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}

l2=ϕ22ϕx+x2+14l_{2}=\sqrt{\phi^{2}-2\phi x+x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}



Se debe verificar que:

l2l1=ϕl22l12=ϕ22ϕx+x2+14x2+14=ϕ2\displaystyle\frac{l_{2}}{l_{1}}=\phi\quad \rightarrow \quad \displaystyle\frac{l_{2}^{2}}{l_{1}^{2}}=\displaystyle\frac{\phi^{2}-2\phi x+x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}{x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}=\phi^2

ϕ22ϕx+x2+14=ϕ2(x2+14)=ϕ2x2+ϕ24\phi^{2}-2\phi x+x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}=\phi^{2} \bigg(x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4} \bigg)=\phi^{2}x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}

x2(ϕ21)+2ϕx+3ϕ214=0x^{2}(\phi^{2}-1)+2\phi x+\displaystyle\frac{-3\phi^{2}-1}{4}=0

Se sustituye ϕ2\phi^{2} por ϕ+1\phi+1:

ϕx2+2ϕx+3ϕ44=0\phi x^{2}+2\phi x+\displaystyle\frac{-3\phi-4}{4}=0

78

Se resuelve la ecuación de segundo grado:

x=2ϕ±4ϕ2+ϕ(3ϕ+4)2ϕ=2ϕ±7ϕ2+4ϕ2ϕx=\displaystyle\frac{-2\phi \pm \sqrt{4\phi^{2}+\phi(3\phi+4)}}{2\phi}=\displaystyle\frac{-2\phi \pm \sqrt{7\phi^{2}+4\phi}}{2\phi}

x=2ϕ2ϕ±7ϕ2+4ϕ4ϕ2=1±74+1ϕx=\displaystyle\frac{-2\phi}{2\phi} \pm \sqrt {\displaystyle\frac{7\phi^{2}+4\phi}{4\phi^{2}}}=-1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{7}{4}+\displaystyle\frac{1}{\phi}}

Se sustituye 1ϕ\displaystyle\frac{1}{\phi} por ϕ1\phi-1:

x=1±74+ϕ1=1±34+ϕ=1±4ϕ+34x=-1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{7}{4}+\phi-1}=-1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{3}{4}+\phi}=-1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{4\phi+3}{4}}

La soluciones son:

x1=1+4ϕ+320.54  x_{1}=-1+\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\approx0.54\,\, y   x2=14ϕ+322.54\,\,x_{2}=-1-\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\approx-2.54

Con la primera solución se obtiene el deltoide convexo buscado. En la segunda solución el valor de x2x_{2} es negativo. Gráficamente este valor se debe representar por encima del lado superior del rectángulo áureo obteniéndose un deltoide cóncavo.

La longitud del lado l1l_{1} es:

l12=x2+(12)2=(1+4ϕ+32)2+(12)2l_{1}^{2}=x^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}=\bigg(-1+\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\bigg)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}

l12=(14ϕ+3+4ϕ+34)+14=ϕ+24ϕ+3l_{1}^{2}=\bigg(1-\sqrt{4\phi+3}+\displaystyle\frac{4\phi+3}{4}\bigg)+\displaystyle\frac{1}{4}=\phi+2-\sqrt{4\phi+3}

l1=ϕ+24ϕ+30.74  ul_{1}=\sqrt{\phi+2-\sqrt{4\phi+3}}\approx0.74\,\,u

79

La longitud del lado l2l_{2} es:

l22=(ϕx)2+(12)2=(ϕ+14ϕ+32)2+(12)2l_{2}^{2}=(\phi-x)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}=\bigg(\phi+1-\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\bigg)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}

l22=(ϕ2+2ϕ+1(ϕ+1)4ϕ+3+4ϕ+34)+14l_{2}^{2}=\bigg(\phi^{2}+2\phi+1-(\phi+1)\sqrt{4\phi+3}+\displaystyle\frac{4\phi+3}{4}\bigg)+\displaystyle\frac{1}{4}

l22=4ϕ+3(ϕ+1)4ϕ+3l_{2}^{2}=4\phi+3-(\phi+1)\sqrt{4\phi+3}

l2=4ϕ+3(ϕ+1)4ϕ+31.19  ul_{2}=\sqrt{4\phi+3-(\phi+1)\sqrt{4\phi+3}}\approx1.19\,\,u

Cálculo de la medida de los ángulos:

cos(Aˆ)=l12+l12122l120.0747cos(\^{A})=\displaystyle\frac{l_{1}^{2}+l_{1}^{2}-1^{2}}{2l_{1}^{2}}\approx0.0747

Aˆ=85º432.91\^{A}=85º\,43'\,2.91''

cos(Cˆ)=l22+l22122l220.6466cos(\^{C})=\displaystyle\frac{l_{2}^{2}+l_{2}^{2}-1^{2}}{2l_{2}^{2}}\approx0.6466

Cˆ=49º432.91\^{C}=49º\,43'\,2.91''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=112º1617.09\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=112º\,16'\,17.09''

Perímetro y superficie de este deltoide es:

P=2l1+2l23.85  uP=2l_{1}+2l_{2}\approx3.85\,\,u

S=Dd2=ϕ12=ϕ2  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi\cdot 1}{2}=\displaystyle\frac{\phi}{2}\,\,u^{2}

80

Construcción gráfica del deltoide áureo convexo inscrito en un rectángulo áureo

Se puede construir gráficamente el deltoide áureo convexo siguiendo los pasos:

  1. Se construye el rectángulo áureo ABCDABCD de 1  u1\,\,u de base y ϕ  u\phi\,\,u de altura.
  2. Se traza la recta rr que contiene al lado AD\overline{AD}. Con centro en el punto DD, se traza una circunferencia de radio DC\overline{DC} que corta a la recta rr en el punto EE. Se representa el punto medio, FF, del segmento DE\overline{DE} y el punto medio, GG, del segmento FE\overline{FE}.
  3. Con centro en el punto AA, se traza una circunferencia de radio AB\overline{AB} que corta a la recta rr en el punto HH.
  4. Se representa el punto II, punto medio de GG y HH.
  5. Se traza una semicircunferencia con centro en II que pasa por los puntos GG y HH. Se prolonga el lado AB\overline{AB} hasta cortar a la semicircunferencia en el punto JJ.
  6. Con centro en el punto JJ se traza una circunferencia de radio AB\overline{AB} que corta a la prolongación del lado AB\overline{AB} en el punto KK.
  7. Se traslada la distancia AK\overline{AK} al lado AD\overline{AD} mediante un arco de circunferencia, obteniéndose el punto LL.
  8. Se traslada ahora la distancia AK\overline{AK} al lado BC\overline{BC}, obteniéndose el punto NN y se representan los puntos medios MM y OO de los lados AB\overline{AB} y DC\overline{DC} respectivamente.
  9. El cuadrilátero LMNOLMNO es el deltoide áureo convexo.
81

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir la construcción paso a paso aplicando el procedimiento descrito:

82

5.4.2 Deltoide áureo cóncavo

Si intentamos construir un deltoide cóncavo inscrito en un rectángulo áureo, de forma que dos vértices opuestos del deltoide coincidan con dos vértices consecutivos del rectángulo, y los otros dos vértices estén situados en la mediatriz de los dos vértices anteriores, un sobre el lado del rectángulo y otro en el interior del rectángulo, tenemos infinitas posibilidades.

Vamos a distinguir dos casos, según el eje de simetría del deltoide coincida con su diagonal menor o su diagonal mayor.

El eje de simetría del deltoide es su diagonal menor

En la siguiente escena de Descartes puedes construir deltoides cóncavos inscritos en un rectángulo áureo, modificando el valor del control de la barra inferior o desplazando en la escena el control gráfico (punto azul) por el eje de simetría del rectángulo. Encuentra el deltoide en el que el cociente de las longitudes de los lados se aproxima más a ϕ\phi.

83

En la escena anterior se puede comprobar que no es posible construir un deltoide cóncavo inscrito en un rectángulo áureo cuyos lados estén también en proporción áurea y que tenga por eje de simetría su diagonal menor; el cociente de las longitudes de sus lados sería siempre menor que el número de oro.

Vamos a comprobarlo analíticamente:

Se calcula la longitud del lado l2l_{2}.

l22=12+(ϕ2)2=ϕ+54l_{2}^{2}=1^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{\phi}{2}\bigg)^{2}=\displaystyle\frac{\phi+5}{4}

l2=1+ϕ24=ϕ+52  ul_{2}=\sqrt{1+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}={\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+5}}{2}}\,\,u


Para que la razón entre las longitudes de los lados del deltoide sea el número de oro, la longitud del lado menor, l1l_{1}, debe ser:

l2l1=ϕl1=l2ϕ\displaystyle\frac{l_{2}}{l_{1}}=\phi \quad \rightarrow \quad l_{1}=\displaystyle\frac{l_{2}}{\phi}

l1=1ϕ1+ϕ24=1ϕ2+14=2ϕ+14=94ϕl_{1}=\displaystyle\frac{1}{\phi} \sqrt{1+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{\phi^{2}}+\displaystyle\frac{1}{4}}=\sqrt{2-\phi+\displaystyle\frac{1}{4}}=\sqrt{\displaystyle\frac{9}{4}-\phi}

l1=94ϕ20.79<ϕ2l_{1}=\displaystyle\frac{\sqrt{9-4\phi}}{2} \approx0.79 <\displaystyle\frac{\phi}{2}

Para poder construir el deltoide la longitud de este lado, l1l_{1}, debe ser mayor que la mitad del lado mayor del rectángulo áureo, ϕ/2\phi/2, por tanto, no es posible construir el deltoide con las propiedades exigidas.

84

El eje de simetría del deltoide es su diagonal mayor

En la siguiente escena de Descartes puedes construir deltoides cóncavos inscritos en un rectángulo áureo, modificando el valor del control de la barra inferior o desplazando en la escena el control gráfico (punto azul) por el eje de simetría del rectángulo. Encuentra el deltoide en el que el cociente de las longitudes de los lados se aproxima más a ϕ\phi.

En esta escena se puede comprobar gráficamente que sí es posible construir este deltoide.

85

Vamos a determinar este deltoide áureo cóncavo, calculando la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos

Cálculo de la longitud de los lados:


l22=ϕ2+(12)2l_{2}^{2}=\phi^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}

l22=ϕ2+14=4ϕ2+14=4ϕ+54l_{2}^{2}=\phi^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{4\phi^{2}+1}{4}=\displaystyle\frac{4\phi+5}{4}

l2=ϕ2+14=4ϕ+521.69  ul_{2}=\sqrt{\phi^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}=\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+5}}{2}\approx1.69\,\,u



Se calcula ahora l1l_{1}:

l2l1=ϕl1=l2ϕ=1ϕϕ2+14=1+14ϕ2\displaystyle\frac{l_{2}}{l_{1}}=\phi \quad \rightarrow \quad l_{1}=\displaystyle\frac{l_{2}}{\phi}=\displaystyle\frac{1}{\phi} \sqrt{\phi^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}=\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{4\phi^{2}}}

Se sustituye 1ϕ2=ϕ2=2ϕ\displaystyle\frac{1}{\phi^{2}}=\phi^{-2}=2-\phi

l1=1+2ϕ4=6ϕ4=6ϕ21.05  ul_{1}=\sqrt{1+\displaystyle\frac{2-\phi}{4}}=\sqrt{\displaystyle\frac{6-\phi}{4}}={\displaystyle\frac{\sqrt{6-\phi}}{2}}\approx1.05\,\,u

86

Cálculo de la medida de los ángulos:

cos(360ºAˆ)=l12+l12122l120.5436cos(360º-\^{A})=\displaystyle\frac{l_{1}^{2}+l_{1}^{2}-1^{2}}{2l_{1}^{2}}\approx0.5436

Aˆ=302º5540.59\^{A}=302º\,55'\,40.59''

cos(Cˆ)=l22+l22122l220.8257cos(\^{C})=\displaystyle\frac{l_{2}^{2}+l_{2}^{2}-1^{2}}{2l_{2}^{2}}\approx0.8257

Cˆ=34º2038.67\^{C}=34º\,20'\,38.67''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=11º2150.37\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=11º\,21'\,50.37''

Perímetro:

P=2l1+2l25.48  uP=2l_{1}+2l_{2}\approx5.48\,\,u

Superficie:

l12=h2+14h2=l1214l_{1}^{2}=h^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}\quad \rightarrow \quad h^{2}=l_{1}^{2}-\displaystyle\frac{1}{4}

h2=6ϕ414=5ϕ4h^{2}=\displaystyle\frac{6-\phi}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{5-\phi}{4}

h=5ϕ2d=ϕ5ϕ2h=\displaystyle\frac{\sqrt{5-\phi}}{2}\quad \rightarrow \quad d=\phi-\displaystyle\frac{\sqrt{5-\phi}}{2}

S=12(ϕ5ϕ2)0.35  u2S= \displaystyle\frac{1}{2}\bigg(\phi-\displaystyle\frac{\sqrt{5-\phi}}{2} \bigg)\approx0.35\,\,u^{2}

87

Construcción gráfica del deltoide áureo cóncavo inscrito en un rectángulo áureo

Se puede construir gráficamente el deltoide áureo cóncavo siguiendo los pasos:

  1. Se construye el rectángulo áureo ABCDABCD de 1  u1\,\,u de base y ϕ  u\phi\,\,u de altura.
  2. Se representan los puntos EE y FF, puntos medios de los lados AB\overline{AB} y DC\overline{DC} respectivamente. El segmento AF\overline{AF} es el lado mayor del deltoide.
  3. Se traza la semirrecta con origen en DD que pasa por el punto AA y la semirrecta con origen en FF que pasa por el punto AA.
  4. Con centro en el punto AA, se traza una circunferencia de radio AD\overline{AD} que corta a la semirrecta con origen FF, en el punto GG.
  5. Con centro en el punto AA, se traza una circunferencia de radio AB\overline{AB} que corta a la semirrecta con origen DD, en el punto HH.
  6. Se unen los puntos GG y HH por un segmento y se traza una paralela a este segmento por el punto FF. Esta paralela corta al lado AD\overline{AD} en el punto II.
  7. Se representa el segmento EF\overline{EF}. Con centro en AA y radio AI\overline{AI} se traza un arco de circunferencia que corta a EF\overline{EF} en el punto JJ.
  8. El cuadrilátero AJBFAJBF es el deltoide buscado.
88

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir la construcción paso a paso aplicando el procedimiento descrito:

89
Capítulo VI

Otros deltoides
con proporciones áureas

6.1 Deltoide convexo de lados 11 y ϕ\phi

En el apartado 5.4.1. se han estudiado deltoides convexos inscritos en un rectángulo áureo, es decir, deltoides convexos de diagonales 11 y ϕ\phi. En este apartado vamos a construir deltoides convexos de lados 11 y ϕ\phi.

Si intentamos construir un deltoide convexo cuyos lados estén en proporción áurea, por ejemplo, cuyos lados midan 11 y ϕ\phi, nos encontramos que existen infinitas posibilidades.

En la siguiente escena de Descartes puedes construir deltoides cuyos lados tengan estas longitudes, modificando el valor del control de la barra inferior o desplazando en la escena el control gráfico (punto azul). En este apartado vamos a estudior deltoides convexos. Encuentra el deltoide en el que el cociente entre las longitudes de las diagonales se aproxima más a ϕ\phi.

Todos tienen el mismo perímetro, pero distinta superficie.

93

Vamos a determinar este deltoide áureo convexo, calculando la longitud de sus diagonales y la medida de sus ángulos

Dd=ϕD=ϕd\displaystyle\frac{D}{d}=\phi \quad \rightarrow \quad D=\phi\cdot d

Dx=ϕdxD-x=\phi d-x

Hay que resolver el sistema de ecuaciones:

x2+d24=1(ϕdx)2+d24=ϕ2}\begin{rcases} x^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=1\\ (\phi d-x)^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=\phi^{2}\end{rcases}

Se desarrolla la segunda ecuación:

ϕ2d22ϕdx+x2+d24=ϕ2=ϕ+1\phi^{2}d^{2}-2\phi dx+x^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=\phi^{2}=\phi+1

Se resta a la expresión obtenida la primera ecuación, se simplifica por ϕ\phi y se despeja el valor de xx:

ϕ2d22ϕdx=ϕϕd22dx=1x=ϕd212d\phi^{2}d^{2}-2\phi dx=\phi\quad \rightarrow \quad \phi d^{2}-2dx=1\quad \rightarrow \quad x=\displaystyle\frac{\phi d^{2}-1}{2d}

Se sustituye este valor en la primera ecuación:

(ϕd212d)2+d24=1ϕ2d42ϕd2+14d2+d24=1\bigg( \displaystyle\frac{\phi d^{2}-1}{2d} \bigg)^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=1 \quad \rightarrow \quad \displaystyle\frac{\phi^{2} d^{4}-2\phi d^{2}+1}{4d^{2}}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=1

Se quitan denominadores y se agrupan términos:

ϕ2d42ϕd2+1+d4=4d2(ϕ2+1)d4(2ϕ+4)d2+1=0\phi^{2} d^{4}-2\phi d^{2}+1+d^{4}=4d^{2}\rightarrow (\phi^{2}+1)d^{4}-(2\phi+4)d^{2}+1=0

94

Se sustituye ϕ2\phi^{2} por ϕ+1\phi+1 y se obtiene la ecuación bicuadrada:

(ϕ+2)d42(ϕ+2)d2+1=0(\phi+2)d^{4}-2(\phi+2)d^{2}+1=0

Se resuelve la ecuación:

d2=2(ϕ+2)±4(ϕ+2)24(ϕ+2)2(ϕ+2)d^{2}=\displaystyle\frac{2(\phi+2) \pm \sqrt{4(\phi+2)^{2}-4(\phi+2)}}{2(\phi+2)}

d2=2(ϕ+2)2(ϕ+2)±4(ϕ+2)24(ϕ+2)24(ϕ+2)4(ϕ+2)2d^{2}=\displaystyle\frac{2(\phi+2)}{2(\phi+2)} \pm \sqrt {\displaystyle\frac{4(\phi+2)^{2}}{4(\phi+2)^{2}}-\displaystyle\frac{4(\phi+2)}{4(\phi+2)^{2}}}

d2=1±11ϕ+2=1±ϕ+1ϕ+2=1±ϕϕ+2d^{2}=1 \pm \sqrt {1-\displaystyle\frac{1}{\phi+2}}=1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{\phi+1}{\phi+2}}=1 \pm \displaystyle\frac{\phi}{\sqrt{\phi+2}}

Las soluciones de la ecuación y el valor de xx correspondiente son:

d1=1+ϕϕ+21.36  ux1=0.73  ud_{1}=\sqrt{1 + \displaystyle\frac{\phi}{\sqrt{\phi+2}}} \approx1.36\,\,u \quad \rightarrow \quad x_{1}=0.73\,\,u

d2=1ϕϕ+20.39  ux2=0.98  ud_{2}=\sqrt{1 - \displaystyle\frac{\phi}{\sqrt{\phi+2}}} \approx0.39\,\,u \quad \rightarrow \quad x_{2}=-0.98\,\,u

Con la primera solución se obtiene un deltoide convexo.

En la segunda solución el valor de x2x_{2} es negativo. Gráficamente este valor se debe representar por debajo de la diagonal d2d_{2} obteniéndose un deltoide cóncavo.

95

Cálculo de la medida de los ángulos:

cos(Aˆ)=12+12d1220.0747cos(\^{A})=\displaystyle\frac{1^{2}+1^{2}-d_{1}^{2}}{2}\approx0.0747

Aˆ=85º432.91\^{A}=85º\,43'\,2.91''

cos(Cˆ)=ϕ2+ϕ2d122ϕ20.6466cos(\^{C})=\displaystyle\frac{\phi^{2}+\phi^{2}-d_{1}^{2}}{2\phi^{2}}\approx0.6466

Cˆ=49º432.91\^{C}=49º\,43'\,2.91''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=112º1617.09\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=112º\,16'\,17.09''

Se obtiene un deltoide convexo semejante al deltoide convexo del apartado 5.4.1. Los ángulos son iguales y los lados son proporcionales con razón de semejanza la longitud del lado menor:

l1=ϕ+24ϕ+30.74  ul_{1}=\sqrt{\phi+2-\sqrt{4\phi+3}}\approx0.74\,\,u

Perímetro y superficie de este deltoide es:

P=2+2ϕ=2ϕ25.24  uP=2+2\phi=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

S=Dd2=ϕd1d121.5  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi d_{1}\cdot d_{1}}{2}\approx1.5\,\,u^{2}

96

Construcción gráfica del deltoide áureo convexo

  1. Sea OO el origen de coordenadas y rr la semirrecta positiva del eje de ordenadas. Se traza una circunferencia de con centro en OO y radio ϕ  u\phi\,\,u que corta a la semirrecta en el punto AA.
  2. Se traza una recta perpendicular, ss, a la semirrecta rr por el punto AA. Con centro en el punto AA, se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la recta ss en el punto BB.
  3. Se traza la semirrecta tt con origen el punto OO que pasa por el punto BB. Con centro en el punto BB, se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la semirrecta tt en el punto CC.
  4. Se traza una paralela a la recta ss por el punto CC, que corta a la semirrecta rr en el punto DD.
  5. Con centro en el punto DD se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la semirrecta rr en el punto EE.
  6. Se representa el punto FF simétrico de DD respecto de EE.
  7. Se representa el punto GG, punto medio de AA y FF. Se traza una semicircunferencia con centro en GG que pasa por los puntos AA y FF.
  8. Se traza la perpendicular a la semirrecta rr por el punto EE que corta a la semicircunferencia anterior en el punto HH
  9. Con centros en los puntos EE y HH se trazan arcos de circunferencia con radio 11 que se cortan en el punto II.
  10. Con centros en los puntos EE y HH se trazan arcos de circunferencia con radio ϕ\phi que se cortan en el punto JJ.
  11. El cuadrilátero EIHJEIHJ es el deltoide áureo convexo.
97

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir la construcción paso a paso aplicando el procedimiento descrito:

98

6.2 Deltoides cóncavos de lados 11 y ϕ\phi

Si intentamos construir un deltoide cóncavo cuyos lados estén en proporción áurea, por ejemplo, cuyos lados midan 11 y ϕ\phi, nos encontramos que existen infinitas posibilidades.

En la siguiente escena de Descartes puedes construir deltoides cóncavos cuyos lados tengan estas longitudes, modificando el valor del control de la barra inferior o desplazando en la escena el control gráfico (punto azul). En este apartado vamos a estudior deltoides cóncavos. Encuentra tres deltoides en los que el cociente entre las longitudes de las diagonales se aproxima más a ϕ\phi.

Todos tienen el mismo perímetro, pero distinta superficie.

P=2+2ϕ=2(1+ϕ)=2ϕ25.24  uP=2+2\phi=2(1+\phi)=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

99

6.2.1 El eje de simetría es su diagonal menor

Dos de los deltoides tienen como eje de simetría la diagonal menor. Vamos a determinarlos.

El cociente de sus diagonales debe ser el número de oro:

Dd=ϕD=ϕd\displaystyle\frac{D}{d}=\phi \quad \rightarrow \quad D=\phi\cdot d

Hay que resolver el sistema de ecuaciones:

x2+D24=1(d+x)2+D24=ϕ2}x2+ϕ2d24=1(d+x)2+ϕ2d24=ϕ2}\begin{rcases} x^{2}+\displaystyle\frac{D^{2}}{4}=1\\ (d+x)^{2}+\displaystyle\frac{D^{2}}{4}=\phi^{2}\end{rcases} \quad \rightarrow \quad \begin{rcases} x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2} d^{2}}{4}=1\\ (d+x)^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2} d^{2}}{4}=\phi^{2}\end{rcases}

Se desarrolla la segunda ecuación:

d2+2dx+x2+ϕ2d24=ϕ2=ϕ+1d^{2}+2dx+x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}d^{2}}{4}=\phi^{2}=\phi+1

Se resta a esta ecuación la primera ecuación y se despeja xx:

100

d2+2dx=ϕx=ϕd22dd^{2}+2dx=\phi\quad \rightarrow \quad x=\displaystyle\frac{\phi-d^{2}}{2d}

Se sustituye este valor en la primera ecuación:

(ϕd22d)2+ϕ2d24=1ϕ22ϕd2+d44d2+ϕ2d24=1\bigg( \displaystyle\frac{\phi-d^{2}}{2d} \bigg)^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}d^{2}}{4}=1 \quad \rightarrow \quad \displaystyle\frac{\phi^{2}-2\phi d^{2}+d^{4}}{4d^{2}}+\displaystyle\frac{\phi^{2}d^{2}}{4}=1

Se quitan denominadores y se agrupan términos:

ϕ22ϕd2+d4+ϕ2d4=4d2\phi^{2}-2\phi d^{2}+ d^{4}+\phi^{2}d^{4}=4d^{2}

(ϕ2+1)d4+(2ϕ4)d2+ϕ2=0(\phi^{2}+1)d^{4}+(-2\phi-4)d^{2}+ \phi^{2}=0

Se sustituye ϕ2\phi^{2} por ϕ+1\phi+1 y se obtiene la ecuación bicuadrada:

(ϕ+2)d4(2ϕ+4)d2+ϕ2=0(\phi+2)d^{4}-(2\phi+4)d^{2}+\phi^{2}=0

Se resuelve la ecuación:

d2=2(ϕ+2)±4(ϕ+2)24ϕ2(ϕ+2)2(ϕ+2)d^{2}=\displaystyle\frac{2(\phi+2) \pm \sqrt{4(\phi+2)^{2}-4\phi^{2}(\phi+2)}}{2(\phi+2)}

d2=2(ϕ+2)2(ϕ+2)±4(ϕ+2)24(ϕ+2)24ϕ2(ϕ+2)4(ϕ+2)2d^{2}=\displaystyle\frac{2(\phi+2)}{2(\phi+2)} \pm \sqrt {\displaystyle\frac{4(\phi+2)^{2}}{4(\phi+2)^{2}}-\displaystyle\frac{4\phi^{2}(\phi+2)}{4(\phi+2)^{2}}}

d2=1±1ϕ2ϕ+2d^{2}=1 \pm \sqrt {1-\displaystyle\frac{\phi^{2}}{\phi+2}}

d2=1±1ϕ+1ϕ+2=1±1ϕ+2=1±1ϕ+2d^{2}=1 \pm \sqrt {1-\displaystyle\frac{\phi+1}{\phi+2}}=1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{1}{\phi+2}}=1 \pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt {\phi+2}}

101

Las soluciones de la ecuación, el valor de xx correspondiente y la longitud de la diagonal mayor son:

d1=1+1ϕ+21.24  ux1=0.04  ud_{1}=\sqrt{1 +\displaystyle\frac{1}{\sqrt {\phi+2}}} \approx1.24\,\,u \quad \rightarrow \quad x_{1}=0.04\,\,u

D1=ϕd1=ϕ1+1ϕ+21.9986  uD_{1}=\phi d_{1}=\phi \cdot \sqrt{1 +\displaystyle\frac{1}{\sqrt {\phi+2}}} \approx1.9986\,\,u

d2=11ϕ+20.69  ux2=0.83  ud_{2}=\sqrt{1 -\displaystyle\frac{1}{\sqrt {\phi+2}}} \approx0.69\,\,u \quad \rightarrow \quad x_{2}=0.83\,\,u

D2=ϕd2=ϕ11ϕ+21.11  uD_{2}=\phi d_{2}=\phi \cdot \sqrt{1 -\displaystyle\frac{1}{\sqrt {\phi+2}}} \approx1.11\,\,u

Cálculo de la medida de los ángulos de la primera solución:

cos(360ºAˆ)=1+1D122110.9972Aˆ=184º1657.09cos(360º-\^{A})=\displaystyle\frac{1+1-D_{1}^{2}}{2\cdot 1 \cdot 1}\approx-0.9972 \rightarrow \^{A}=184º\,16'\,57.09''

cos(Cˆ)=ϕ2+ϕ2D122ϕ20.2371Cˆ=76º1657.09cos(\^{C})=\displaystyle\frac{\phi^{2}+\phi^{2}-D_{1}^{2}}{2\phi^{2}}\approx0.2371 \rightarrow \^{C}=76º\,16'\,57.09''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=49º432.91\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=49º\,43'\,2.91''

102

Perímetro y superficie:

P=2+2ϕ=2ϕ25.24  uP=2+2\phi=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

S=Dd2=ϕd1d121.23  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi d_{1}\cdot d_{1}}{2}\approx1.23\,\,u^{2}

Cálculo de la medida de los ángulos de la segunda solución:

cos(360ºAˆ)=1+1D222110.3792cos(360º-\^{A})=\displaystyle\frac{1+1-D_{2}^{2}}{2\cdot 1 \cdot 1}\approx0.3792

Aˆ=292º1657.09\^{A}=292º\,16'\,57.09''

cos(Cˆ)=ϕ2+ϕ2D222ϕ20.7629cos(\^{C})=\displaystyle\frac{\phi^{2}+\phi^{2}-D_{2}^{2}}{2\phi^{2}}\approx0.7629

Cˆ=40º1657.09\^{C}=40º\,16'\,57.09''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=13º432.91\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=13º\,43'\,2.91''

Perímetro y superficie:

P=2+2ϕ=2ϕ25.24  uP=2+2\phi=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

S=Dd2=ϕd2d220.38  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi d_{2}\cdot d_{2}}{2}\approx0.38\,\,u^{2}

103

Construcción gráfica del primer deltoide cóncavo

  1. Sea OO el origen de coordenadas y rr la semirrecta positiva del eje de abscisas. Se traza una circunferencia con centro en OO y radio ϕ\phi que corta a la semirrecta en el punto AA.
  2. Se traza una recta perpendicular, ss, a la semirrecta rr por el punto AA. Con centro en el punto AA, se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la recta ss en el punto BB.
  3. Se traza la semirrecta tt con origen el punto OO que pasa por el punto BB. Con centro en el punto BB, se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la semirrecta tt en el punto CC.
  4. Se traza una circunferencia con centro en OO y radio 11 que corta a la semirrecta rr en el punto DD. Se traza el segmento que une los puntos BB y DD.
  5. Se traza la recta paralela al segmento BD\overline{BD} que pasa por el punto CC. Esta recta corta a la semirrecta rr en el punto EE.
  6. Con centro en EE se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la semirrecta rr en el punto FF. Se representa el punto GG simétrico de EE respecto de FF.
  7. Se traza la recta perpendicular a rr por el punto FF. La semicircunferencia que pasa por los puntos DD y GG corta a la recta anterior en el punto HH.
  8. Se traza una circunferencia con centro en HH y radio 11 y otra circunferencia con centro en FF y radio ϕ\phi. Estas dos circunferencias se cortan en los puntos II y JJ.
  9. El cuadrilátero EIHJEIHJ es el deltoide áureo cóncavo.
104

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir la construcción paso a paso aplicando el procedimiento descrito:

105

Construcción gráfica del segundo deltoide cóncavo

  1. Sea OO el origen de coordenadas y rr la semirrecta positiva del eje de abscisas. Se traza una circunferencia con centro en OO y radio ϕ\phi que corta a la semirrecta en el punto AA.
  2. Se traza una recta perpendicular, ss, a la semirrecta rr por el punto AA. Con centro en el punto AA, se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la recta ss en el punto BB.
  3. Se traza la semirrecta tt con origen el punto OO que pasa por el punto BB. Con centro en el punto BB, se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la semirrecta tt en el punto CC.
  4. Se traza una circunferencia con centro en OO y radio 11 que corta a la semirrecta rr en el punto DD. Se traza el segmento que une los puntos BB y DD.
  5. Se traza la recta paralela al segmento BD\overline{BD} que pasa por el punto CC. Esta recta corta a la semirrecta rr en el punto EE.
  6. Con centro en DD se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la semirrecta rr en el punto FF. Se representa el punto GG simétrico de DD respecto de FF.
  7. Se traza la recta perpendicular a rr por el punto FF. La semicircunferencia que pasa por los puntos EE y GG corta a la recta anterior en el punto HH.
  8. Se traza una circunferencia con centro en HH y radio 11 y otra circunferencia con centro en FF y radio ϕ\phi. Estas dos circunferencias se cortan en los puntos II y JJ.
  9. El cuadrilátero EIHJEIHJ es el deltoide áureo cóncavo.
106

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir la construcción paso a paso aplicando el procedimiento descrito:

107

6.2.2 El eje de simetría es su diagonal mayor

El tercero de los deltoides cóncavos que se obtienen al principio del apartado 6.3 tiene como eje de simetría la diagonal mayor. Vamos a determinarlo.

El cociente de sus diagonales debe ser el número de oro:

Dd=ϕD=ϕd\displaystyle\frac{D}{d}=\phi \quad \rightarrow \quad D=\phi\cdot d

Hay que resolver el sistema de ecuaciones:

x2+d24=1(D+x)2+d24=ϕ2}\begin{rcases} x^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=1\\ (D+x)^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=\phi^{2}\end{rcases}

x2+d24=1(ϕd+x)2+d24=ϕ2}\begin{rcases} x^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=1\\ (\phi d+x)^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=\phi^{2}\end{rcases}

Se desarrolla la segunda ecuación:

ϕ2d2+2ϕdx+x2+d24=ϕ2=ϕ+1\phi^{2}d^{2}+2\phi dx+x^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=\phi^{2}=\phi+1

Se resta a la expresión obtenida la primera ecuación, se simplifica por ϕ\phi y se despeja el valor de xx:

ϕ2d2+2ϕdx=ϕϕd2+2dx=1x=1ϕd22d\phi^{2} d^{2}+2\phi dx=\phi\quad \rightarrow \quad \phi d^{2}+2dx=1\quad \rightarrow \quad x=\displaystyle\frac{1-\phi d^{2}}{2d}

108

Se sustituye este valor en la primera ecuación:

(1ϕd22d)2+d24=112ϕd2+ϕ2d44d2+d24=1\bigg( \displaystyle\frac{1-\phi d^{2}}{2d} \bigg)^{2}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=1 \quad \rightarrow \quad \displaystyle\frac{1-2\phi d^{2} +\phi^{2} d^{4}}{4d^{2}}+\displaystyle\frac{d^{2}}{4}=1

Se quitan denominadores y se agrupan términos:

12ϕd2+ϕ2d4+d4=4d2(ϕ2+1)d4(2ϕ+4)d2+1=01-2\phi d^{2}+\phi^{2} d^{4}+d^{4}=4d^{2}\rightarrow (\phi^{2}+1)d^{4}-(2\phi+4)d^{2}+1=0

Se sustituye ϕ2\phi^{2} por ϕ+1\phi+1 y se obtiene la ecuación bicuadrada:

(ϕ+2)d42(ϕ+2)d2+1=0(\phi+2)d^{4}-2(\phi+2)d^{2}+1=0

Se resuelve la ecuación:

d2=2(ϕ+2)±4(ϕ+2)24(ϕ+2)2(ϕ+2)d^{2}=\displaystyle\frac{2(\phi+2) \pm \sqrt{4(\phi+2)^{2}-4(\phi+2)}}{2(\phi+2)}

d2=2(ϕ+2)2(ϕ+2)±4(ϕ+2)24(ϕ+2)24(ϕ+2)4(ϕ+2)2d^{2}=\displaystyle\frac{2(\phi+2)}{2(\phi+2)} \pm \sqrt {\displaystyle\frac{4(\phi+2)^{2}}{4(\phi+2)^{2}}-\displaystyle\frac{4(\phi+2)}{4(\phi+2)^{2}}}

d2=1±11ϕ+2=1±ϕ+1ϕ+2=1±ϕϕ+2d^{2}=1 \pm \sqrt {1-\displaystyle\frac{1}{\phi+2}}=1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{\phi+1}{\phi+2}}=1 \pm \displaystyle\frac{\phi}{\sqrt{\phi+2}}

Las soluciones de la ecuación, el valor de xx correspondiente y la longitud de la diagonal mayor son:

d1=1+ϕϕ+21.36  ux1=0.73  ud_{1}=\sqrt{1 + \displaystyle\frac{\phi}{\sqrt{\phi+2}}} \approx1.36\,\,u \quad \rightarrow \quad x_{1}=-0.73\,\,u

D1=ϕd1=ϕ1+ϕϕ+22.2  uD_{1}=\phi d_{1}=\phi \cdot\sqrt{1 + \displaystyle\frac{\phi}{\sqrt{\phi+2}}} \approx2.2\,\,u

109

d2=1ϕϕ+20.39  ux2=0.98  ud_{2}=\sqrt{1 - \displaystyle\frac{\phi}{\sqrt{\phi+2}}} \approx0.39\,\,u \quad \rightarrow \quad x_{2}=0.98\,\,u

D2=ϕd2=ϕ1ϕϕ+20.63  uD_{2}=\phi d_{2}=\phi \sqrt{1 - \displaystyle\frac{\phi}{\sqrt{\phi+2}}} \approx0.63\,\,u

En la primera solución el valor de x1x_{1} es negativo. Gráficamente este valor se debe representar por encima de la diagonal d1d_{1} obteniéndose un deltoide convexo. Con la segunda solución se obtiene el deltoide cóncavo buscado.

Cálculo de la medida de los ángulos:

cos(360ºAˆ)=12+12d2220.9253cos(360º-\^{A})=\displaystyle\frac{1^{2}+1^{2}-d_{2}^{2}}{2}\approx0.9253

Aˆ=337º432.91\^{A}=337º\,43'\,2.91''

cos(Cˆ)=ϕ2+ϕ2d222ϕ20.9715cos(\^{C})=\displaystyle\frac{\phi^{2}+\phi^{2}-d_{2}^{2}}{2\phi^{2}}\approx0.9715

Cˆ=13º432.91\^{C}=13º\,43'\,2.91''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=4º1657.09\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=4º\,16'\,57.09''

Perímetro y superficie:

P=2+2ϕ=2ϕ25.24  uP=2+2\phi=2\phi^{2}\approx5.24\,\,u

S=Dd2=ϕd2d220.12  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi d_{2}\cdot d_{2}}{2}\approx0.12\,\,u^{2}

110

Construcción gráfica del deltoide áureo cóncavo

  1. Sea OO el origen de coordenadas y rr la semirrecta positiva del eje de ordenadas. Se traza una circunferencia de con centro en OO y radio ϕ\phi que corta a la semirrecta rr en el punto AA.
  2. Se traza una recta perpendicular, ss, a la semirrecta rr por el punto AA. Con centro en el punto AA, se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la recta ss en el punto BB.
  3. Se traza la semirrecta tt con origen el punto OO que pasa por el punto BB. Con centro en el punto BB, se traza una circunferencia de radio 11 que corta a la semirrecta tt en el punto CC.
  4. Se traza una paralela a la recta ss por el punto CC, que corta a la semirrecta rr en el punto DD.
  5. Se representa el punto EE intersección de la circunferencia de centro AA y radio 11 anterior y la semirrecta rr. Se representa el punto FF simétrico de AA respecto de EE.
  6. Se representa el punto medio GG, punto medio de DD y FF. Se traza una semicircunferencia con centro en GG que pasa por los puntos DD y FF.
  7. Se traza la perpendicular a la semirrecta rr por el punto EE que corta a la semicircunferencia anterior en el punto HH
  8. Con centros en los puntos EE y HH se trazan arcos de circunferencia con radio 11 que se cortan en el punto II.
  9. Con centros en los puntos EE y HH se trazan arcos de circunferencia con radio ϕ\phi que se cortan en el punto JJ.
  10. El cuadrilátero EIHJEIHJ es el deltoide áureo convexo.
111

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir la construcción paso a paso aplicando el procedimiento descrito:

112

6.3 Deltoides cóncavos de diagonales 11 y ϕ\phi

Si intentamos construir un deltoide cóncavo cuyas diagonales estén en proporción áurea, por ejemplo, cuyas diagonales midan 11 y ϕ\phi, nos encontramos que existen infinitas posibilidades.

Vamos a distinguir dos casos, según el eje de simetría del deltoide coincida con su diagonal menor o su diagonal mayor.

6.3.1 El eje de simetría es su diagonal menor

En la siguiente escena de Descartes puedes construir deltoides cóncavos cuyas diagonales tengan estas longitudes, modificando el valor del control de la barra inferior o desplazando en la escena el control gráfico (punto azul). Encuentra dos deltoides en los que el cociente de las longitudes de los lados se aproxima más a ϕ\phi.

113

Vamos a determinar estos dos deltoides cóncavos:

Cálculo de la longitud de los lados:

l12=x2+(ϕ2)2l1=x2+ϕ24l_{1}^{2}=x^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{\phi}{2}\bigg)^{2}\quad \rightarrow \quad l_{1}=\sqrt{x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}

l22=(1+x)2+(ϕ2)2l2=1+2x+x2+ϕ24l_{2}^{2}=(1+x)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{\phi}{2}\bigg)^{2}\quad \rightarrow \quad l_{2}=\sqrt{1+2x+x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}

Se debe verificar que:

l2l1=ϕl22l12=1+2x+x2+ϕ24x2+ϕ24=ϕ2\displaystyle\frac{l_{2}}{l_{1}}=\phi\quad \rightarrow \quad \displaystyle\frac{l_{2}^{2}}{l_{1}^{2}}=\displaystyle\frac{1+2x+x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}{x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}=\phi^2

1+2x+x2+ϕ24=ϕ2(x2+ϕ24)=ϕ2x2+ϕ441+2x+x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}=\phi^{2} \bigg(x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4} \bigg)=\phi^{2}x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{4}}{4}

114

Se sustituye ϕ2\phi^{2} por ϕ+1\phi+1 y ϕ4\phi^{4} por 3ϕ+23\phi+2:

1+2x+x2+ϕ+14=(ϕ+1)x2+3ϕ+241+2x+x^{2}+\displaystyle\frac{\phi+1}{4}=(\phi+1)x^{2}+\displaystyle\frac{3\phi+2}{4}

ϕx22x+2ϕ34=0\phi x^{2}-2x+\displaystyle\frac{2\phi-3}{4}=0

Se resuelve la ecuación de segundo grado:

x=2±4ϕ(2ϕ3)2ϕ=2±ϕ+22ϕx=\displaystyle\frac{2 \pm \sqrt{4-\phi(2\phi-3)}}{2\phi}=\displaystyle\frac{2 \pm \sqrt{\phi+2}}{2\phi}

x=22ϕ±ϕ4ϕ2+24ϕ2=1ϕ±14ϕ+12ϕ2x=\displaystyle\frac{2}{2\phi} \pm \sqrt {\displaystyle\frac{\phi}{4\phi^{2}}+\displaystyle\frac{2}{4\phi^{2}}}=\displaystyle\frac{1}{\phi} \pm \sqrt {\displaystyle\frac{1}{4\phi}+\displaystyle\frac{1}{2\phi^{2}}}

Se sustituye 1ϕ\displaystyle\frac{1}{\phi} por ϕ1\phi-1 y 1ϕ2\displaystyle\frac{1}{\phi^{2}} por 2ϕ2-\phi:

x=ϕ1±ϕ14+2ϕ2=ϕ1±3ϕ4x=\phi-1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{\phi-1}{4}+\displaystyle\frac{2-\phi}{2}}=\phi-1 \pm \sqrt {\displaystyle\frac{3-\phi}{4}}

Se obtienen dos soluciones positivas, por tanto, hay dos deltoides con las proporciones buscadas:

x1=2+ϕ+22ϕ=ϕ1+3ϕ21.21  ux_{1}=\displaystyle\frac{2 + \sqrt{\phi+2}}{2\phi}=\phi-1+\displaystyle\frac{\sqrt{3-\phi}}{2}\approx 1.21\,\,u

x2=2ϕ+22ϕ=ϕ13ϕ20.03  ux_{2}=\displaystyle\frac{2 - \sqrt{\phi+2}}{2\phi}=\phi-1-\displaystyle\frac{\sqrt{3-\phi}}{2}\approx 0.03\,\,u

115

Longitud de los lados y medida de los ángulos del primer deltoide

Cálculo de los lados:


l1=ϕ24+x12l_{1}=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}+x_{1}^{2}}

l1=ϕ24+(2+ϕ+22ϕ)2l_{1}=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}+\bigg( \displaystyle\frac{2 + \sqrt{\phi+2}}{2\phi} \bigg)^{2}}

l1=ϕ24+4+4ϕ+2+ϕ+24ϕ2l_{1}=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}+\displaystyle\frac{4 + 4\sqrt{\phi+2}+\phi+2}{4\phi^{2}}}


l1=ϕ4+ϕ+6+4ϕ+24ϕ2=ϕ+2+ϕ+2ϕ1.45  ul_{1}=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi^{4}+\phi+6 + 4\sqrt{\phi+2}}{4\phi^{2}}}=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2+\sqrt{\phi+2}}}{\phi} \approx1.45\,\,u

l2=1+2x1+x12+ϕ24l_{2}=\sqrt{1+2x_{1}+x_{1}^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}

l2=1+22+ϕ+22ϕ+(2+ϕ+22ϕ)2+ϕ24l_{2}=\sqrt{1+2\cdot\displaystyle\frac{2 + \sqrt{\phi+2}}{2\phi}+\bigg( \displaystyle\frac{2 + \sqrt{\phi+2}}{2\phi} \bigg)^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}

l2=1+2+ϕ+2ϕ+4+4ϕ+2+ϕ+24ϕ2+ϕ24l_{2}=\sqrt{1+\displaystyle\frac{2 + \sqrt{\phi+2}}{\phi}+\displaystyle\frac{4+4\sqrt{\phi+2}+\phi+2}{4\phi^{2}}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}

l2=4ϕ2+8ϕ+4ϕϕ+2+4+4ϕ+2+ϕ+2+ϕ44ϕ2l_{2}=\sqrt{\displaystyle\frac{4\phi^{2}+8\phi+4\phi \sqrt{\phi+2}+4+4\sqrt{\phi+2}+\phi+2+\phi^{4}}{4\phi^{2}}}

116

Se sustituye ϕ2\phi^{2} por ϕ+1\phi+1 y ϕ4\phi^{4} por 3ϕ+23\phi+2:

l2=16ϕ+12+(4ϕ+4)ϕ+24ϕ2l_{2}=\sqrt{\displaystyle\frac{16\phi+12+(4\phi+4)\sqrt{\phi+2}}{4\phi^{2}}}

l2=4ϕ+3+(ϕ+1)ϕ+2ϕ2.35  ul_{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3+(\phi+1)\sqrt{\phi+2}}}{\phi}\approx2.35\,\,u

Cálculo de los ángulos:

cos(360ºAˆ)=l12+l12ϕ22l120.3792Aˆ=292º1657.09cos(360º-\^{A})=\displaystyle\frac{l_{1}^{2}+l_{1}^{2}-\phi^{2}}{2l_{1}^{2}}\approx0.3792 \rightarrow \^{A}=292º\,16'\,57.09''

cos(Cˆ)=l22+l22ϕ22l220.7629Cˆ=40º1657.09cos(\^{C})=\displaystyle\frac{l_{2}^{2}+l_{2}^{2}-\phi^{2}}{2l_{2}^{2}}\approx0.7629 \rightarrow \^{C}=40º\,16'\,57.09''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=13º432.91\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=13º\,43'\,2.91''

Perímetro:

P=2l1+2l27.6  uP=2l_{1}+2l_{2}\approx7.6\,\,u

Superficie:

S=Dd2=ϕ12=ϕ2  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi\cdot 1}{2}=\displaystyle\frac{\phi}{2}\,\,u^{2}

117

Longitud de los lados y medida de los ángulos del segundo deltoide

Cálculo de los lados:

l1=ϕ24+x22l_{1}=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}+x_{2}^{2}}

l1=ϕ24+(2ϕ+22ϕ)2l_{1}=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}+\bigg( \displaystyle\frac{2 - \sqrt{\phi+2}}{2\phi} \bigg)^{2}}

l1=ϕ24+44ϕ+2+ϕ+24ϕ2l_{1}=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}+\displaystyle\frac{4 - 4\sqrt{\phi+2}+\phi+2}{4\phi^{2}}}

l1=ϕ4+ϕ+64ϕ+24ϕ2=ϕ+2ϕ+2ϕ0.81  ul_{1}=\sqrt{\displaystyle\frac{\phi^{4}+\phi+6 - 4\sqrt{\phi+2}}{4\phi^{2}}}=\displaystyle\frac{\sqrt{\phi+2-\sqrt{\phi+2}}}{\phi} \approx0.81\,\,u

l2=1+2x2+x22+ϕ24l_{2}=\sqrt{1+2x_{2}+x_{2}^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}

l2=1+22ϕ+22ϕ+(2ϕ+22ϕ)2+ϕ24l_{2}=\sqrt{1+2\cdot\displaystyle\frac{2 - \sqrt{\phi+2}}{2\phi}+\bigg( \displaystyle\frac{2 - \sqrt{\phi+2}}{2\phi} \bigg)^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}

l2=1+2ϕ+2ϕ+44ϕ+2+ϕ+24ϕ2+ϕ24l_{2}=\sqrt{1+\displaystyle\frac{2 - \sqrt{\phi+2}}{\phi}+\displaystyle\frac{4-4\sqrt{\phi+2}+\phi+2}{4\phi^{2}}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}}

l2=4ϕ2+8ϕ4ϕϕ+2+44ϕ+2+ϕ+2+ϕ44ϕ2l_{2}=\sqrt{\displaystyle\frac{4\phi^{2}+8\phi-4\phi \sqrt{\phi+2}+4-4\sqrt{\phi+2}+\phi+2+\phi^{4}}{4\phi^{2}}}

118

Se sustituye ϕ2\phi^{2} por ϕ+1\phi+1 y ϕ4\phi^{4} por 3ϕ+23\phi+2:

l2=16ϕ+12(4ϕ+4)ϕ+24ϕ2l_{2}=\sqrt{\displaystyle\frac{16\phi+12-(4\phi+4)\sqrt{\phi+2}}{4\phi^{2}}}

l2=4ϕ+3(ϕ+1)ϕ+2ϕ1.31  ul_{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3-(\phi+1)\sqrt{\phi+2}}}{\phi}\approx1.31\,\,u

Cálculo de los ángulos:

cos(360ºAˆ)=l12+l12ϕ22l120.9972Aˆ=184º1657.09cos(360º-\^{A})=\displaystyle\frac{l_{1}^{2}+l_{1}^{2}-\phi^{2}}{2l_{1}^{2}}\approx-0.9972 \rightarrow \^{A}=184º\,16'\,57.09''

cos(Cˆ)=l22+l22ϕ22l220.2371Cˆ=76º1657.09cos(\^{C})=\displaystyle\frac{l_{2}^{2}+l_{2}^{2}-\phi^{2}}{2l_{2}^{2}}\approx0.2371 \rightarrow \^{C}=76º\,16'\,57.09''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=49º432.91\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=49º\,43'\,2.91''

Perímetro:

P=2l1+2l24.24  uP=2l_{1}+2l_{2}\approx4.24\,\,u

Superficie:

S=Dd2=ϕ12=ϕ2  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi\cdot 1}{2}=\displaystyle\frac{\phi}{2}\,\,u^{2}

En ambos casos se obtienen deltoides cóncavos semejantes a los deltoides cónvavos del apartado 6.2.1.

119

Construcción gráfica de los dos deltoides

  1. Se construye el rectángulo áureo ABCDABCD de ϕ\phi u de base y 11 u de altura.
  2. Se traza la recta rr que contiene al lado AD\overline{AD}. Se traslada sobre ella la distancia entre los puntos DD y CC, obteniendo el punto EE.
  3. Se traslada la distancia entre los puntos AA y DD a la prolongación del lado AB, obteniendo el punto FF.
  4. Se traza una paralela al lado AB\overline{AB} por el punto EE y una paralela al lado AD por el punto FF. Ambas rectas se cortan en el punto GG.
  5. Se representa el punto HH, punto simétrico de GG respecto de EE.
  6. Se representa el punto II, punto medio de los puntos EE y HH y el punto JJ, punto medio de los puntos HH e II.
  7. Se representa el punto KK, punto medio de los puntos AA y BB y el punto LL, punto medio de los puntos AA y KK.
  8. Se unen los puntos LL y JJ y se traza una paralela por el punto AA a este segmento, que corta en el punto MM a la recta paralela al lado AB\overline{AB}.
  9. Se representa el punto NN, punto medio de GG y MM.
  10. La circunferencia con centro NN que pasa por los puntos GG y MM corta a la recta rr en los puntos OO y PP.
  11. Se trazan paralelas por estos puntos al lado AB\overline{AB} y se obtienen los puntos RR y SS en la prolongación del lado BC\overline{BC}. Se representa el punto QQ, punto medio del lado DC\overline{DC}.
  12. Los cuadriláteros OKRQOKRQ y PKSQPKSQ son los dos deltoides buscados.
120

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir la construcción paso a paso aplicando el procedimiento descrito:

121

6.3.2 El eje de simetría es su diagonal mayor

En la siguiente escena de Descartes puedes construir deltoides cóncavos cuyas diagonales midan 11 y ϕ\phi, modificando el valor del control de la barra inferior o desplazando en la escena el control gráfico (punto azul). Encuentra el deltoide en el que el cociente de las longitudes de los lados se aproxima más a ϕ\phi.

122

Vamos a determinar este deltoide áureo cóncavo, calculando la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos.

Cálculo de la longitud de los lados:

l12=x2+(12)2  l1=x2+14l_{1}^{2}=x^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}\rightarrow \,\, l_{1}=\sqrt{x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}

l22=(ϕ+x)2+(12)2l_{2}^{2}=(\phi+x)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}

l2=ϕ2+2ϕx+x2+14l_{2}=\sqrt{\phi^{2}+2\phi x+x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}

Se debe verificar que:

l2l1=ϕl22l12=ϕ2+2ϕx+x2+14x2+14=ϕ2\displaystyle\frac{l_{2}}{l_{1}}=\phi\quad \rightarrow \quad \displaystyle\frac{l_{2}^{2}}{l_{1}^{2}}=\displaystyle\frac{\phi^{2}+2\phi x+x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}{x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}}=\phi^2

ϕ2+2ϕx+x2+14=ϕ2x2+ϕ24\phi^{2}+2\phi x+x^{2}+\displaystyle\frac{1}{4}=\phi^{2}x^{2}+\displaystyle\frac{\phi^{2}}{4}

x2(ϕ21)2ϕx+3ϕ214=0x^{2}(\phi^{2}-1)-2\phi x+\displaystyle\frac{-3\phi^{2}-1}{4}=0

Se sustituye ϕ2\phi^{2} por ϕ+1\phi+1:

ϕx22ϕx+3ϕ44=0\phi x^{2}-2\phi x+\displaystyle\frac{-3\phi-4}{4}=0

123

Se obtiene una ecuación parecida a la obtenida para calcular la longitud de los lados del deltoide áureo convexo inscrito en un rectángulo áureo (apartado 5.4.1). La única diferencia es el cambio del signo del coeficiente de x, por tanto, las soluciones de esta ecuación serán las opuestas de la ecuación resuelta en dicho apartado:

En este caso nos interesa la solución positiva, con la que se obtiene un deltoide cóncavo semejante al obtenido en el apartado 6.2.2.

x1=1+4ϕ+322.54x_{1}=1+\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\approx2.54

La solución negativa:

x2=14ϕ+320.54x_{2}=1-\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\approx-0.54

habría que representarla gráficamente desde el lado superior del rectángulo áureo hacia abajo y se obtendría el deltoide áureo convexo descrito en el apartado 5.4.1.

Cálculo de las longitudes de los lados:

La longitud del lado l1l_{1} es:

l12=x2+(12)2=(1+4ϕ+32)2+(12)2l_{1}^{2}=x^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}=\bigg(1+\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\bigg)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}

l12=(1+4ϕ+3+4ϕ+34)+14=ϕ+2+4ϕ+3l_{1}^{2}=\bigg(1+\sqrt{4\phi+3}+\displaystyle\frac{4\phi+3}{4}\bigg)+\displaystyle\frac{1}{4}=\phi+2+\sqrt{4\phi+3}

l1=ϕ+2+4ϕ+32.59  ul_{1}=\sqrt{\phi+2+\sqrt{4\phi+3}}\approx2.59\,\,u

124

La longitud del lado l2l_{2} es:

l22=(ϕ+x)2+(12)2=(ϕ+1+4ϕ+32)2+(12)2l_{2}^{2}=(\phi+x)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}=\bigg(\phi+1+\displaystyle\frac{\sqrt{4\phi+3}}{2}\bigg)^{2}+\bigg(\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)^{2}

l22=(ϕ2+2ϕ+1+(ϕ+1)4ϕ+3+4ϕ+34)+14l_{2}^{2}=\bigg(\phi^{2}+2\phi+1+(\phi+1)\sqrt{4\phi+3}+\displaystyle\frac{4\phi+3}{4}\bigg)+\displaystyle\frac{1}{4}

l22=4ϕ+3+(ϕ+1)4ϕ+3l_{2}^{2}=4\phi+3+(\phi+1)\sqrt{4\phi+3}

l2=4ϕ+3+(ϕ+1)4ϕ+34.19  ul_{2}=\sqrt{4\phi+3+(\phi+1)\sqrt{4\phi+3}}\approx4.19\,\,u

Cálculo de la medida de los ángulos:

cos(360ºAˆ)=l12+l12122l120.9253cos(360º-\^{A})=\displaystyle\frac{l_{1}^{2}+l_{1}^{2}-1^{2}}{2l_{1}^{2}}\approx0.9253

Aˆ=337º432.91\^{A}=337º\,43'\,2.91''

cos(Cˆ)=l22+l22122l220.9715cos(\^{C})=\displaystyle\frac{l_{2}^{2}+l_{2}^{2}-1^{2}}{2l_{2}^{2}}\approx0.9715

Cˆ=13º432.91\^{C}=13º\,43'\,2.91''

Bˆ=Dˆ=360AˆCˆ2=4º1657.09\^{B}=\^{D}=\displaystyle\frac{360-\^{A}-\^{C}}{2}=4º\,16'\,57.09''

Perímetro y superficie:

P=2l1+2l213.55  uP=2l_{1}+2l_{2}\approx13.55\,\,u

S=Dd2=ϕ12=ϕ2  u2S=\displaystyle\frac{D\cdot d}{2}=\displaystyle\frac{\phi\cdot 1}{2}=\displaystyle\frac{\phi}{2}\,\,u^{2}

125

Construcción gráfica

Para construirlo gráficamente se realizan los cinco primeros pasos de la construcción del deltoide áureo convexo del apartado 5.4.1 y, a partir del sexto, se actúa de forma diferente:

  1. Se construye el rectángulo áureo ABCDABCD de 1  u1\,\,u de base y ϕ  u\phi\,\,u de altura.
  2. Se traza la recta rr que contiene al lado AD\overline{AD}. Con centro en el punto DD, se traza una circunferencia de radio DC\overline{DC} que corta a la recta rr en el punto EE. Se representa el punto medio, FF, del segmento DE\overline{DE} y el punto medio, GG, del segmento FE\overline{FE}.
  3. Con centro en el punto AA, se traza una circunferencia de radio AB\overline{AB} que corta a la recta rr en el punto HH.
  4. Se representa el punto II, punto medio de GG y HH.
  5. Se traza una semicircunferencia con centro en II que pasa por los puntos GG y HH. Se prolonga el lado AB\overline{AB} hasta cortar a la semicircunferencia en el punto JJ.
  6. Con centro en el punto JJ se traza una circunferencia de radio AB\overline{AB} que corta a la prolongación del lado AB\overline{AB} en el punto KK.
  7. Se traslada la distancia AK\overline{AK} a la prolongación del lado AD\overline{AD} mediante un arco de circunferencia, obteniéndose el punto LL.
  8. Se traslada ahora la distancia AK\overline{AK} a la prolongación del lado BC\overline{BC}, obteniéndose el punto NN y se representan los puntos medios MM y OO de los lados AB\overline{AB} y DC\overline{DC} respectivamente.
  9. El cuadrilátero LMNOLMNO es el deltoide áureo convexo.
126

En la siguiente escena de Descartes puedes seguir la construcción paso a paso aplicando el procedimiento descrito:

127

6.4 Conclusión

En el estudio de los deltoides que verifican que tanto el cociente de las longitudes de sus lados como el cociente de las longitudes de sus diagonales es el número de oro, se han obtenido cuatro deltoides, uno de ellos convexo y los otros tres cóncavos.

Se han utilizado dos procedimientos distintos para obtenerlos:

• En el primer procedimiento se ha supuesto que las longitudes de las diagonales son 11 y ϕ\phi y, con esta condición, se han calculado los deltoides que verifican que el cociente de las longitudes de sus lados es igual a ϕ\phi.

• En el segundo procedimiento se ha supuesto que las longitudes de los lados son 11 y ϕ\phi y, con esta condición, se han calculado los deltoides que verifican que el cociente de las longitudes de sus diagonales es igual a ϕ\phi.

Por ambos procedimientos se ha llegado a la existencia de cuatro deltoides distintos, siendo semejantes los deltoides obtenidos por cada uno de ellos.

Además, se ha obtenido también, en el apartado 5.4.2, un deltoide cóncavo inscrito en un rectángulo áureo que verifica que el cociente de las longitudes de sus lados es el número de oro, pero no verifica esta condición el cociente de las longitudes de sus diagonales.

En cada caso los deltoides estudiados se han representado gráficamente a distintas escalas para poder observar mejor sus elementos. En la página siguiente aparecen representados los cuatro con la misma escala para poder compararlos.

128

En la siguiente escena de Descartes puedes representar los deltoides que existen de lados 11 y ϕ\phi y comprobar la existencia de aquellos en los que el cociente de la longitud de sus diagonales es el número de oro.

129
[1] La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Corbalán, F. RBA Coleccionables. Año 2010. [2] Historia del número áureo.
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo. Recuperado el 26/02/2024.
[3] Trazado Geométrico. Dibujo Técnico I. González Monsalve, M. Palencia Cortés, J. Sevilla. Año 2005. [4] Blog: Adicción matemática.
https://blogsaverroes.juntadeandalucia.es/recursosdematematicas/ category/numero-de-oro/. Recuperado el 05/03/2024.
[5] Teselación de Penrose.
https://es.wikipedia.org/wiki/Teselaci%C3%B3n_de_Penrose. Recuperado el 07/04/2024.
[6] Blog: Adicción matemática.
https://blogsaverroes.juntadeandalucia.es/recursosdematematicas/ category/deltoides/. Recuperado el 02/04/2024.
[7] Red Educativa Digital Descartes. Aritmética a través de la Geometría. Operaciones con segmentos. Barrios Calmaestra, L. Adaptación a DescartesJS: Quireza Ramos M.C.
https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/ operaciones_con_segmentos-JS/index.html.
131