La pandemia que nos asola desde marzo originó la declaración del estado de alarma, el cierre de los centros educativos y nos llevó al confinamiento en nuestros domicilios, afectando a todos los sectores de la comunidad educativa y debiendo afrontar retos para los que ninguno contaba con experiencia. Por su parte, las administraciones educativas instaron a los centros a adoptar las medidas necesarias para continuar con el proceso de enseñanza-aprendizaje a distancia usando espacios virtuales y herramientas de intercomunicación, pero se precisaban recursos especialmente diseñados para la enseñanza a distancia. Por ello, el domingo 15 de marzo, publicamos y difundimos por nuestras redes sociales el artículo "Educación a distancia y gratuita con Descartes", en el que ofrecíamos, debidamente catalogados por etapas educativas, todos los recursos educativos abiertos de RED Descartes. Pues bien, cuatro meses después, y con un final de trimestre agotador para todos los sectores de la comunidad educativa, ponemos en marcha la campaña "Vacaciones con Descartes para las familias", donde sugerimos a padres y madres que inviten a sus hijos e hijas, en los momentos que consideren adecuados y en función de la edad, a explorar y pensar, conscientes del considerable número de familias que demandan los tradicionales cuadernos de vacaciones y que podrán personalizar con una sencilla selección de nuestros recursos gratuitos.

Nuestros niños y niñas se encuentran disfrutando del período vacacional de verano, con mucho tiempo para compartir con sus familias y amigos, así como para el descanso y ocio. No obstante, siempre es recomendable encontrar el momento adecuado para sugerirles una interesante lectura y realizar, en nuestra compañía o junto a sus hermanas y hermanos mayores, algunas actividades de las áreas básicas del conocimiento. Ahora bien, para ello, las familias requieren de una orientación y asesoramiento que pueden recibir por diferentes canales de comunicación.

Con este fin, la Red Educativa Digital Descartes ofrece una amplia selección de recursos digitales interactivos a los que pueden accederse desde cualquier lugar y hora, en el campo o en la playa, con un simple ordenador personal, portátil o dispositivo móvil y conexión a la red de internet, aunque también es posible descargarse el objeto de aprendizaje para usarlo en local, es decir, sin conexión a internet.

Estos recursos están organizados y catalogados por etapa educativa y edad, como se aprecia en la imagen inferior, así , las familias podrán seleccionar, con un simple clic sobre la imagen correspondiente o sobre el texto que la acompaña a su derecha, los adecuados para sus hijos e hijas, encontrando la relación con los nombres de las actividades y una breve descripción de la misma.

No obstante lo anterior, cada familia, como mejor conocedora de las capacidades de los niños y niñas, podrá optar por realizar las actividades de diferente edad.

La LOMCE no contempla los tres ciclos de Primaria, sino seis cursos independientes. lo que no supone obstáculo alguno para que los niños y niñas disfruten con estos recursos de gran calidad, pues accediendo al ciclo en cuestión, según la edad, y seleccionando el recurso deseado puede verse con detalle a qué curso concreto corresponde.

Esperamos que esta aportación, completamente gratuita, de la RED Descartes sea de utilidad para el mayor número posible de familias y animamos a dejar comentarios con sus opiniones.

El mapeado de la imagen se ha realizado desde la nube con la herramienta Image-Maps.

La Organización No Gubernamental RED Descartes viene ofreciendo, desde hace casi siete años, recursos educativos abiertos para todas las etapas educativas durante 24 horas al día y los 365 días del año, de forma completamente altruista, queriendo aportar nuestro granito de arena en estos tiempos tan difíciles. Por ello, elaboramos y difundimos este especial artículo veraniego con resumen y acceso a todos los recursos disponibles.

• • • Recursos para Infantil y Primaria
    • Recursos para Educación Secundaria Obligatoria
    • Recursos para Bachillerato
    • Recursos para Universidad
    • Aplicación de Juegos Didácticos en el Aula (Para todas las edades)

Después del encuentro que en julio del año pasado tuvimos en la Asamblea general ordinaria de RED Descartes que celebramos en Santiago de Compostela donde, en la esplendorosa Galicia, disfrutamos plácida e intensamente de los placeres paisajísticos, monumentales y culinarios de la tierra, del campo, del mar y de lo que por ella se pasea y donde ¡también gozamos del clima gallego! —basta observar el siguiente vídeo como suscinta acta y memoria de actividades—... Nos esperaba ¡ZARAGOZA 2020!

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Pero el pretérito imperfecto usado: "esperaba", nos marca lo que no queremos recordar, lo que es una conjugación verbal que cambiando su significado original ha englobado al pasado, al presente y al futuro, y nos ha cambiado nuestro devenir diario. ¡No, no hay que hacer más circunloquio! El y la Covid-19 ha modificado nuestro tiempo y nuestras decisiones y no nos ha permitido abordar el esperado y deseado chateo aragonés, ni hemos tenido la fortuna de ver cumplido nuestro deseo, o al menos intentarlo, de que nos llamen "zagalicos majicos", sino que más bien, o más certeramente más mal, parece que el cierzo invernal se ha aposentado y no nos quiere abandonar. Y, por ahora, también nos hemos visto obligados a desistir de nuestra visita colectiva al Museo de Matemáticas "Monasterio de Casbas", el primer Museo de Matemáticas de Aragón. 

No obstante, al menos, las TIC en las que se fundamenta nuestro proyecto educativo Descartes nos han ayudado y ¡sí!, hemos podido chatear de otra forma y transformando los impedimentos en facilidades hemos realizado la Asamblea general ordinaria de RED Descartes de manera virtual. Hemos encasillando, no nuestra mente, pero sí nuestras imágenes cual elementos de una matriz con localizada posición cartesiana, pero con procedencia local diversa y con amplísima distribución geográfica: Cádiz, Santiago, Lebrija (Sevilla), Murcia, Villaviciosa (Asturias), Ponteareas y Poio (Pontevedra), Zaragoza, Santander, Córdoba, Valladolid, Sant Joan les Fonts (Girona), Madrid y también desde la Medellín de la bella Colombia participó el presidente de RED Descartes Colombia en horario para él de maitines, aparte de la participación asíncrona de otros colegas que no pudieron asomarse a esta ventana y lo hicieron desde el foro interno de la asociación.

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En animada charla abordamos las tareas estatutariamente reguladas aprobando el acta anterior, hicimos algo de memoria recapitulando las actividades anuales, vigilamos las cuentas e intercambiamos ideas. Todas ellas sustentadas en la utilidad pública de nuestra asociación, pues en estos tiempos difíciles, con un sabor agridulce, hemos hecho acúmulo de acontecimientos y sentimientos y hemos experimentado cómo, desde nuestro servidor de contenidos, se ha logrado dar una ayuda educativa a miles y miles de necesitados y amantes del saber que han hallado mensajes de solidaridad en todas y cada una de las consultas realizadas y en todas y cada una de las más de diecinueve millones de páginas servidas en los seis primeros meses de este año. Altruismo satisfecho, objetivo alcanzado. 

Como en todo colectivo hay inquietudes no satisfechas, deseos por llevar a término, tareas que retomar o iniciar, pero lo fundamental es tener interés en continuar, sentir ganas de seguir avanzando juntos, ampliar horizontes, colaborar, compartir, experimentar y cumplir años repletos de ilusión. El bagaje colectivo conseguido a lo largo de los veintidós años del proyecto Descartes y de los siete de RED Descartes nos permite estar satisfechos: ¡Enhorabuena cartesianos!

Finalizando la Asamblea volvimos a manifestar nuestra certera voluntad de encontranos en Zaragoza en julio de 2021.

¡Zaragoza queremos satisfacer tu espera y satisfacer nuestra deuda!, sentirnos en tus calles y entre tu gente, ¡sin olvidar! y mirando positivamente al futuro. Y al igual que el agua que desde al menos ocho millones de años fluye continuadamente en tu/nuestro Ebro, desde el ámbito educativo de nuestro proyectodeseamos poder seguir contribuyendo a la formación de personas matemáticas, científicas, que ayuden a un futuro mejor para todos.    

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¡Nos vemos en Zaragoza en julio 2021! y mientras tanto en la Red. 

Los cilindros generalizados, los conos generalizados y las superficies tangenciales son los tres tipos de superficies regladas desarrollables. Todas ellas pueden obtenerse a partir de una curva directriz sobre la que desplazando una recta se genera la superficie, de ahí que a la recta se le denomine generatriz. En el caso de los cilindros todas las rectas tienen la misma dirección, en los conos todas pasan por un punto que es el vértice y en las superficies tangenciales son las rectas tangentes a la curva directriz. Todas ellas pueden parametrizarse como:

donde es la curva directriz y es la dirección de la generatriz. En el artículo "Superficies desarrollables con Descartes" detallé todos estos aspectos e indiqué que en las misceláneas allí compartidas la curva directriz que había considerado era plana y, por tanto, procedería abordar una extensión que contemplara que fuera tridimensional. También planteé abordar una miscelánea en la que se obtuvieran superficies tangenciales y el desarrollo plano de las mismas. Todo ello es lo que aquí presento.

Cilindros y conos generalizados

En la miscelánea "Construyo mis cilindros generalizados con curva base 3D" se abordan las superficies que pueden parametrizarse como . El usuario define su curva directriz tridimensional y la dirección de la generatriz que es constante y puede simular la generación del cilindro, obtener su desarrollo plano e imprimirlo si lo desea. En el caso en el que la curva directriz es plana, imprimiendo la base, se tiene una guía sobre la que proceder a la reproducción física del cilindro a partir del desarrollo impreso, pero en el caso de curva tridimensional no siempre será fácil esa construcción ya que no dispone de la reproducción física tridimensional de la curva directriz en la que poder apoyarse para poder plegar el desarrollo. Se requeriría abordar una impresión 3D de la directriz o bien construir la superficie lateral de un prisma cuya base inferior fuera plana y la superior siguiera el perfil de la curva directriz que serviría como soporte sobre el que apoyar y construir el cilindro. Ambas opciones son accesibles, pero no se contemplan en este recurso interactivo.

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Con identica funcionalidad tenemos la miscelánea "Construyo mis conos generalizados con curva base 3D" correspondiente a la parametrización . En ella, definiendo la curva directriz tridimensional y el vértice se procede a generar el cono y a obtener su desarrollo plano. En este caso la reproducción material del cono, gracias a la referencia del vértice, puede ser más sencilla.

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El desarrollo de las dos escenas anteriores a partir de las escenas análogas de base plana no requirió mucho trabajo porque realmente estaban diseñadas para ello y practicamente lo que había era una restricción de la curva directriz estableciendo que la tercera componente fuera nula. El pimer objetivo planteado se alcanzó sin un coste excesivo.

Superficies tangenciales

El segundo objetivo era desarrollar la miscelánea "Construyo mis superficies tangenciales" asociada a las parametrizaciones del tipo  y en las que en cada punto de la curva directriz la generatriz sigue la dirección de la recta tangente a dicha directriz. He aquí la miscelánea:

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 En ella hay que detallar y aclarar algunas cuestiones:

• El usuario define la curva directriz y ésta, teóricamente, ha de ser diferenciable para que en todo punto esté definida la recta tangente que es la generatriz de la superficie.
• A nivel interno en la escena interactiva se trabaja a nivel discreto, es la realidad computacional. Por tanto, realmente, lo que se tiene es que la curva directriz es una poligonal y para segmentos de longitud pequeña la dirección de estos son buenas aproximaciones de la recta tangente. Consecuentemente en cada nodo de esa poligonal (punto de la curva directriz) se puede optar por considerar la dirección de la tangente bien por la del segmento anterior a ese nodo (que se corresponde con diferencias finitas regresivas) o la del segmento posterior (diferencias progresivas) o la media aritmética de ellas (diferencias centradas). En la escena se ha optado por considerar la tangente asociada a las diferencias regresivas
• En toda superficie tangencial los puntos singulares son los puntos de la curva directriz (arista de retroceso) que se corresponden con el valor del parámetro v = 0  y la superficie está formada por dos hojas (v < 0 y v > 0) —en la escena se ha indicado como semirrecta negativa y semirrecta positiva—.
• Para aproximar cada una de las hojas de la superficie, entre cada dos tangentes consecutivas de la poligonal aproximante citada se considera el ángulo plano que forman ambas (en la escena un triángulo).  Obviamente a medida que se consideran más número de segmentos la aproximación es mejor. Ver las siguientes imágenes: 

Aproximación con seis segmentos	Aproximación con cincuenta segmentos

• La aproximación indicada es similar a la que se efectúa en el caso de los cilindros que se aproximan por prismas y para los conos aproximados por pirámides. Y a partir de ésta la obtención dinámica del desarrollo plano y éste en sí es algo inmediato con la parafernalia técnica que habitualmente empleo.

En la animación siguiente se refleja parte de lo que puedes abordar y obtener con esta escena interactiva. 

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Te invito a construir ¡tus superficies regladas desarrollables!

tanto de manera virtual como real. 

¡Séptimo aniversario de RED Descartes! ¡Vigésimo segundo del proyecto Descartes! ¡Nuevo récord de páginas servidas desde nuestro servidor!... centros educativos cerrados, sociedad confinada, enfermedad, sufrimiento, muerte... pandemia. ¡Ciencia, investigación, estudio, aprendizaje, esfuerzo, colectividad, solidaridad!

¡Acumulación de acontecimientos, de sentimientos y de agradecimientos!

Cumplir años en tiempos de pandemia superando récords mes a mes gracias al incremento en el número de nuevos amigos que, estando confinados, necesitan satisfacer su aprendizaje y ejercer su docencia en entornos virtuales, provoca una acumulación de sentimientos contrapuestos. Todo acontece a causa de la concatenación de las extrañas y duras circunstancias en las que vivimos en estos días, pero contribuye a la consecución de nuestros objetivos como asociación. Un paradójico oxímoron que desde RED Descartes tratamos de revestirlo aglutinando la ilusión que nos motiva a trabajar altruistamente con el agradecimiento a quienes nos eligen y, que al hacerlo, dan valor y sentido a nuestro esfuerzo. Agradecimiento que hemos de hacer explícito a nuestros patrocinadores: grupo IC e Hidral que desde el mundo empresarial, con profunda visión social, han apoyado nuestro proyecto educativo y obviamente estos logros también son suyos. Gratitud al Ministerio de Educación español por impulsar y promover el desarrollo del proyecto y la herramienta Descartes durante sus primeros catorce años, al Instituto de Matemáticas de la UNAM por auspiciar el desarrollo de DescartesJS, a la Institución Universitaria Pascual Bravo de Medellín (Colombia) promotora de los libros interactivos y a nuestra red hermana ColDescartes. Y a todos los que en estos veintidós años habéis contribuido a que este proyecto, esta RED, sea una realidad.

¡Felicidades a todos los socios y miembros de RED Descartes!

Los cumpleaños, a cierta edad, suelen acumular sentimientos encontrados pues son hitos significativos en los que se interseca el pasado y el futuro, momentos de reflexión en la transición o continuidad vital. Generan alegría y tristeza, esperanza y añoranza, certeza y duda, perdurabilidad y caducidad. Son  momentos en los que lo transcurrido puede, debe, actuar de trampolín para la mejora, más cuando las circunstancias en el entorno no son óptimas y mucho más cuando son más bien desfavorables.

Hoy, 1 de junio de 2020, cumplimos siete añitos como organización no gubernamental sin ánimo de lucro. Hace siete años que decidimos y llevamos a cabo la constitución de la asociación "Red Educativa Digital Descartes". ¡Ya! siete no es mucho, pero es que son veintidós los transcurridos desde que en 1998 surgió el proyecto Descartes, un proyecto de profesorado centrado en la mejora de la educación matemática —en sus orígenes, pero despúes en cualquier materia— usando las TIC y los recursos interactivos desarrollados con la herramienta Descartes.  A este proyecto, inicialmente promovido por el Ministerio de Educación español y desarrollado a través de él hasta el año 2012, le tuvimos que dar continuidad, impulso y mejora desde una perspectiva independendiente no gubernamental. 

Este aniversario acontece en el preocupante y difícil contexto de una pandemia que se ha adentrado drásticamente en el entorno educativo impidiendo la relación cotidiana directa entre el alumnado y el profesorado dado que los centros escolares de todos los niveles ¡están cerrados! Un cambio drástico en los procedimientos y metodologías que han tenido que encaminarse al uso intensivo y extensivo de las TIC. Pero para poder llegar a una planificación adecuada, que contribuya a intensificar la adquisición de la competencia de "aprender a aprender" y la de autonomía personal, es necesario contar con recursos que potencien y ayuden a ese logro. Y los recursos de nuestra RED, que han sido desarrollados por profesorado que imbuye en ellos su experiencia de aula, pensamos y valoramos que pueden ayudar significativamente a la consecución de ese objetivo, ahora y siempre. Pero el navegante discente y/o docente que llega a nuestro servidor de contenidos es quien tiene en su mano, literalmente, la capacidad de elección. ¡Y eso es lo que ha hecho!

En junio del pasado año coincidió que festejábamos nuestro aniversario con un récord en el número de páginas servidas en un mes (más de dos millones cuatrocientas mil) y estos tiempos de pandemia se han ido incrementando el número de páginas servidas y a la vez se han concatenando nuevos récords. En marzo, con sabor agridulce, superamos los cuatro millones de páginas, en abril ¡ayudamos en los tiempos del COVID-19! con más de cuatro millones seiscientas mil y en este aniversario comunicamos nuestro nuevo récord al haber superado los cinco millones de páginas en el recién acabado mes de mayo. 

La siguiente tabla refleja un detalle de lo acontecido estadísticamente en este mes de mayo de 2020 en proyectodescartes.org

Si estos logros estadísticos se han ido sucediendo es porque al otro lado de nuestro/vuestro servidor estáis todos vosotros que nos elegís y que retornáis para dar continuidad a vuestro aprendizaje o docencia. Consecuentemente, también hemos de hacer una acumulación equitativa de agradecimientos y daros millones de gracias por dar sentido a nuestra labor altruista.

En ese cúmulo de agradecimientos hemos de ser especialmente explícitos en nuestro reconocimiento al grupo empresarial IC S. L. (consultar artículo I y artículo II)  y a la empresa HIDRAL (consultar artículo), porque desde la perspectiva empresarial han puesto de manifiesto de manera nítida que la formación y la educación es un pilar básico en su modelo de empresa y que en la reinversión social de sus logros y éxitos, ése es un foco básico de interés. Gracias a su patrocinios económicos hemos tenido suficiente holgura monetaria para disponer y mantener, durante los años 2017, 2018 y 2019,  la imprescindible infraestructura TIC para el alojamiento de contenidos y difusión de los mismos y, así, poder llegar a todos los amantes del saber y del aprender que nos visitáis. Este agradecimiento se refleja en muchos recursos (pulsad sobre las imágenes para ver un par de ejemplos)  

También hemos de agradecer grandemente al Instituto de Matemáticas de la UNAM (Universidad Nacional Autónoma de México) el patrocinio para el mantenimiento y mejora de la herramienta DescartesJS y a José Luis Abreu León que con genialidad y eficiencia ha mimado y mima a Descartes en esta extensa e intensa trayectoria de veintidós años. Y a Joel Espinosa Longi y a Alejandro Radillo Díaz que aportan su buen hacer y saber, y su juventud, dando continuidad vital a la herramienta y con ella al proyecto.

Nuestro agradecimiento a la Institución Universitaria Pascual Bravo de Medellín (Colombia) por su apoyo directo al proyecto Descartes y especialmente por impulsar los libros interactivos y publicarlos bajo su sello editorial, y a nuestra red hermana "Red Educativa Digital Descartes Colombia" que no sólo suma sino que multiplica poniendo de manifiesto la sinergia de la colaboración.

Y en la reflexión acerca de lo vivido hay que remontarse al nacimiento y a los primeros años, aquellos en los que se asientan los pilares de un futuro seguro y firme, y así agradecer a Agustín Quintana Alonso y a Juan Madrigal Muga, que desde el Intef del Ministerio de Educación español, vislumbraron y trazaron las líneas primigenias del proyecto Descartes, atisbando que este proyecto educativo tenía que configurarse como un proyecto de profesorado en pro de la comunidad educativa, que llegara y se desarrollara a pie de aula y que introdujera cambios metodológicos apoyados en la tecnología, pero donde ésta quedara diluida.

Agradecimiento a todos los pioneros cartesianos que, en el interludio de cambio del siglo XX al XXI, acudieron con ilusión a trasladar su inquietud y experiencia profesional en los albores de Descartes y que aportaron los mimbres con los que se empezó a dar forma a un proyecto y a una realidad —perdonad que no detalle aquí vuestros nombres, la lista es amplia y sería muy probable que cometiera una omisión imperdonable, todos estáis reflejados en nuestro servidor de contenidos a través de las aportaciones que habéis ido realizando—. Gratitud a quienes conformaron proyectos de profesorado análogos usando la herramienta Descartes como el proyecto Newton (hoy unificado dentro de la RED Descartes) y a todos los que en estos veintidós años habéis dedicado en algún momento parte de vuestro saber, de vuestro tiempo y de vuestra experiencia aportando lo que habéis podido, sin cuantificar si es poco o mucho porque toda contribución es importante. 

Y, finalmente, agradecimiento infinito a todos los socios de RED Descartes por haber constituido esta asociación y seguir con empeño contribuyendo día a día a la consecución de sus objetivos estatutarios.

 ¡Continuamos...! ¡Con ilusión iniciamos un nueva vuelta al Sol... con Descartes!

En este artículo se describen y clasifican las superficies regladas desarrollables poniendo de manifiesto que éstas son cilindros, conos y superficies tangenciales. Y, mediante el uso de Descartes, se permite al usuario abordar la construcción virtual de "su" cilindro y cono personalizado, pero también se le da la posibilidad de convertirlo en un objeto tridimensional tangible sin más que proceder a la obtención automática de su desarrollo plano y, mediante su impresión en papel, proceder a su construcción. 

Superficies regladas desarrollables

Una superficie es reglada si está constituida por una familia de rectas. Todas estas superficies se pueden parametrizar como:

                  (1)

donde  y  son curvas en el espacio tridimensional. La primera es la curva base o curva directriz y la segunda es el vector director de cada una de las rectas (generatriz). Efectivamente, fijado un valor del parámetro u puede observarse que la expresión obtenida es la ecuacion de una recta y, variando  u, geométricamente lo que se puede interpretar es que se va recorriendo cada punto de la curva base  y por él pasa una recta cuya dirección viene dada por .

También puede expresarse de manera equivalente como:

           (2)

que algebraicamente representa, para cada valor de u, a una recta (o un segmento si consideramos 0 ≤ v ≤ 1), pero en este caso lo que se pone de manifiesto es que esa recta se apoya en un punto de la curva  y en otro de la .

El ejemplo más simple de superficie reglada es un plano, pero entre otras, también lo son los cilindros, los  conos, la banda de Moebius, el hiperboloide, etc.

Cilindro generalizado	Cono generalizado
Banda de Möbius	Hiperboloide

Una herramienta matemática que permite caracterizar la curvatura de cualquier superficie regular es la denominada curvatura de Gauss, y se verifica que dicha curvatura es invariante por isometrías. Todas las superficies regladas cumplen que su curvatura de Gauss es menor o igual que cero y, en particular, que la curvatura de Gauss de un plano es identicamente nula. En base a lo anterior, todas las superficies regladas que tienen curvatura cero son isométricas con el plano y son denominadas como  superficies desarrollables ya que, consecuentemente, pueden construirse a partir de su desarrollo plano.

En la parametrización (1) la condición de curvatura nula equivale a que el denominado parámetro de distribución sea nulo, y éste viene dado por:

     (3)

o en el caso de la parametrización (2) como:

        (4)

De (4) se observa que para que la superficie reglada sea desarrollable tiene que ocurrir que para todo u el vector tangente a la curva , el vector tangente a  y el vector director de la recta que une a ambas curvas sean coplanarios al ser el producto mixto de los tres cero, o dicho de otra forma que el plano tangente es constante  lo largo de cada recta generatriz.

Pero un análisis más detenido de cuándo es identicamente nulo el parámetro de distribución nos puede permitir clasificar a las superficies desarrollables. Así en la expresión (3):

1. 1. Si  es identicamente nulo, entonces  es un vector constante, es decir que todas las rectas tienen la misma dirección y la superficie es un cilindro generalizado de ecuación .
   2. Si   es idénticamente nulo, entonces  es el vector de posición de un punto V y la superficie desarrollable es un cono generalizado de vértice V, cuya ecuación sería . También puede expresarse en función de una curva base como .
   3.  En cualquier otro caso se demuestra que es una superficie tangencial, que mediante un cambio de parámetro se puede expresar como .

Superficies desarrollables con Descartes

En el proyecto "El metro: patrón inexacto para medir exactamente", que en el año 2004 contó con una ayuda de la Junta de Andalucía (España) para la elaboración de materiales y recursos educativos digitales, desarrollamos con Descartes en su versión Java algunos objetos educativos interactivos sobre conos y cilindros generalizados incluyendo la posibilidad de obtener su desarrollo plano. En este año 2020 hemos procedido a adaptarlos a DescartesJS y a mejorar sus posibilidades, en particular en lo relativo a forma de obtener ese desarrollo plano, a incluir  la posibilidad de su impresión y consecuentemente a la posibilidad de su reproducción tangible tridimensional. Estos recursos actualizados están publicados en el subproyecto "misceláneas" de la RED Descartes y los enlazamos a continuación aquí en dos triadas de imágenes que respectivamente se corresponden con cilindros y conos generalizados.

En la primera triada correspondiente a los cilindros tenemos:

• "Cilindro generalizado" donde se muestra la construcción de un cilindro tomando como curva base una elipse y en la que podemos cambiar la dirección de la recta generatriz. La escena permite reproducir la generación del cilindro mediante desplazamiento de la generatriz sobre la curva base; simular y obtener el desarrollo plano; imprimir dicho desarrollo y el de las bases del cilindro. Adicionalmente, dado el contexto en el que se desarrolló originalmente esta escena —el metro—, se puede obtener un sistema de referencia basado en meridianos y paralelos.
• "Ejemplos de cilindros generalizados" donde se puede elegir diferentes curvas base (circunferencia, elipse, parábola, rama de hipérbola, segmento, cardiode, deltoide, bifolium, astroide, bicircular) y reproducir las acciones indicadas en la escena anterior. 
• "Construyo mis cilindros" que como indica el título permite al usuario definir la curva base en coordenadas paramétricas y la dirección de la generatriz que desee y con ellas construir su cilindro generalizado. De nuevo puede realizar de manera virtual interactiva las acciones ya indicadas, pero también procediendo a la impresión del desarrollo pasar a disponer de la versión tangible de "su" cilindro. Para cada curva base cambiando el número de segmentos que se desean considerar en la representación se obtienen diferentes cilindros, para simular el caso continuo basta seleccionar un número de segmentos suficientemente elevado. 

Cilindro generalizado	Ejemplos de cilindros generalizados	Construyo mis cilindros

De manera análoga en la triada correspondiente a los conos generalizados tenemos:

• "Cono generalizado" en el que se  muestra la construcción de un cono tomando como curva base una elipse y en la que podemos cambiar su vértice. La escena interactiva permite reproducir la generación del cono mediante desplazamiento de la generatriz sobre la curva base; visualizar el cono completo; simular y obtener el desarrollo plano; imprimir dicho desarrollo y el de la base del cono. Adicionalmente, dado el contexto en el que se desarrolló originalmente esta escena —el metro—, se puede obtener un sistema de referencia basado en meridianos y paralelos.
• "Ejemplos de conos generalizados" donde se puede elegir diferentes curvas base (las mismas que en el caso de los cilindros) y reproducir las acciones indicadas en la escena anterior. 
• "Construyo mis conos" que permite al usuario definir la curva base y el vértice y construir su cono generalizado tanto virtual como tangible..

Cono generalizado	Ejemplos de conos generalizados	Construyo mis conos

En estos objetos interactivos se ha considerado que la curva base es una curva plana, así pues, he de ponerme la tarea de incorporar la tridimensionalidad de la curva base y presentarlo en un próximo artículo en este blog. Y, adicionalmente, este trabajo debería incoporar el caso de superficies tangenciales que implictamente, a priori, entraña cierta dificultad si se deja libertad de definición al usuario, pero sobre ello ya hablaremos.  

Finalizo reseñando que para la obtención automática y animada del desarrollo plano del cilindro y el cono se aplica la rotación de Rodrigues descrita en un artículo anterior de este blog. Lo que se hace es plantearlo como el desarrollo plano de un prisma o una pirámide que se ajuste suficientemente al cilindro o cono dado. En la animación siguiente se refleja el desarrollo plano de un cilindro generalizado en el que su base es la curva denominada bifolium.  

Pulsa sobre la imagen para ampliarla

Bibliografía

Lucas, E. (2017). Superficies regladas [Trabajo fin de grado]. Universidad de Murcia. 

Rosado, E (2010). Superficies regladas [Apuntes docentes]. Universidad Politécnica Madrid.

En RED Descartes finalizamos el mes de marzo con sabor agridulce, pues en el tristísimo contexto de una pandemia global logramos ¡un nuevo récord en nuestro servidor proyectodescartes.org! El mes de abril transcurrió en confinamiento y a la amarga suma de tantos y tantos fallecidos se hace muy difícil anexar ninguna otra contabilización. Sólo constatando que hay unicidad entre vida y muerte y que en el transcurso o ciclo de un estado a otro la formación es imprescindible, nos atrevemos a cuantificar, en cierta forma, nuestra altruista contribución a la comunidad educativa de la aldea global en estos tiempos de COVID-19. En el mes de abril de 2020 hemos alcanzamos un nuevo récord y han sido más de cuatro millones seiscientas mil páginas las que hemos servido y en cada una de ellas hemos añadido siempre ¡mucha ilusión, ánimo y esperanza!

En el mes de abril de 2020, el número de páginas servidas desde nuestro servidor proyectodescartes.org ha experimentado un incremento de más de quinientas mil páginas con respecto al mes de marzo, un 14% más que el récord alcanzado ese mes y casi un 200% respecto al anterior récord que conseguimos hace un año, en mayo de 2019. En total: 4 666 818 páginas.

El cierre de los centros educativos, motivado por la pandemia del COVID-19, ha provocado perspectivas educativas diferentes, han surgido nuevas necesidades y muchas de ellas han podido ser satisfechas a través de nuestro proyecto educativo. Eso es lo que hemos podido constatar en nuestro servidor que ha estado bastante ocupado dando servicio a las peticiones realizadas y que, afortunadamente, se ha portado de manera eficiente en casi todo el tiempo transcurrido. En algún momento el elevado número de conexiones ralentizó la respuesta y casi llegó al bloqueo, pero una reconfiguración del sistema ha devuelto la agilidad necesaria.  

En la siguiente tabla se puede consultar en detalle parte de lo que acontecido observando las estadísticas de los registros automáticos en nuestro dominio proyectodescartes.org. Quien se adentre un poco en esa tabla puede observar que el día 10 y el 11 hay reflejadas unas cantidades muy bajas en relación al resto, la razón es que esos dos días tuvimos problemas con los archivos de "log" y no contabilizaron adecuadamente lo acontecido esos dos días, por tanto, el récord podría haber sido mayor al que reflejamos aquí. Pero no es nuestra preocupación, ni objetivo esencial, el superar récords, establecer marcas, nuestro fin es únicamente educativo y el seguimiento de estas estadísticas es meramente para tener una orientación del servicio que damos y de la utilidad de nuestro trabajo, con el matiz de que somos conscientes que la cantidad aporta sólo una visión parcial. Visión que hay que complementar cualitativamente con otras informaciones conseguidas por otros medios y que no son objeto de análisis aquí.  

La siguiente tabla refleja un detalle algo más extenso de lo acontecido estadísticamente en este mes de abril de 2020 en proyectodescartes.org

Nuestro agradecimiento a todos los que os acercáis a este servidor, a los que hacéis una valoración positiva de nuestra labor y a los que regresáis para que podamos aprender todos juntos.

¡Continuamos...! 

En el artículo "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" llegamos a la conclusión de que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, según la orientación dada por Pascal a su triángulo, entonces, por simetría, tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton. Eso es lo que se refleja en la siguiente imagen.

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton.
Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

En este artículo vamos a centrarnos en analizar cuándo un coeficiente binomial es divisible por un determinado número primo, un problema sobre el que podemos encontrar bastantes resultados con fundamento aritmético y algebraico. Aquí, nos centraremos en aquellos resultados que nos permitan determinar y visualizar gráficamente esas congruencias, es decir, poder obtener el gráfico de la imagen anterior, u otros análogos, sin necesidad de calcular el coeficiente binomial y determinar su congruencia u obtener ésta mediante una recurrencia.

La primera representación gráfica de estas congruencias puede situarse en un brevísimo artículo de Kung (1976). Esa gráfica se muestra en la siguiente imagen, la situada a la izquierda, y en la de la derecha se refleja la gráfica análoga, pero mostrándola según la orientación original de Pascal y coloreando en naranja los números combinatorios pares (en ella cada número se determina observando el correspondiente índice superior en color azul y en rojo el inferior):

Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal. Kung, S. H. L. (1976). Parity triangles of Pascal’s triangle. Fibonacci Quart. 14: 54;	Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal en su orientación original

Kung adicionalmente afirma, sin incluir la demostración, que para i entero no negativo:

• Si n = 2ⁱ  y 1 ≤ k ≤ n-1, entonces  es par. 
• Si n = 2ⁱ-1 y 0 ≤ k ≤ n, entonces  es impar.

Y ello se observa en las imagenes anteriores ya que para n = 0, 3, 7, 15, 31, todos los símbolos en esas filas o diagonales, respectivamente, son asteriscos (números impares). Y para  n = 2, 4, 8, 16, 32, son todos cruces (números pares), salvo el primero y el último.

Ese es un breve artículo, pero que marca unas pautas que son extrapolables a la obtención de patrones en las congruencias con cero módulo otros números primos. De hecho, ese resultado es un caso particular de los dos que fueron enunciados en 1947 por N. J. Fine en su artículo "Binomial coefficients modulo prime", si bien el primero de ellos (según Joris et al. en un artículo de 1985) ya lo formuló Ram en 1909 (B. RAM, Common factors of n!/m!(n-m)!, (m= 1, 2 ,..., n- l), J. Indian Marh. Club (Madras) 1 (1909), 39-43):

1. La condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes binomiales  con 0 < k < n, sea divisible por un primo p es que n sea una potencia de p.
2. La condición necesaria y suficiente para que ningún coeficiente binomial de índice superior n, con n = n₀ + n₁ p + n₂ p² + ⋅⋅⋅ + n_m p^m, siendo 0 ≤ n_r < p y n_r > 0,  sea divisible por p es que n_r = p - 1 para r < m. 

Veamos cómo se reflejan estos resultados de una manera gráfica en las dos imágenes siguientes:

• En la imagen izquierda, se refleja gráficamente el primer resultado cuando p = 3, mostrándose todas las líneas en las que todos los números combinatorios son divisibles por 3, salvo el primero y el último. Esas líneas se corresponden con   con 0 < k < n y  n = 3⁰, 3¹, 3², 3³,... Gráficamente vienen a ser las "hipotenusas" de los triángulos rectángulos que particionan al triángulo de Pascal y que lo muestran a diferentes escala y posteriormente utilizaremos esta analogía y terminología coloquial para ubicar y describir otros resultados.
• En la de la derecha se reflejan aquellas líneas en las que ningún número combinatorio es divisible por 3. En la parte superior de esa imagen se reflejan las separaciones entre esas filas (por falta de espacio tipográfico no se refleja el caso 3⁰) y a la derecha se muestra la descomposición p-ádica del índice n correspondiente a los números combinatorios de cada una de esas líneas (expanda la imagen pulsando sobre ella para verlo). Por ejemplo, para 53 = 2 3⁰ +  2 3¹ + 2 3² + 1 3³ y eso nos muestra el camino de "saltos" de amplitud potencias de tres que se han de dar para, partiendo de 0, llegar a 53 (dos de amplitud 3⁰, dos de 3¹, dos de 3² y uno de 3³). Es decir, logramos mostrar visualmente, geométricamente, lo que queda escondido en un abstracto resultado algebraico, el cual puede ser chocante a cualquiera que accede a él por primera vez. Emulando a nuestro alumnado a la pregunta: ¿a quién se le ocurre que la descomposición p-adica da respuesta a este problema? le mostramos que el resultado algebraico, posiblemente, fue consecuencia de su visualización y la "pureza" matemática procedió a esconderlo. 

Números combinatorios divisibles por 3 para todo k, 0 < k < n  Líneas con todos los números combinatorios divisibles por 3 salvo los extremos	Números combinatorios no divisibles por 3 para ningún k, 0 ≤ k ≤ n Líneas con ningún número divisible por 3

En la miscelánea del final de este artículo podemos reproducir las situaciones descritas para cualquier primo hasta el 31 y en este enlace se tiene un muestrario rápido de las mismas. 

Y justamente, en base a la observación de esos patrones geométricos, podemos visualizar y deducir la propiedad que nos permite detectar todas las hipotenusas de todos los triángulos rectángulos isósceles que muestran esas congruencias. Podemos ver cómo hay triángulos de diferente tamaño, siendo p^a-1 el tamaño de las hipotenusas respectivas, y cada uno de ellos tienen una distribución periódica en horizontal y vertical con un periodo p^a. Por ejemplo, en la siguiente imagen se reflejan en color naranja los números combinatorios congruentes con cero módulo 5 y se observan tres tipos de triángulos según su tamaño: los de hipotenusa 4 = 5¹-1, los de 24 = 5²-1 y parcialmente (en la esquina inferior derecha) el de 124 = 5³-1. La hipotenusa del primero se ha reflejado en color verde y el triángulo se repite periódicamente en horizontal y vertical con un periodo 5, según se ve en dicha imagen. La del segundo está reflejada en color violeta y se repite también periódicamente con periodo 5², y así sería de manera análoga y sucesiva. 

 Periodicidad en las hipotenusas de los triángulos congruentes

Lo anterior, ahora le invito a que mire con ojos algebraicos, queda englobado en el resultado que enuncio a continuación:

p es divisor de todos los números combinatorios  con m, a, k ∈ ℕ,  0 < k <  mp^a y k no divisible por p^a     (1)

Este resultado personal puede relacionarse o considerarse como una reinterpretación —que se centra, enfoca y destaca el aspecto de periodicidad— del aportado por Ram (1909) —del que puede verse la demostración realizada por Albree (1972)— que afirma:

Para cualquier entero positivo n , p^r = mcd {  con 0 < k < n, y mcd (k, p)=1 } donde p es primo, r es un entero positivo y p^r divide a n. 

Y ¿por qué les remarco que es de gran interés determinar esas hipotenusas? La respuesta también puede visualizarse en la imagen anterior y lo detallamos a continuación ya que conocida una hipotenusa de números congruentes con 0 módulo p,  con r < k < s, por la propiedad de los números combinatorios que relaciona los de índice superior n+1 con los de índice n,

se deduce que los números combinatorios que componen el triángulo rectángulo T(n; r, s)

          (2)

—ver imagen siguiente— son también congruentes con 0 módulo p. La justificación es simple, dado que la suma de dos números divisibles por p es un número divisible por  p.

Transmisión de la congruencia en las hipotenusas a los triángulos rectángulos

Joris et al. (1985) abordan un estudio más profundo al que necesitamos aquí de las propiedades de estos triángulos y a él dirigimos a quienes estén interesados en incrementar su conocimiento en este tema. 

Combinando (1) y (2), concluyo que los números combinatorios congruentes con 0 módulo p siguen un patrón de triángulos "rectángulos" T(p^a; 1, p^a-1) cuyas hipotenusas están constituidas por los números combinatorios  con a, k ∈ ℕ,  0 < k <  p^a. 

Patrón de triángulos T(p^a; 1, p^a-1) con p=3  y a = 1,2, y 3

distribuyéndose de forma periódica según el esquema:

T(m p^a; 1+k p^a, (1+k)p^a-1)  con 0 ≤ k < m y  a, m ∈ ℕ  

Eso es lo que se observa en el siguiente mosaico de imágenes donde se refleja:

• • imagen superior izquierda: números combinatorios congruente con 0 módulo 3 en color naranja.
  • imagen superior derecha: triángulos congruentes con T(3¹; 1, 3¹-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3.
  • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(3²; 1, 3²-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3². 
  • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(3³; 1, 3³-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3³. 

Esquema de periodicidad de los triángulos T(p^a; 1, p^a-1) con p=3  y a = 1, 2, y 3

Así pues la reproducción de todas las congruencias con 0 es una mera reiteración gráfica, periodicidad, de esos triángulos básicos citados.

Pero dado un número combinatorio  ¿podemos saber si es o no congruente con 0 módulo p sin necesidad de calcularlo, de una manera sencilla, rápida y sin aplicar recursividad, o lo que es equivalente, sin basarse en diagonales, es decir, en números combinatorios con índice superior menor que n? ¡Veamos que sí! y para ello nos vamos a basar en la posición relativa (fila y columna) que ocupa cada número combinatorio en el triángulo de Pascal original. Observemos que el número  ocupa la fila n-k y la columna k, que todos los números combinatorios de índice n cumplen que la suma de la fila y la columna que ocupan es n, y que los números combinatorios del triángulo rectángulo T(n; r, s) cumplen que la suma de la fila y la columna de todos ellos es mayor o igual que n. Con este dato y en base a la periodicidad podemos afirmar lo siguiente:

Dado el número combinatorio , consideremos la descomposición p-ádica de n-k y de k

n-k =  a₀ + a₁ p + a₂ p²+ ⋅ + a_m p^m

 k = b₀ + b₁ p + b₂ p²+ ⋅ + b_m p^m

con m =  max (ent(log_p(n-k)), ent(log_p(k)) ), 0 ≤ a_j, b_j  < p, se verifica que:

 es divisible por p si y solo si a_j + b_j  ≥ p al menos para algún j,  0 ≤ j ≤ m.

Además, para los valores de j en los que  a_j + b_j  ≥ p, entonces  está en un triángulo T(p^j+1; 1, p^j+1-1) de números congruentes con 0 módulo p.

En la siguiente escena se puede reproducir visualmente todos los resultados indicados anteriormente y profundizar en el conocimiento de las interioridades del Triángulo de Pascal. 

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En la imagen anterior se observa como el número combinatorio 30 sobre 23 es congruente con cero módulo 2 y forma parte de un triángulo rectángulo básico de hipotenusa 1 , otro de hipotenusa 3 y otro de hipotenusa 7 (para éste último es evidente, para los dos anteriores haga traslaciones de los triángulos básicos, según el periodo antes indicado, y verá que ese número combinatorio está incluido en ellos). Todo se obtiene sin más que observar la relación de los coeficientes en la descomposición 2-ádica de la fila y columna que ocupa, ya que en este caso, para las tres primeras potencias de 2 la suma de los coeficientes es mayor o igual que el valor del módulo (en este caso 2).

Llegados a esta meta, estando aún confinados por la pandemia del COVID-19, cabe preguntarse si este artículo, y los dos anteriores publicados en este blog sobre este tema, tendrá o no continuidad... el tiempo lo dirá o quizás la necesidad de cambiar de temática para relajar la mente en otros ámbitos lo interrumpa. Tenga o no alguna nueva adenda, gracias a todos los que habéis dedicado parte de vuestro tiempo en leer lo descrito y los nuevos resultados hallados y expuestos en esta trilogía. 

Con sabor agridulce, porque no está el mundo para muchas celebraciones, como colectivo humano que ponemos mucho tiempo e interés en contribuir a la educación y formación de los habitantes de esta aldea global de manera altruista, tenemos que congratularnos de poder llegar a tantas y tantas personas y así haber podido superar el anterior recórd que teníamos registrado. Han sido más de cuatro millones de páginas servidas en el mes de marzo desde nuestro servidor proyectodescartes.org ¡cuatro millones de mensajes de solidaridad, ánimo y ayuda!

Hace diez meses os anunciamos que en el mes de mayo de 2019 habíamos alcanzado un nuevo récord mensual de páginas servidas desde nuestro servidor proyectodescartes.org, en concreto fueron 2413688 páginas, más de dos millones cuatrocientas mil páginas. El mes pasado, febrero de 2020, estuvimos a punto de superar ese récord, pues llegamos a 2383011, es decir, cincuenta mil páginas menos del récord anterior, pero en un mes de sólo veintinueve días y un mes digamos normal en el sentido de que no había sensación de ningún acontecimiento extraño que justificara ese aumento, aunque había cierto runrún en el entorno. Así, se desarrolló estadísticamente ese mes de febrero en nuestro servidor:

Estadísticas de febrero de 2020 del servidor proyectodescartes.org (ayuda)

Ese positivo comportamiento en el numero de páginas servidas diariamente, por encima de la media, se mantuvo también durante la primera quincena de marzo. 

Estadísticas de la primera quincena de marzo de 2020 del servidor proyectodescartes.org

Pero, la declaración del estado de alarma en España con motivo de la pandemia producida por el COVID-19, que provocó el cierre generalizado de centros escolares el día 13 de marzo —aunque en algunas comunidades comenzó con antelación el 10 de marzo— condujo a la duplicación de las páginas servidas diariamente.   

El domingo 15 publicamos el artículo "Educación a distancia y gratuita con Descartes" y recibió más de diecisiete mil visitas en un día y, junto a su divulgación en las redes sociales, contribuyó a propagar el potencial y la realidad de nuestro proyecto, mostrando cómo, no sólo podemos ayudar en situaciones habituales de docencia presencial sino también en estos tiempos díficiles donde la formación ha de continuarse forzosamente en la distancia.

Estadísticas segunda quincena de marzo 2020 del servidor proyectodescartes.org

Este confinamiento se extendió también a algunos países de latinoamérica. En particular a Colombia donde, por esta desgracia común, nuestros colegas de RED Descartes Colombia también planificaron acciones en sus instituciones educativas y en ellas han divulgado ampliamente los recursos de RED Descartes y su uso integrado en plataformas y/o herramientas. Todo ello ha contribuido significativamente a este incremento de prestaciones en nuestro servidor. 

En este contexto el día 30 alcanzamos el máximo de páginas servidas en este mes, fueron más de doscientas catorce mil páginas (si bien no es un récord diario, ya que éste se alcanzó de manera esporádica en marzo de 2017 con 284332 páginas).

Todo ello ha contribuido a ese incremento sustancial de páginas servidas y también de accesos, de archivos, de visitas, de clientes y de Gb. Y todo muestra que ¡ahora! en los momentos difíciles y ¡siempre!, nuestro trabajo altruista tiene un alcance cuantitativo importante y me atrevo a asegurar, aseguro, que también cualitativamente conseguimos un alcance educativo que es intenso, profundo y de gran calidad.

Con sabor agridulce, porque no está el mundo para muchas celebraciones, como colectivo humano que ponemos mucho tiempo e interés en contribuir a la educación y formación de los habitantes de esta aldea global de manera altruista, tenemos que congratularnos de poder llegar a tantas y tantas personas y así haber podido superar el anterior recórd que teníamos registrado. Han sido más de cuatro millones de páginas, cuatro millones de mensajes de solidaridad, ánimo y ayuda.

Muchas gracias a todos los que os acercáis a este servidor, a los que hacéis una valoración positiva de nuestra labor y a los que regresáis para que podamos aprender todos juntos.

¡Continuamos...! y venceremos al COVID-19.

La siguiente tabla refleja un detalle algo más extenso de lo acontecido estadísticamente en este mes de marzo de 2020 en proyectodescartes.org

Nota bene: Aunque en este artículo nos hemos centrado en el número de páginas servidas, en el resumen estadístico anterior también se pueden observar otros parámetros que dan perspectivas adicionales a lo acontecido en nuestro servidor en este mes, por ejemplo:

• Se han conectado más de quinientos mil clientes (conexiones realizadas desde diferentes direcciones IP).
• El contenido servido ha sido superior a un Tb, aproximadamente unos 1128 Gb, lo que representa haber replicado el contenido completo de nuestro servidor (52 Gb) más de veinte veces en la nube.