Ecuaciones Diferenciales

Jaime Humberto Ramírez Ríos
Institución Universitaria Pascual Bravo

Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2022

Título de la obra:
Ecuaciones Diferenciales

Autor:
Jaime Humberto Ramírez Ríos

Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-18834-32-5

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

Tabla de contenido

Prefacio

El libro interactivo de “Ecuaciones diferenciales” se pensó para que el estudiante tenga una herramienta práctica en el estudio de las ecuaciones sin perder el rigor que ésta conlleva, el libro contiene teoría, ejemplos resueltos paso a paso y ejercicios propuestos con su respectiva respuesta, pero también, tiene escenas interactivas donde el lector puede cambiar los enunciados y visualizar las diferentes gráficas e interactuar con ellas, también cuenta con escenas para que el estudiante repase conceptos de asignaturas previas como matemáticas operativas, cálculo diferencial, cálculo integral y álgebra lineal. Recuerde que para tener un buen desempeño en esta asignatura se debe manejar muy bien los conceptos previos adquiridos en las asignaturas mencionadas anteriormente.

El texto incluye 40 escenas interactivas, diseñadas en DescartesJS y GeoGebra, para que los estudiantes y el lector puedan tener un acercamiento más práctico con las ecuaciones, también se incluyen 26 vídeos de YouTube creados por el mismo autor del libro para facilitar el desarrollo y mejor entendimiento de los diferentes contenidos.

El libro tiene cinco capítulos, introducción a las ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones diferenciales de orden superior, transformada de Laplace y series de Fourier. Con esto se puede comenzar aprendiendo a clasificar las ecuaciones para luego resolverlas de acuerdo a las características de cada una de ellas.

Para evitar, al máximo, la dependencia con la conectividad en la red, las expresiones matemáticas se han construido recurriendo al API de $\KaTeX$.

1.1 Ecuaciones Diferenciales y modelos matemáticos

Las diferentes leyes que rigen el universo están descritas en lenguaje matemático. Cuando se deben describir fenómenos estáticos, el álgebra es suficiente para resolverlos, pero la mayoría de dichos fenómenos naturales involucran cambios que dependen del tiempo, es decir, implican una razón de cambio. Cuando un proceso describe el comportamiento de algunos fenómenos de la vida real en términos matemáticos recibe el nombre de modelo matemático y se utiliza para comprender las variables que lo conforman

Luego de plantear un modelo, es necesario resolverlo y confrontar la solución para saber si es razonable con los datos experimentales o con los hechos conocidos. Las hipótesis que se plantean implican una razón de cambio de una o más variables independientes con respecto a una o más variables dependientes, dicho modelo matemático implica una ecuación diferencial (ED)

Las ED tienen una importancia fundamental en las matemáticas debido a que son aplicables a casi todas las ramas del saber, como: geometría, física, química y biología. Éstas permiten identificar y aplicar técnicas y conceptos matemáticos que admiten obtener e interpretar la solución de una situación problema en la que intervienen relaciones entre tasas o razones de cambio de variables definidas en diversos contextos.

Algunas aplicaciones son: movimiento rectilíneo y caída libre, deformación de resortes y vigas, mezclas de soluciones salinas, circuitos en serie, desintegración radiactiva, fechado de fósiles con carbono $14$, crecimiento y decrecimiento poblacional, propagación de virus y enfermedades, cambio en las temperaturas y reacciones químicas entre otros.

1.2 Definición de ecuación Diferencial

Hay dos formas de expresar ecuaciones diferenciales, las dos se van a utilizar en este libro.

a) $\dfrac {dy}{dx}+4y=1$

b) $y'''-5y''+4y=0$

NOTACIÓN:

Notación de Leibniz: Utiliza los símbolos $dy \wedge dx$ para representar incrementos infinitamente pequeños. Se representa como sigue:

$\dfrac {dy}{dx},\;\dfrac{d^{\; 2}y}{dx^2},\;\dfrac {d^{\; 3}y}{dx^3}\ldots\;\dfrac{d^{\; n}y}{dx^n}$

Notación de Primas: La notación prima se usa para denotar el número de la derivada siendo esta usada hasta tres prima ${(''')}$, de ahí en adelante se utiliza notación numérica: la cuarta derivada se denota $y^{(4)}$. La n-ésima derivada se escribe como $y^{(n)}$. Se representa como sigue:

$y',\;y''\;y'''\;y^{(4)}\ldots\;y^{(n)}$

la notación de Leibniz llamada así en honor del filósofo y matemático alemán del siglo XVII Gottfried Wilhelm Leibniz, utiliza los símbolos $dx$ y $dy$ para representar incrementos infinitamente pequeños de $x\;\;\wedge\;\;y$ respectivamente, al igual que $\Delta x \;\;\wedge\;\; \Delta y$ representan incrementos finitos $x\;\;\wedge\;\;y$.

Leibniz comenzó a usar el carácter $\int$ basándose en el carácter de la palabra latina summa, que escribió como una "s" alargada. Este uso apareció por primera vez públicamente en su artículo "De Geometría", publicado en Acta Eruditorum de junio de 1686

La prima es un signo gráfico que se usa en matemáticas, artes, ciencias y unidades de medida. En trigonometría, la prima sencilla indica la precisión de minutos y la doble los segundos al referirse a medidas angulares, cuando se aplica la nomenclatura sexagesimal. Por ejemplo: $12^{0}18^{'}5^{''}$ denota $12$ grados, $18$ minutos y $5$ segundos.

En el caso de las funciones matemáticas la prima sencilla indica la primera derivada de la función, la doble prima indica consecuentemente la segunda derivada y así sucesivamente, de doble prima en adelante son derivadas de orden superior.

En este libro vamos a utilizar las dos notaciones, pero es importante resaltar que aunque la notación de primas es más práctica y rápida de escribir, la notación de Leibniz tiene una ventaja sobre la notación de primas y es que muestra claramente ambas variables, la dependiente y la independiente.

1.3 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Se clasifican de acuerdo a tres propiedades.

1.3.1 Según el tipo:

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): es la ecuación que contiene derivadas respecto a una sola variable independiente. (Son las que se estudiarán en este libro).

$\dfrac {dy}{dx}+y=senx$

$y'''+5y'-3y=0$

"${\color{red}x}$" Variable independiente.

"${\color{red}y}$" Variable dependiente

Ecuación Diferencial Parcial (EDP): es la que contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes.

$\dfrac {\partial u}{\partial y}=\dfrac {\partial v}{\partial x}$

"${\color{red}x}$" $\wedge$ "${\color{red}y}$" Variables independientes.

"${\color{red}u}$" $\wedge$ "${\color{red}v}$" Variables dependientes

Nota:$\;\;$Como todas las ecuaciones diferenciales que vamos a trabajar en este libro son ordinarias las vamos a llamar ED

1.3.2 Según el orden:

El orden de una ED es el de la derivada de mayor orden que hay en la ecuación.

$\dfrac {d^{\;2}y}{dx^2}\;+\;5y\;=\;senx$                  ED de segundo orden

$y'''+5y''-3y'+y=0$          ED de tercer orden

$\dfrac {d^{\;4}y}{dx^4}\;+\dfrac {d^{\;2}y}{dx^2}\;+y\;=e^x$           ED de cuarto orden

$y'+2y=tanx$                               ED de primer orden

1.3.3 Según la linealidad:

Se dice que una ED de n-ésimo orden es lineal si F es lineal en la variable dependiente, esto significa que una ED es lineal si tiene la forma

$a_{n}{(x)}\dfrac {d^{\; n}y}{dx^{n}}+ a_{n-1}{(x)}\dfrac {d^{\; n-1}y}{dx^{n-1}}+\ldots+a_{1}{(x)}\dfrac {dy}{dx}+ a_{0}{(x)}y=g{(x)}$

Las características especiales son:

   - la variable dependiente ∧ todas sus derivadas son de primer grado.

   - Los coeficientes de $a_{n}, a_{n-1}, ... , a_{1}, a_{0}$ $\wedge$ las funciones dependen a los más de la variable independiente.

$xy''-4y'=x^2$          ED lineal de segundo orden

La ecuación es lineal porque la variable que tiene exponente es la variable independiente.

$x^3y'''+xy'-y=\ln \left| {\color{red}y}\right|$          ED no lineal de tercer orden

La ecuación no es lineal porque la función logaritmo depende de la variable dependiente

$\dfrac {d^{\; 4}y}{dx^4}\;+17\left( \dfrac {d^{\; 2}y}{dx^2}\right) ^{\color{red}2}+16y=0$           ED no lineal de cuarto orden

La ecuación no es lineal porque la segunda derivada está elevada a un exponente

$y'=y-y^{\color{red}2}$           ED no lineal de primer orden

La ecuación no es lineal porque la variable dependiente está elevada a un exponente

En general es más fácil identificar cuándo una ED es no lineal, que cuándo es lineal.

Practiquemos

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Plantillas con descartes_JS, debes arrastrar la flecha desde la ED lado izquierdo hasta el texto del lado derecho para identificar el orden y la linealidad de cada ecuación diferencial. Es importante aprender a identificar las ED según el orden y la linealidad, para aplicar el método adecuado de solución que veremos más adelante.

1.4 Solución de una ecuación Diferencial

Intervalo de definición: La solución de una ecuación diferencial debe estar definida en un intervalo. Dicho intervalo se conoce como intervalo de definición, intervalo de existencia o dominio de la solución.

1.4.1 Tipos de soluciones

Solución trivial: Es la solución de una ED que es idéntica a cero en un intervalo $I$

$y=0$

Puede ocurrir que una ecuación de orden superior tenga una o varias soluciones triviales, lo que no puede ocurrir es que todas las soluciones sean triviales

Solución explícita: Es la solución en la que la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente $\wedge$ las constantes.

La función $y=4+\dfrac{1}{2}e^{-5x}$ es solución explícita de la ED

$\dfrac {dy}{dx}+5y=20$

En el ejemplo $(1)$ de la página 21 se verificará que         $y=4+\dfrac{1}{2}e^{-5x}$ es solución de la ED $\dfrac {dy}{dx}+5y=20$

Solución implícita: Se dice que una función $G(x,y)=0$ es una solución implícita de una ED en un intervalo $I$, suponiendo que existe al menos una función $f$ que satisface la relación así como la ED en $I$

La función $x^2+y^2=4$   es solución implícita de la ED $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {x}{y}$ en el intervalo $-2 < x < 2$

Ejemplo 1. Verificación de una solución

Verifique que la función $y=4+ce^{-5x}$ es una solución de la ED $\dfrac {dy}{dx}+5y=20$

Solución

Como la ecuación es de primer orden, se debe derivar una vez la función.

$\dfrac {dy}{dx}=-5ce^{-5x}$

Reemplazando la función $\wedge$ la derivada en la ED se tiene

$-5ce^{-5x}+5(4 + c e^{-5x}) = 20$

Aplicando propiedad distributiva

$-5ce^{-5x} + 20 + 5c e^{-5x} = 20$

Agrupando términos semejantes queda $20=20$

Al demostrar que el lado derecho de la ecuación es igual al lado izquierdo, se verifica que la función

Ejemplo 2. Verificación de una solución

Verifique que la función $y=xe^{-3x}$ es una solución de la ED                $y''+6y'+9y=0$

Solución

Como la ecuación es de segundo orden, se debe derivar dos veces la función, tenga en cuenta que se debe derivar como un producto.

$y=xe^{-3x}$

$y'=-3xe^{-3x}+e^{-3x}$

$y''=9xe^{-3x}-3e^{-3x}-3e^{-3x}$

Agrupando términos semejantes

$y''=9xe^{-3x}-6e^{-3x}$

Ahora reemplazamos la función y las dos derivadas en la ED

$9xe^{-3x}-6e^{-3x}{\color{red}+6}(-3xe^{-3x}+e^{-3x}){\color{red}+9}(xe^{-3x})=0$

Aplicando propiedad distributiva

$9xe^{-3x}-6e^{-3x}-18xe^{-3x}+6e^{-3x}+9xe^{-3x}=0$

Agrupando términos semejantes

$0=0$

Al demostrar que el lado derecho de la ecuación es igual al lado izquierdo, se verifica que la función

Ejemplo 3. Comprobación de una solución

Verificar si la función $y=xsen(\ln \left| x\right|)$   es solución explícita de la ED     $x^2y''+xy'+2y=0$

Solución

Como la ecuación es de segundo orden, se debe derivar dos veces la función, tenga en cuenta que se debe derivar como un producto.

$y=xsen(\ln \left| x\right|)$

$y'=xcos(\ln \left| x\right|)\dfrac{1}{x}+sen(\ln \left| x\right|)(1)$

$y'=cos(\ln \left| x\right|)+sen(\ln \left| x\right|)$

$y''=-sen(\ln \left| x\right|)\dfrac{1}{x}+cos(\ln \left| x\right|)\dfrac{1}{x}$

Ahora se reemplaza la función y sus derivadas en la ED de segundo orden.

${\color{red}x^2}(-sen(\ln \left| x\right|)\dfrac{1}{x}+cos(\ln \left| x\right|)\dfrac{1}{x}){\color{red}+x}(cos(\ln \left| x\right|)+sen(\ln \left| x\right|)){\color{red}+2}(xsen(\ln \left| x\right|))=0$

Propiedad distributiva

$-xsen(\ln \left| x\right|)+xcos(\ln \left| x\right|)+xcos(\ln \left| x\right|)+xsen(\ln \left| x\right|)+2xsen(\ln \left| x\right|)=0$

Agrupando términos semejantes se obtiene

$2xcos(\ln \left| x\right|)+2xsen(\ln \left| x\right|)=0$

Como no se cumple la identidad, se puede afirmar que

Ejemplo 4. Comprobación de una solución implícita.

Demuestre que la relación $x^2+y^2=4$   es solución implícita de la ED     $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {x}{y}$ en el intervalo $(-2, 2)$

Solución

Se deriva dos veces la función

$2x + 2y \dfrac {dy}{dx}=0$       despejando se obtiene $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {x}{y}$

Además, resolviendo $x^2+y^2=4$ para $y$ en términos de $x$ se obtiene.

$y=\pm\sqrt{4-x^2}$

las dos funciones $y=\sqrt{4-x^2}$     $\wedge$     $y=-\sqrt{4-x^2}$ satisfacen la relación $x^2+y^2=4$ $\wedge$ son las soluciones explícitas definidas en el intervalo $(-2, 2)$

Ejemplo 5. Comprobación de una solución implícita.

Demuestre que la función $x^2y-tanx+y^2=0$ es

solución implícita de la ED $(2xy-sec^2x)dx+(x^2+2y)dy=0$

Solución

Primero debemos organizar la ED, dividiéndola toda por $dx$

$(2xy-sec^2x)+(x^2+2y)\dfrac{dy}{dx}=0$

Ahora despejamos el $\dfrac{dy}{dx}$ obtenemos

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac {sec^2x-2xy}{x^2+2y}$

Ahora vamos a derivar la función $x^2y-tanx+y^2=0$ aplicando derivación implícita.

$x^2\dfrac{dy}{dx}+2xy-sec^2x+2y\dfrac {dy}{dx}=0$

Agrupando los términos con $\dfrac{dy}{dx}$ al lado izquierdo y los otros términos al lado derecho, obtenemos

$x^2\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac {dy}{dx}=-2xy+sec^2x$

Sacando factor común $\dfrac{dy}{dx}$

$\dfrac{dy}{dx}(x^2+2y)=-2xy+sec^2x$

Despejando $\dfrac{dy}{dx}$ obtenemos

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac {sec^2x-2xy}{x^2+2y}$

1.4.2 Familias de soluciones

Familias de soluciones: una ED puede tener una cantidad $\alpha$ de soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas de parámetros. Todas estas familias se llaman familias paramétricas de soluciones. El parámetro está directamente relacionado con el orden de la ED.

Si la ED es de primer orden, la solución es uniparamétrica. Hay un parámetro $c$ que puede tomar diferentes valores.

Si la ED es de segundo orden, la solución es biparamétrica. Hay dos parámetros $c_{1}$ $\wedge$ $c_{2}$ que pueden tomar diferentes valores.

Si la ED es de tercer orden, la solución es triparamétrica. Hay tres parámetros $c_{1}$, $c_{2}$ $\wedge$ $c_{3}$ que pueden tomar diferentes valores.

Si la ED es de orden $n$, la solución es n-paramétrica. Hay $n$ parámetros $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$ $\ldots$, $c_{n}$ que pueden tomar diferentes valores.

Solución general: Es la función que satisface a la ED ∧ que contiene una o más constantes arbitrarias dependiendo del orden de la ecuación diferencial y que fueron obtenidas de las sucesivas integraciones.

La función $y=c_1xcos(\ln \left| x\right|)+c_2xsen(\ln \left| x\right|)$

Es una solución general de la ED

$x^2y''-xy'+2y=0$

La función $y=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}$

Es una solución general de la ED

$y''-4y'+4y=0$

Solución particular: Es la función que satisface a la ED $\wedge$ cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

La función $y=\dfrac{2}{5}xcos(\ln \left| x\right|)-\dfrac{1}{3}xsen(\ln \left| x\right|)$

Es una solución particular de la ED

$x^2y''-xy'+2y=0$

La función $y=\dfrac{3}{5}e^{2x}-\dfrac{1}{2}xe^{2x}$

Es una solución particular de la ED

$y''-4y'+4y=0$

En el siguiente video, realizado por Jaime H. Ramírez Rios, podrás observar un ejemplo de comprobación de una solución explícita.

En el siguiente video, realizado por Jaime H. Ramírez Rios, podrás observar un ejemplo de comprobación de una solución explícita.

1.4.3 Curva solución

Curva solución: La gráfica de la solución de una ED se llama curva solución. Puesto que la función es derivable y continua en el intervalo de definición $I$. Es probable que la gráfica de la ED sea diferente a la gráfica de la solución, por lo cual el dominio de cada una no necesariamente debe ser igual.

Geométricamente, la solución general representa una familia de curvas. La solución general es una familia de gráficas que van cambiando dependiendo del valor del parámetro $c$, la solución particular es una de las curvas de la familia.

Geométricamente se puede hallar la solución de una ED $y'=f(x,y)$ dada. En cada punto $(x,y)$ del plano $xy$, el valor de $f(x,y)$ determina una pendiente $m=f(x,y)$, esto significa que la solución de una ED es simplemente una función derivable cuya gráfica         $y = y(x)$ tiene su “pendiente correcta” en cada punto $(x, y(x))$.

Una curva solución de la ED $y'=f(x,y)$ es claramente una curva en el plano $xy$ cuya línea tangente en cada punto $(x,y)$ tiene pendiente $m=f(x,y)$

En la siguiente escena interactiva podrás interactuar con la solución   $y=\ln \left| t^{2}+1\right| +c$   de la ecuación diferencial     $\dfrac {dy}{dt}=\dfrac {2t}{t^{2}+1}$.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Jorge L. Herrera, podrás ver cómo cambia la gráfica de una ED al cambiar el valor del parámetro $c$.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Adrián Rocha Ichante, podrás ver cómo cambia la gráfica de la ED al cambiar el valor del parámetro $c$. La solución es una familia de soluciones.

1.5 Problemas de valor inicial

A menudo es interesante resolver una ecuación diferencial de primer orden de la forma $\dfrac {dy}{dx}=f(x,y)$, sujeta a la condición inicial $y(x_{0})= y_{0}$

Ejemplo 1. PVI de primer orden

$y = ce^x$   es una familia uniparamétrica de soluciones de la ED de primer orden $y'=y$ en el intervalo $( -\infty ,\infty)$. Determine una solución del problema de valor inicial PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial $\wedge$ la condición inícial $y(0)=5$

Solución

Ejemplo 2. PVI de segundo orden

$y = c_1e^{-x}+c_2e^{2x}$   es una familia biparamétrica de soluciones de la ED de segundo orden $y''-y'-2y=0$

Determinar $c_{1}$ $\wedge$ $c_{2}$ de modo que se cumplan las condiciones iníciales $y(0)=2$ $\wedge$ $y'(0)=-3$

Solución

$y = c_1e^{-x}+c_2e^{2x}$ es la solución general de la ED $y''-y'-2y=0$

Para hallar los valores de $c_{1}$ $\wedge$ $c_{2}$ y expresar la solución particular se debe reemplazar la condición $y(0)=2$ en la solución de la siguiente forma:

$2 = c_1e^{0}+c_2e^{0}$. Recuerde que ${\color{blue}e^0=1}$, entonces queda una ecuación con dos incógnitas $2=c_1+c_2$     y la llamamos ecuación $(1)$

Para resolver esta ecuación se necesita tener otra ecuación con dos incógnitas, entonces se deriva la solución y se reemplaza la condición $y'(0)=-3$ de la siguiente forma:

Derivando la solución obtenemos $y' =- c_1e^{-x}+2c_2e^{2x}$

Reemplazando la condición inicial $-3 =- c_1e^{0}+2c_2e^{0}$ se llega a la ecuación $-3 =- c_1+2c_2$     y la llamamos ecuación $(2)$

Con las ecuaciones $(1)$ $\wedge$ $(2)$ se puede formar un sistema de ecuaciones

$\begin{cases}c_{1}+c_{2}=2\\ -c_{1}+2c_{2}=-3\end{cases}$

Este sistema se puede resolver por igualación, sustitución o eliminación.

Teniendo en cuenta las dos ecuaciones resultantes, lo vamos a resolver por eliminación

$\hspace{0.6cm}{\color{Red}\bcancel {{\color{Olive}c_1}}}{+\;\; c_{2}=2}$

$\underline{\hspace{0.3cm}{\color{Red}\bcancel {{\color{Olive}-c_{1}}}}+2c_{2}=-3}$

$\hspace{1.3cm} 3c_2=-1$

Obtenemos $c_2=-\dfrac{1}{3}$

Reemplazando en la ecuación $2 = c_1+c_2$ llegamos a

$2 = c_1-\dfrac{1}{3}$

Despejando $c_1$ se obtiene

$c_1=\dfrac{7}{3}$

Entonces la solución particular es

Ejemplo 3. Intervalo de definición de una solución

$y = \dfrac{1}{x^{2}+c}$   es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial de Primer orden $y'+2xy^2=0$. Determine una solución del PVI $y(1)=4$ de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iníciales dadas. Dé el intervalo en el cual está definida la solución.

Solución

$y = \dfrac{1}{x^{2}+c}$ es la solución general de la ED $y'+2xy^2=0$

Para hallar el valor de $c$ se debe reemplazar la condición $y(1)=4$ en la solución de la siguiente forma:

$4 = \dfrac{1}{1^{2}+c}$. Despejando obtenemos. $4+4c=1$

Despejando el parámetro $c$ obtenemos $c = -\dfrac{3}{4}$

La solución particular es $y = \dfrac{1}{x^{2}-\dfrac{3}{4}}$ el dominio es $\mathbb{R} -\left\{ \pm \dfrac {\sqrt {3}}{2}\right\}$

El intervalo de definición está dado por.

$\left( -\infty\dfrac {-\sqrt {3}}{12}\right) U\left( \dfrac {-\sqrt {3}}{2},\dfrac {\sqrt {3}}{2}\right) \cup \left( \dfrac {\sqrt {3}}{2},\infty \right)$

1.5.1 Campos direccionales

A partir del capítulo 2 se hará un análisis de los diferentes métodos para resolver ED, para lo cual, es necesario identificar primero el tipo de ecuación para saber cuál o cuáles métodos aplicar, pero antes de proceder a dicho análisis, nos detendremos en la interpretación geométrica de las ED y sus soluciones.

Desde el punto de vista geométrico hay un método para obtener soluciones aproximadas de la ED $y'=f(x,)$ a través de cada grupo representativo de puntos $(x,y)$ en el plano se obtiene un segmento lineal con pendiente $m=f(x,y)$, todos los segmentos lineales constituyen un campo de pendientes o un campo direccional

La terna $(x, y, y')$ determina la dirección de una recta que pasa por el punto $(x, y)$. El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del campo direccional

Una Isóclina es el conjunto de los puntos del plano en donde las rectas tangentes a las gráficas de las soluciones de la ecuación diferencial tienen la misma pendiente. Estos puntos son aquellos que satisfacen $y'=f(x,y)=c$

En las siguientes tres escenas interactivas podres ver el comportamiento de los campos direccionales y las Isóclinas de diferentes ED.

En la primera escena interactiva podras ver el comportamiento del campo de direcciones de una ED de primer orden $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ y la gráfica solución para diferentes valores del parámetro (radio de circunferencia).

En la segunda escena interactiva podras ver el comportamiento del campo de direcciones, densidad y longitud de una ED de primer orden $\dfrac{dy}{dx}=x$, pero puedes cambiar la ED ingresando otra función diferente, además, puedes visualizar soluciones particulares para diferentes valores del parámetro.

En la tercera escena interactiva podrás interactuar con las Isóclinas que están formadas por la solución de la ED

$y'= x + y -1$.

Al mover el deslizador, podrás ver las pendientes de las rectas tangentes de acuerdo con la recta

$k = x + y + 1$.

Las flechas indican cómo va cambiando el campo de direcciones de la ED

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Jorge Olivares Funes, podrás ver el campo direccional de una ED y cómo cambia el radio de la circunferencia.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por     Soed Torres, podrás ver el campo direccional de una ED.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Diego Sandoval, podrás ver las Isóclinas de una ED y cómo cambian a medida que se cambia el valor del parámetro.

1.5.2 Existencia y unicidad

Cuando se considera un problema de valor inicial (PVI) se deben considerar dos preguntas:

¿Existe la solución del problema? Si la respuesta es afirmativa se debe preguntar ¿La solución es única?

Dada una ED $\dfrac{dy}{dx}= f(x,y)$

Donde $f(x,y)$ está definida en una región rectangular $R$ que contiene al punto $(x_{0},y_{0})$

Si $f(x,y)$ satisface las condiciones:

       1.     $f(x,y)$ es continua en R,

       2.     $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ es continua en $R$

Entonces existe un intervalo $I$ con centro en $x_{0}$ $\wedge$ existe una y sólo una función $y = g(x)$ definida en el intervalo $I$ que satisface la condición inicial $y(x_{0})= y_{0}$

En otras palabras, las condiciones para la existencia de la solución son:

       • Continuidad de $f(x,y)$ en R,

       • Acotamiento de $f(x,y)$ por R,

Y las condiciones para la unicidad son:

       • Continuidad de $f(x,y)$ $\; \wedge \;$ $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ en $R$,

       • Acotamiento de $f(x,y)$ $\; \wedge \;$ $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ por $R$,

Estas condiciones son suficientes pero no necesarias, porque puede existir una solución que satisface $y(x_{0})= y_{0}$, pero que no cumple la condición 1, o la condición 2, o ninguna de las dos.

A continuación vamos a ver un ejemplo y luego a definir la existencia y unicidad de soluciones.

Ejemplo 1. Existencia y unicidad

Cada una de las funciones $y=0 \; \wedge \; y=x^2$ satisface la ED         $\dfrac{dy}{dx}=2\sqrt {y}$    $\wedge$    la condición inicial $y(0)=0$

Solución

El PVI $\dfrac{dy}{dx}=2\sqrt {y}$,     $y(0)=0$ tiene al menos dos soluciones. como se muestra en la figura $1$.

El estudiante puede verificar que las dos funciones son solución de la ED, además, las gráficas de las dos soluciones pasan por el mismo punto $(0,0)$

Gráfica 1 Dos soluciones del mismo PVI.

Ejemplo 2. Existencia y unicidad

Verificar si la función $y=-\dfrac{x}{1+cx}$ cumple la CI. $\; \;$ $y(0)=1$

Solución

Reemplazando las condiciones iniciales $y=1$ cuando $x=0$ en la función, obtenemos

$1=-\dfrac{0}{1+c(0)}$ nos queda la ecuación $1=0$ lo cual es un absurdo.

Esto quiere decir que es imposible que dicha solución cumpla las condiciones iniciales

Ejemplo 3. Existencia y unicidad

Demuestre que la ED $\dfrac{dy}{dx}+y=0$ tiene solución única para la CI. $\; \;$ $y(1)=3$

Solución

Vamos a demostrar que la ED tiene solución única sin resolverla, para esto debemos despejar la ED.

$\dfrac{dy}{dx}=-y$

La función $f(x,y)=-y$ es un polinomio, por lo cual es continua en todo el plano $\mathbb{R} ^{2}$

Ahora se deriva parcialmente la función respecto a $y$

$\dfrac {\partial f}{\partial y}=-1$

Es una función constante, por lo cual es continua en todo el plano $\mathbb{R} ^{2}$

Ambas funciones son continuas en cualquier rectángulo que contenga el punto $(1,3)$, como se cumplen las condiciones 1 $\wedge$ 2 en un intervalo con centro en $x_0$ entonces el PVI tiene solución única

Ejemplo 4. Existencia y unicidad

Determine una región del plano $xy$ para el que la ED $\dfrac{dy}{dx}=\sqrt {xy}$ tiene solución única, cuyas gráficas pasen por un punto $(x_0,y_0)$ en la región

Solución

$f(x,y)=\sqrt {xy}$

Una raíz par no puede ser negativa, pero como está en el numerador puede ser $0$

La función es continúa para $x\geq 0\wedge y\geq 0$ o para $x\leq 0 \wedge y\leq 0$

Ahora se deriva parcialmente la función respecto a $y$

$\dfrac {\partial f}{\partial y}=\dfrac {x^{\frac {1}{2}}}{y^{\frac {1}{2}}}$= $\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {x}{y}}$

Una raíz par no puede ser negativa, pero como $y$ está en el denominador no puede ser $0$

La función es continúa para $x>0 \; \wedge \; y>0$ o para $x$ < $0\wedge y$ < $0$

La función es continúa en la intercepción de los dos rectángulos es decir para $x>0 \wedge y>0$ o para $x$ < $0\wedge y$ < $0$

1.6 Repasando trigonometría y derivadas

Como acabas de ver en los contenidos vistos hasta ahora es muy importante que manejes bien los conceptos de trigonometría básica y de derivadas, por eso vamos a repasar un poco dichos contenidos, si ya los manejas bien, pasa directamente a la página 53 para practicar lo visto hasta el momento.

A continuación encontrarás una tabla con las identidades trigonométricas básicas y pitagóricas para que uses al resolver ejercicios que contengan funciones trigonométricas.

Tabla 1. Identidades trigonométricas

Ahora vamos a repasar derivadas. Recuerda que una derivada se puede resolver utilizando el concepto de límite, pero como ya viste la asignatura cálculo diferencial y aprendiste a derivar utilizando el concepto de límite y nuestro interés es sólo derivar de forma correcta, vamos a utilizar la siguiente tabla que contiene las derivadas básicas, la regla de la suma y de la diferencia, la regla del producto y la regla del cociente, además las derivadas de las funciones hiperbólicas las cuales vamos a utilizar cuando resolvamos ED de orden superior.

Tabla 2. Derivadas

En la siguiente escena interactiva, resuelve los ejercicios propuestos que corresponden a la derivada de la suma y la diferencia de funciones.

Para comenzar debes recordar las siguientes propiedades

${\color{blue}\dfrac{d}{dx}(u \pm v)=u'\pm v'}$

${\color{blue}\dfrac{d}{dx}(x)^{n}=nx^{n-1}}$

Debes resolver en tu cuaderno o libreta de apuntes cada ejercicio y después verificar que tu solución corresponda con la de cada ejemplo, luego da click en el botón otro ejemplo para resolver más ejercicios hasta que consideres que ya recuerdas bien el concepto de derivada.

En la siguiente escena interactiva, Que se encuentra en la página 112 del libro $\;$ Cálculo diferencial interactivo, podrás repasar derivadas de polinomios

En la siguiente escena interactiva, resuelve los ejercicios propuestos que corresponden a la derivada de un producto.

Selecciona la opción apropiada y dale verificar. Si deseas ver el paso a paso, pulsa el botón Ver solución. Luego selecciona siguiente para ver otro ejercicio

Recuerda que es muy importante derivar los productos de forma adecuada para verificar soluciones de ecuaciones diferenciales tanto de primer orden, como las de orden superior que se verán en el próximo capítulo.

En la siguiente escena interactiva, que se encuentra en la página 120 del libro $\;$ Cálculo diferencial interactivo, podrás repasar derivadas de un producto

En la siguiente escena interactiva, resuelve los ejercicios propuestos que corresponden a la derivada de un cociente, verifica que tu solución corresponda con la de cada ejercicio, luego selecciona siguiente para ver otro ejemplo.

Cuando se deriva un cociente es muy importante tener en cuenta el orden de la derivada. La fórmula de la derivada del producto y del cociente las encuentras en la tabla de la página 45

En la siguiente escena interactiva, que se encuentra en la página 119 del libro $\;$ Cálculo diferencial interactivo, podrás repasar derivadas de un cociente

En la siguiente escena interactiva, resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta correcta, dale verificar para comprobar si es correcta, luego selecciona siguiente para ver otro ejercicio.

Podrás comprobar tu destreza para derivar un cociente en el cual hay polinomios, funciones trigonométricas, logaritmos y exponenciales.

En la siguiente escena interactiva, que se encuentra en la página 124 del libro $\;$ Cálculo diferencial interactivo, podrás repasar derivadas de un cociente

Los siguientes ejercicios fueron diseñados por Miguel Ángel Cabezón Ochoa. En esta escena interactiva puedes realizar ejercicios aplicando regla de la cadena con diferentes funciones. Selecciona el tipo de derivada a practicar, haciendo clic en una de las opciones de la columna izquierda. La última opción muestra diferentes funciones de forma aleatoria.

Tienes a disposición una gran cantidad de ejercicios. Te sugerimos realizarlos en tu cuaderno o libreta de apuntes, cuando hayas terminado puedes verificarlos con la solución del interactivo.

Así que mucho ánimo y ponte a practicar.

En la siguiente escena interactiva, que se encuentra en la página 132 del libro $\;$ Cálculo diferencial interactivo, podrás repasar derivadas utilizando regla de la cadena

Practiquemos

En la siguiente escena interactiva, adaptada de Plantillas con descartes_JS, encontrarás una sopa de letras con 10 palabras relacionadas a las definiciones que acabas de estudiar en las páginas anteriores sobre clasificación de las ecuaciones diferenciales, tipos de soluciones y problemas de valor inicial entre otros. Recuerda que es muy importante comprender bien los conceptos teóricos para resolver de forma adecuada los ejercicios.

1.6.1 Ejercicios y respuestas del capítulo 1

2.1 Ecuaciones de variables separables

Método de solución La solución de la ED es de la forma

Nota: No es necesario emplear dos constantes de integración al resolver la ED, porque si escribimos $\int h(y)dy+c_1=\int g(x)dx + c_2$ la diferencia entre $c_2- c_1$ da como resultado una constante $c$

Ejemplo 1: Solución de una ED separable

Resolver la ED         $x senx e^{-y} dx - y dy = 0$

Solución

$\int x\;senx\;dx=-x\;cosx + senx +c$