La concha discoidal del Nautilus siempre ha sido un objeto admirado por su gran belleza que es fruto y reflejo armónico de la naturaleza. Capta la atención de cualquier persona curiosa o inquieta, incita a conocer los porqués de su forma e invita a ahondar en ella, más si tiene acceso a ver su interior donde se observan tabiques y cámaras "secretas" que guardan sigilosamente un bello patrón matemático obtenido como consecuencia de la evolución y adaptación al medio del animal que la produce. Un animal denominado "fósil viviente" que lleva haciendo matemáticas desde hace cuatrocientos millones de años, tiempo en el que las posibles ramas evolutivas diferenciadoras no han triunfado por ser menor la perfección alcanzada.
El estudio bidimensional, realizado con anterioridad en otros artículos, de la sección sagital de la concha nautílica permitió determinar su carácter intrínsecamente cordobés (ligado a la proporción cordobesa) y también la obtención del modelo matemático ontogénico de la misma, encontrando respuestas al comportamiento diferenciado del primer verticilo respecto a los dos siguientes. Pero la concha del Nautilus es tridimensional y uno queda insatisfecho si no procede a intentar modelar esa tercera dimensión, siendo precisamente ese salto es el que se sintetiza en este trabajo: "El modelo matemático tridimensional uniforme del Nautilus" y quizás en el futuro contemple plasmar el modelo ontogénico tridimensional. La sección frontal de la concha es la base sobre la que se construye el modelo 3D al aplicarle el crecimiento cordobés, y aquí se reflejan las dificultades, inesperadas, con las que me encontré y cómo se salvaron. La forma elíptica se mostró como base teórica conformadora de ese perfil frontal del Nautilus y ello también aconteció en el callo umbilical. Pero no todo son éxitos dado que los septos se muestran reticientes a mostrar cuál es la superficie matemática que los envuelve y describe... ¡El reto continúa!, pero ahora lo que procede es invitarles a acompañarme en la descripción de lo conseguido.
En un trabajo anterior presenté el modelo ontogénico matemático del Nautilus donde quedó compilado el conocimiento adquirido después de un amplio periodo de tiempo investigando la sección sagital de la concha del Nautilus y buscando dar explicación matemática a esa atractiva y bella bitácora cálcarea que atrapa y engancha, a la vez que engaña, pues se muestra con una simplicidad aparente cuando realmente engloba una complejidad y una diversidad de detalles crípticos que se necesitan descodificar y que requieren de amplia observación, de una paciencia infinita y de un oído atento para captar los sigilosos mensajes que emite en quedos susurros y que no pueden pillarte distraído, en Babia. Cubierto amplia y detalladamente ese objetivo bidimensional, el lance siguiente era obvio ¿verdad? La concha es tridimensional y como tal ha de analizarse y tratar de comprender. Pero el salto desde planilandia suele ser, y es, difícil de lograr y las dificultades previas encontradas generan un gran vértigo y un amplio desasosiego, si bien las alegrías y la adrelalina segregada con ellas —cuando se logra vencer la desesperación que genera el que las musas continuamente te ignoren— genera adicción y ocultando los sinsabores previos dan impulso a continuar, persiguiendo aprender, conocer y saber un poquito más, aunque ello sólo lleve a adentrarse en el socrático conocimiento y en la paradójica conclusión de no saber nada.
Así pues, aceptado el desafío, era necesario tratar de establecer unos límites iniciales, que podían ser ambiciosos, pero que tenían que ser realistas para "no morir en el intento" y no sucumbir en el camino. En analogía a los pasos dados en el estudio bidimensional procedía inicialmente abordar el modelo uniforme, es decir, áquel en el que se considera que la concha crece gnomónicamente siempre de la misma forma en todas las fases vitales del animal que la genera y, por tanto, ignorando su ontogenia, especialmente en su periodo embrionario—. Alcanzado ese objetivo, ya habría posteriormente tiempo personal o ajeno para adentrarse en el modelo ontogénico—. Y este artículo es la síntesis divulgadora del modelo matemático tridimensional uniforme de la concha del Nautilus que he obtenido. Quedan algunos flecos por hilvanar, o quizás puedan interpretarse como jirones que remendar, pero los hilos están urdidos y la tela ha quedado suficientemente tejida para que pueda mostrarse el paño sobre el que otros patronistas y diseñadores pueden aportar su visión y realización.
En la siguiente presentación se desglosan los diferentes aspectos que he ido progresivamente abordando para lograr el modelo matemático presentado y a continuación procederé a describir resumidamente los pasos dados, las dificultades encontradas y las decisiones tomadas.
Modelo matemático 3D uniforme del Nautilus.
En la literatura relativa al modelado de las conchas hay forzosamente que remontarse a célebres autores como Moseley (1838) y Thompson (1917), casi doscientos años de conocimiento divulgado al respecto, y a los trabajos de hace medio siglo en el contexto de diseño matemático computacional de Raud (1961 y 1966). Este autor nos indica que toda concha puede modelarse en base a cuatro parámetros esenciales: la curva generatriz o sección transversal, la distancia o posición relativa de la curva generatriz respecto al eje de giro, el factor de crecimiento y la traslación en la dirección del eje de giro (sólo para conchas turbinadas, lo cual no acontece en el Nautilus ya que ésta es discoidal).
Consecuentemente, habiendo determinado previamente que el Nautilus tiene un factor de crecimiento ligado a la espiral cordobesa, lo que era necesario fijar era la sección transversal de la concha y su posición especto al eje de giro, quedando ambos parámetros determinados implícitamente si obtenemos la ecuación de la curva que describe ese perfil tomando como eje de referencia dicho eje de giro.
Un primer paso consistió en la adaptación del modelo de Raud para que una vez fijada la ecuación de la curva generatriz de la concha y el factor de crecimiento se generara automáticamente la superficie de la concha. Ello quedó reflejado en la miscelánea "Modelo 3D de las conchas discoidales" (se recomienda consultar las indicaciones ahí incluidas).
Moddelo 3D de las conchas discoidales
Para determinar la ecuación de la curva generatriz del Nautilus consideré la sección del Nautilus aportada por Tanabe et al. (1985), pero una vez que trabajé con ella detecté que la imagen incluida en ese artículo debió de sufrir una edición erroneá en el proceso de publicación y se produjo una alteración en sus proporciones ya que esa imagen no cuadraba ni con los datos biométricos aportados por esos mismos autores, ni con el modelo bidimensional ontogénico (Galo, 2023). Ello forzó a la busqueda de otras secciones que aportaran luz y dieran forma adecuada a la necesitada sección, a la vez que sirvieran de constraste y verificación con el citado modelo 2D. En concreto consideré la sección aportada por esos mismos autores en su artículo Tanabe et al. (1990) y los cortes realizados por Gonzalez-Restrepo (2019) obtenidos a partir de la concha digitalizada del Museo de D'Arcy Thompson. Esta tarea ha quedado condensado en las misceláneas:
Consecuentemente se marcaba como necesario la determinación de un tipo (holotipo) para la sección frontal y eso ha quedado reflejado en la miscelánea "Elección de Tipo para la sección frontal del Nautilus" en la que les aconsejo leer la el documento de instrucciones ya que en él se detalla el estudio realizado y las fuentes consultadas (incluidas también en la bibliografía de este artículo divulgador). El tipo elegido es el reflejado en la siguiente imagen, no obstante por cuestiones meramente personales —por haberlas obtenido González-Restrepo a petición mía y por ser cortes realizados sobre el Nautilus del museo de D'Arcy Thompson— también incluiré en el modelado 3D del Nautilus el citado corte de González-Restrepo (2019).
Tipo del Nautilus. Sección frontal Tanabe (1990).
Fijado el tipo para la sección frontal, se plantea la necesidad de obtener la ecuación paramétrica de la curva que la modela y para ello opté por aproximar la imagen de esta sección por una curva de Bézier. A partir de esa curva, según lo antes indicado, se genera el modelo 3D uniforme asociado. Pueden verse las imágenes siguientes y también interactuar con el recurso "Nautilus, modelado de la sección frontal con una curva de Bézier y modelo 3D uniforme asociado".
Aproximación de la sección frontal del Nautilus con una curva de Bézier
Modelo 3D asociado a la aproximación de la sección frontal mendiante una curva de Bézier (sin callo umbilical)
Con este recurso, también fue fácil obtener respuesta a la pregunta ¿cuál puede plantearse como el modelo teórico de esa sección frontal? La elipse se mostró como una alternativa evidente y en este punto he de reseñar que esta posibilidad ya la calibramos Ángel Cabezudo Bueno, Ildefonso Fernández Trujillo y yo en los trabajos previos a nuestro artículo "Sobre la forma y crecimiento cordobés del Nautilus Pompilius" (2016). En aquel momento no dispusimos de las fuentes científicas de Tanabe et al. que ahora se han usado aquí y no pudimos constatarlo fehacientemente, pero ahora sí. ¡Gracias Ángel! y ¡gracias Ildefonso! La intuición inicial se ha mostrado cierta en la yocto-yotta realidad en la que Ángel y yo habitamos. Para ti, Ildefonso, que ya habitas en el continuo matemático, todo esto es mera obviedad, pero mediante esta simplicidad matemática sentimos próxima tu satisfacción y compañía.
Modelo teórico de la sección frontal del Nautilus
El modelo teórico de la concha ventral surgía de manera natural ligado a la forma elíptica y los salientes dorsales y el callo umbilical se mostraban fieles a ese carácter o impronta. Observad las siguientes imágenes y el recurso interactivo "Nautilus, modelo teórico de la sección frontal, de la sección umbilical y modelo 3D uniforme asociado".
Nota bene: En el primer verticilo puede observarse cierto desajuste entre el modelo teórico y la realidad, pero recordemos que estamos trabajando el modelo uniforme y, en él, obviamos la ontogenia del animal que se manifiesta de manera más evidente justo en ese primer verticilo.
Modelo teórico de la pared ventral y de la dorsal (la pared dorsal es la ventral del verticilo anterior)
Modelo teórico de los salientes dorsales y de la concha sin el callo umbilical
Modelo teórico del callo umbilical y de la concha con el callo
Modelo teórico 3D uniforme sin y con callo umbilical (con perfil ventral elíptico o con arcos elípticos)
En el modelo bidimensional ontogénico (Galo 2023) observamos que el primer septo amplifica el fragmacono embrionario y es el que marca el inicio de la pared ventral. Así pues, el eje que pasa por el punto de inicio de la pared ventral y el polo ventral marca el comienzo del modelo uniforme, en el caso 3D se corresponde con el plano que pasa por esos dos puntos y es perpendicular al plano sagital. Consecuentemente, parte de la cámara septal formada por el primer y segundo septo queda sin modelar y tiene un crecimiento diferenciado (es cuando el primer septo es el que está ampliándose). Para que en el modelo global no quede un vacío irreal he optado por seccionar transversalmente esa parte de la cámara y escalar la sección frontal teórica de la concha ajustándola a cada una de esas secciones (ver imagen siguiente), de esa manera el crecimiento se aborda teniendo siempre el mismo perfil, pero con una escala diferenciada acorde con las secciones que sí se conocen. Es una alternativa personal por la que he optado al no tener información al respecto en las fuentes consultadas y cuya aplicación matemática aporta cierto parecido con el aspecto que puede observarse en fotos de esa concha primigenia. No deja de ser una solución estética de compromiso sobre la que pido sean magnánimos.
No ha mucho que un entrañable colega y amigo —Josep Maria Navarro Canut— me dijo: "¡Lo que está dando de sí el Nautilus!" y ¡es verdad!, ello está aconteciendo así. Aquí, en particular, y en nuestro contexto vital en general, es evidente que es tan corto nuestro conocer y tan amplio nuestra necesidad de saber que cualquier detalle es un nuevo hito sobre el que investigar y aprender. Así pues, ¿hay algo más que modelar matemáticamente en el Nautilus?, ¿qué opinan? Mi respuesta es afirmativa. Yo trato de escuchar al Nautilus y, la realidad, es que no para de susurrar. Otra cuestión es que yo sepa escuchar e interpretar adecuadamente sus indicaciones, si bien les garantizo que empeño no deja de haber nunca en mí. ¿Qué aspectos quedan abiertos aún, por ahora?, lo que surja después llegará y lo trataremos en su momento. Citemos lo siguiente:
En la sección sagital los septos están modelados por espirales cordobesas, ¿pero cuál es la superficie que modela tridimensionalmente a estos? A priori, su modelado se presenta complicado y difícil. Se observa, y parece lógico lo que acontece, que la intersección de los septos con la concha se asemeja al perfil de la abertura, pero ¿cómo es en sí el diseño 3D global de los mismos?
El perfil cócavo-convexo de la boca del Nautilus y los septos (¡un gran problema abierto!)
El modelo tridimensional uniforme al que hemos llegado está reflejado en el siguiente recurso interactivo. A través de los parámetros disponibles puede verse su base constructiva y su representación 3D. En estas indicaciones se hace una descripción del modelo y de cada uno de esos parámetros. ¡Le invitamos a interactuar con él!
Recurso interactivo donde se construye el modelo tridimensional uniforme del Nautilus. Acceso a ventana completa y a las indicaciones.
Finalmente en las siguientes imágenes animadas podemos observar ese modelo matemático de la concha y un detalle del callo umbilical:
El modelo matemático 3D uniforme del Nautilus (Arcos elípticos en la concha y arcos elípticos en el callo umbilical)
Detalle del callo umbilical en el modelo matemático 3D uniforme del Nautilus (Arcos elípticos en el callo umbilical)
Espero que les haya parecido interesante y puesto que quedan tareas abiertas no descarto dirigirme a ustedes con nuevos logros si consiguiera alcanzarlos.
¡Hasta pronto! y ¡qué tengan un productivo y feliz año 2024!
Galo J.R., Cabezudo A. y Fernández I.(2016) .Sobre la forma y crecimiento cordobés del Nautilus Pompilius. Epsilon, 2016, Vol. 33 (3), nº 94.
Galo J.R. (2023). Modelo ontogénico matemático del Nautilus. Blog de la Red Educativa Digital Descartes.
González-Restrepo, F. (2019). Cortes del Nautilus a partir de la digitalización 3D del museo Dundee. Red Descartes Colombia.
Hayasaka, Shozo, Tanabe, Kazushige et al. (1982). Field study on the habitat of Nautilus in the environs of Cebu and Negros Islands, the Philippines. Mem. Kagoshima Univ. Res. Center S. Pac., Vol. 3, No. 1. 1982 p. 67-137.
Moseley Henry, (1838). On the geometrical forms of turbinated and discoid shellsPhilPhil. Trans. R. Soc.128: 351–370.
Raup, D. M. (1961). The Geometry of Coiling in Gastropods. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 47(4), 602–609.
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Thompson, D’A. W., (1917). On growth and Form. Cam. Univ. Press
Realizado en el año 2023, vigésimo quinto aniversario del Proyecto Descartes
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Finalizado el año 2023 en el que hemos celebrado el vigésimo quinto aniversario del Proyecto Descartes y el décimo de la "Red Educativa Digital Descartes" y siguiendo la costumbre de años anteriores compartimos con vosotros la estadísticas de uso que genera automáticamente nuestro servidor.
En esta ocasión tenemos algo más difícil el poder obtener unas conclusiones globales y abordar una comparativa interanual pues, para mejorar las prestaciones en marzo de 2023, hicimos un cambio de servidor y ese cambio vino aparejado con un cambio de herramienta estadística. Pasamos de usar Webalizer a AWStats y ello introdujo una diferencia significativa dado que esta última herramienta distingue el trafico visto por los usuarios del tráfico "no visto", es decir, el ocasionado por los robots. Consecuentemente, en esta ocasión, optamos por que cada interesado aborde su propio análisis a partir de los datos compartidos. No obstante, siempre tenemos una positiva conclusión:
¡Hay muchos usuarios que acuden a nuestro servidor con ganas de aprender y les agradecemos que nos elijan para ello!
En la siguiente tabla podemos distinguir dos bloques o secciones. La primera se corresponde con el resumen estadístico mensual aportado por Webalizer desde enero a mediados de marzo y la segunda recoge el resumen aportado por AWStats desde mediados de marzo hasta final de año. Sobre el nombre de cada mes hay un hiperenlace que permite consultar el detalle del mismo. Sólo destacaremos como dato representativo que el número medio de páginas mensuales servidas se ubica en torno a un millón cien mil, es decir, unas treinta y siete mil diarias.
Continuaremos con igual ahinco tratando de satisfacer vuestras necesidades y confiando en que sigáis accediendo a nuestro/vuestro servidor. Nos tenéis atentos a cualquier comentario, observación y/o petición que estiméis oportuna realizar. Recibiremos con alegría vuestras aportaciones bien en nuestro correo Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo. o bien a través de los comentarios que podéis realizar en este servidor de contenidos.
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Nuestra publicación periódica: "Revista Digital de la RED Descartes" —panhispánica, educativa e interactiva— llega a su sexto número en la tercera anualidad desde su inicio. En la portada seguimos recordando nuestra especial celebración de este año, nuestro vigésimo quinto aniversario como proyecto educativo y la análoga celebración del nacimiento de la herramienta de autor que dio soporte a la creación de este proyecto, herramienta que ha ido superando las vicisitudes informáticas acaecidas en tan largo periodo y mejorando sus funcionalidades y posibilidades.
En el editorial de este número se resumen los contenidos de los artículos que se incluyen y aquí pasamos a describirlos para que esta breve síntesis sirva de motivación para su lectura, pues los temas tratados consideramos que son variados, actuales y tenemos seguridad de que alguno o algunos serán de interés para usted, navegante lector que ha llegado a esta página divulgadora.
Confiamos en que este sexto número satisfaga el interés de múltiples lectores y resulte atractivo y variado. Se puede acceder a él sin más que clicar con el ratón o pulsar con el dedo sobre la siguiente imagen:
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En torno a un tercio de los juegos didácticos de Proyecto AJDA están basados en juegos de concursos de televisión. En AJDA se han realizado y se siguen realizando juegos inspirando en estos programas de distintas épocas televisivas, algunos se han mantenido más y otros menos tiempo en emisión y con diferente éxito de audiencia. Comentaremos algunas cuestiones al respecto.
Los primeros juegos que se publicaron en AJDA estaban basados en los siguientes concursos: ¿Quién quiere ser millonario?, Pasapalabra, Saber y Ganar, El precio justo, Password, etc. Algunos concursos han ido evolucionando en el tiempo y en AJDA también se ha seguido esta evolución, como por ejemplo en: Ahora Caigo, Boom, Password, Pasapalabra, Saber y Ganar, etc.
Al adaptar estos juegos se han intentado compatibilizar los siguientes aspectos:
El empleo de este tipo de juegos presenta, entre otras, las siguientes ventajas que presentamos en forma de decálogo:
En el año 2023 se acaba de realizar una remodelanción profunda del Proyecto AJDA en muchos de sus aspectos: juegos didácticos, cursos de formación, generador de ficheros, relación de vídeos, imagen corporativa, etc. Echando un vistazo atrás, he encontrado un artículo que publiqué en la revista Mundo Educativo en abril de 2009, titulado "JUEGOS EDUCATIVOS. FyQ MILLONARIO 10x10".
En este artículo se hablaba de un "nuevo" juego, llamado FyQ 10x10, basado en el popular concurso de la TV, ¿Quién quiere ser millonario?. Dicho juego fué realizado en en el año 2006 en formato Flash y 2007 en formato Descartes y fue el primero de los juegos realizados.
Los avances tecnológicos y los recursos educativos abiertos han hecho posible que los profesionales de la enseñanza en el s. XXI puedan, con relativa facilidad, diseñar, crear, modificar, adaptar y compartir sus propios libros interactivos, con el contenido personalizado para las necesidades de su alumnado y la incorporación de las actividades validadas en el aula con las estrategias didácticas de su predilección.Y todo ello es factible con el modelo de libro interactivo de RED Descartes, cuya biblioteca supera ya los cien volúmenes, siendo de extrema importancia la formación del profesorado. Así, en ese sentido, ha comenzado la V Edición del curso para el "Diseño de Libros Interactivos", que se enmarca en el programa de Educación Abierta de nuestra red, con una alta inscripción que engloba a participantes procedentes de once países, 11, con docentes y profesionales de la educación que comprenden las etapas educativas de primaria, secundaria, bachillerato y universidad, así como una amplia gama de especialidades, alcanzando, por vez primera, el continente asiático.
Compartimos el siguiente diagrama de sectores con el porcentaje de participación por países:
Las sesiones se imparten por videoconferencia, de 7 AM a 8 AM en el horario oficial de Colombia, de acuerdo al calendario previsto y contenidos a tratar, usando para ello la herramienta Meet de Google, para lo cuál, cada participante recibe, tanto en su calendario de Google como en el grupo de WhatsApp del curso, el enlace de acceso a la reunión, que será grabada para, posteriormente, compartirla por la herramienta de intercomunicación mencionada, el grupo de Google y en la página que enlazamos del portal de RED Descartes, en la que se recopilan todas las sesiones.
Ponemos a disposición de todas las personas interesadas la presentación de la primera sesión con las instrucciones y herramientas iniciales: