El 1 de junio de 2013 constituimos la organización no gubernamental sin ánimo de lucro denominada "Red Educativa Digital Descartes" (RED Descartes) con el objetivo de dar continuidad y mejorar el proyecto educativo denominado "Proyecto Descartes". Este último surgió en junio de 1998 en torno a la herramienta de autor denominada "Descartes" que introducía la posibilidad de que el profesorado pudiera generar objetos educativos interactivos de manera asequible y que, mediante ellos, el alumnado pudiera lograr su aprendizaje de manera significativa a través de la simulación y de una respuesta automática contextualizada a sus intervenciones. Se contaba con una herramienta que podía promover un cambio metodológico en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas y que ayudaba a difundir el saber a través de las TIC. Éstas, en aquel momento, comenzaban a extenderse de manera rápida. ¡Haga memoria!, bueno, quien tenga edad para ello, y recuerde que en aquel momento ¡no existía ni Google!, que la velocidad de transferencia de datos era comedida y que los teléfonos inteligentes y tabletas sólo existían como primigenios prototipos de la realidad que se ha alcanzado con posterioridad. ¡Era otro mundo!, pues, aunque ahora nos parezca extraño, esos apéndices que nos han surgido en las manos ¡son artefactos de escasa edad!, meros adolescentes en una analogía temporal humana.

Quienes constituimos y damos soporte a este proyecto hemos de sentirnos satisfechos por habernos mantenido dentro del maremágnum tecnológico cambiante y por la labor educativa realizada. Así pues, debemos de festejar con orgullo este nuevo aniversario, felicitándonos por los logros alcanzados, por los objetivos logrados en este último año y, a la vez, al apagar las velitas expresemos el deseo y la voluntad de poder seguir trabajando altruistamente para la mejora educativa en nuestra aldea global.   

Y terminamos, como hicimos hace un año con una manifestación que no nos molesta reiterar:

   ¡Continuamos...! ¡Con ilusión, iniciamos un nueva vuelta al Sol... con Descartes!

¡Felicidades a todos los cartesianos!

 ¡Feliz vigésimo cuarto aniversario del Proyecto Descartes! y ¡Feliz noveno cumpleaños de RED Descartes!

En este nuevo artículo sobre la ontogenia matemática del Nautilus, después de haber modelizado los septos en el segundo y tercer verticilio bajo el invariante de tangencialidad, nos adentramos en la modelización de los septos en el primer verticilo. Esta primera fase de crecimiento vimos que se muestra diversa y con apariencia poco regular, cambiante (menor número de cámaras septales,  ocho frente a las dieciséis de la etapa juvenil y adulta, con secciones y amplitudes que cambian como necesidad biológica para alcanzar la flotabilidad) y, ahora, ha llegado el momento de mostrar el modelo matemático que da explicación a esta etapa e introduce la regularidad esperada que parecía no acaecer, pero que queda al descubierto bajo la perspectiva matemática. De nuevo, el hecho de que intervengan dos espirales con diferente polo, en este caso  la espiral de la pared ventral y la espiral de los polos de los septos, conduce a proporciones variables entre los radios vectores y consecuentemente a que se formen septos con factores de escala variables. Ello nos conduce y permite determinar las ecuaciones de los septos, los puntos de tangencia con la pared ventral y los de intersección con la pared dorsal (para ello necesitaremos introducir un grosor en el modelo matemático de esa pared, que es lo que físicamente acontece).

Completaremos el contenido de este documento agrupando y relacionando entre sí diferentes puntos que se han ido detectando en este análisis. Unos que denominamos notables, porque matemáticamente son los que establecen el modelo matemático y dan explicación causal al mismo, y que son polos de diferentes espirales. Y otros que catalogaremos como destacables, posible fuente de inspiración matemática futura, y que son centros desde los que algunos objetos se observan con perspectiva angular constante.

Propociones entre los radios vectores de la espiral ventral y los de la espiral de los polos de los septos	Puntos notables y destacables

Así pues, doy continuidad a los artículos anteriores (I, II, III, IV y V), con un contenido adicional que espero sea de su interés —¡para mí es siempre una satisfacción! ir pudiendo relatarles progresivamente lo que, poco a poco, me cuenta la concha de este animalito—, y he de adelantarles que serán necesarios algunos artículos adicionales porque aún nos quedan secretos que dilucidar en esta ontogenia, en particular lo que acontece en la transición de la fase embrionaria (primera y segunda cámara septal) donde el sifúnculo cambia abruptamente de posición, y en la fase de transición entre el primer y segundo verticilo (cámaras octava, novena y décima) donde al finalizar la primera vuelta se produce el encuentro del fragmacono con la concha embrionaria. Y también habrá que abordar la síntesis o resumen final, es decir, plasmar y reproducir ese modelo ontogénico de la concha del Nautilus.​

El sifúnculo en la segunda cámara septal	Transición entre el pimer y segundo verticilo

Como observamos, una mirada atenta y un continuo deseo de comprensión nos hace ir visualizando cada vez más detalles que inicialmente pueden parecer nimios, pero que finalmente se han ido mostrando como retos cuya resolución es de interés. Todo ello, a costa de que a ustedes a lo mejor les ocurra como a mi sobrina nieta (Aurora, cerca de los cuatro años) que ayer, al verme una vez más delante de la pantalla de mi ordenador, indagando la imagen de la sección del Nautilus con diversos objetos matemáticos superpuestos, la cual ya ha observado en multitud de ocasiones y quizás hayan sido demasiadas para ella, dijera: "¡Tita!, ¡el tito todavía no ha hecho sus deberes!". Por tanto, espero poder ir finalizando mis deberes, que realmente no son más que satisfacciones aunque requieran esfuerzo y dedicación, y que en el trancurso hacia su final les pueda tener como lectores y juntos podamos desarrollar nuestra vocación como  μαθηματικός (mathēmatikós) o amantes del conocimiento. 

En el siguiente pdf (o desde este enlace) tienen desarrollados los contenidos de este artículo

Ontogenia matemática del Nautilus VI

Este obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional 

En este mes de mayo de 2022 hemos publicado el tercer número de nuestra publicación periódica: "Revista Digital de la RED Descartes" —panhispánica, educativa e interactiva—. En esta ocasión se integran diez artículos con contenidos variados que cubren aspectos sobre el nuevo teclado virtual que se ha incluido en la herramienta DescartesJS; una breve  guía descriptiva e histórica de qué es un kinetoscopio y cómo se puede desarrollar un simulador del mismo con Descartes; también se muestra el uso de escenas interactivas como soporte para la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, en particular aquí, de los escintores, de la función lineal y cuadrática y de  la rotación de Rodrigues; una propuesta de elaboración colaborativa de un primer libro de los Elementos de Euclides —basándose en la edición de Byrne— introduciendo interactividad, y se aporta una muestra de cómo podría quedar esa posible nueva edición de este bonito libro; igualmente se abordan y desarrollan algunas cuestiones pedagógicas en el entorno tecnológico en el que nuestra red desarrolla su labor, competencias digitales, estrategias didácticas e interactividad en la Universidad 4.0; se expone y profundiza en la necesaria difusión de la gran participación de la mujer en la Ciencia y cómo fomentar la ilusión de las niñas para su integración habitual en el desarrollo de la labor científica; y finalmente, pero no en el orden incluido en el sumario, una reflexión acerca de cómo la documentación de las escenas interactivas, sin más que usar los campo "info" que aporta la herramienta, puede ayudar a quienes deseen comprender el funcionamiento y la matemática embebida en una escena o a facilitar la labor a quienes quieran retocar o modificar una escena. 

Confiamos en que este tercer número te parezca atractivo, variado y entretenido y, puedes acceder a él sin más que cliques con el ratón o pulses con tu dedo sobre la imagen que tienes un poquito más abajo y, seguro, que más de un artículo se convertirá en foco de tu interés.

Recuerda que puedes aportar tus comentarios y observaciones, tu retroalimentación es importante para nosotros. ¡Conecta con RED Descartes! Y si deseas compartir, tus artículos serán muy bienvenidos ¡queremos leer, interactuar y aprender contigo!

 ¡Quedáis invitados a publicar vuestros artículos en nuestra revista!  Como referencia para la composición de su contenido podéis consultar las "Normas de publicación" y para cualquier duda o propuesta quedamos atentos en nuestra dirección de correo Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo..

Conseguir que todos los niños y niñas vivan, disfruten y amen las matemáticas ha sido siempre el compromiso vital de Maria Antònia Canals, matemática y pedagoga que, ejerciendo la docencia en tiempos difíciles, impulsó y lideró líneas de renovación pedagógica, diseñó estrategias didácticas y creó recursos educativos para que los niños y niñas aprendieran matemáticas "tocándolas", manipulando, animando a observar, investigar, sacar conclusiones e inculcando el método científico en su aprendizaje. Por cierto, un sencillo lema que recoge y aglutina una serie de conceptos curriculares actuales como atención a la diversidad, personalización de la enseñanza, escuela inclusiva o inteligencia emocional en el aula.

De la ingente cantidad de información que podemos encontrar en la red de internet sobre nuestra querida compañera Maria Antònia, hemos seleccionado un audiovisual de corta duración en el canal de la Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT), donde nos muestra y explica estrategias para una clasificación libre de objetos y aplicaciones de las plantillas circulares, además de insistir en la importancia de la expresión verbal para el aprendizaje de las matemáticas:

Parte de la labor educativa de Maria Antònia Canals ha quedado reflejada en el conjunto de materiales manipulativos que ha elaborado y compilado durante su extenso periodo docente. Desde el Proyecto Descartes se ha abordado la producción de recursos TIC que buscan contribuir a la difusión y conocimiento de esos materiales, pero introduciendo una perspectiva enmarcada en el uso educativo de dichas tecnologías y su funcionamiento en ordenadores, tabletas y smartphones gracias a la herramienta DescartesJS. Una inmersión digital que, si bien obliga a una reinterpretación, refleja y recoge la experiencia y guía educativa de la profesora Canals y del proyecto homónimo de RED Descartes, ong de la que Maria Antònia era socia.

Desde RED Descartes transmitimos nuestro más sentido pesar a su familia y compartimos estos duros momentos.

De los 375 objetos de aprendizaje interactivos del Proyecto Canals, y con todo nuestro cariño hacia Maria Antònia, hemos seleccionado para compartir en su homenaje el que nos explica en el vídeo con las denominadas plantillas circulares, que permiten descubrir un número del que se conoce una fracción, facilitando el cálculo mental en este campo numérico.

A estas alturas de curso es bastante habitual trabajar algún tema de Geometría, por lo que me pareció oportuno compartir un SCORM de este bloque de contenidos. En concreto, realicé una adaptación de una escena en la que se practica la clasificación de cuadriláteros del tema "Polígonos, perímetros y áreas" de ed@d de 1ºESO.

En la escena aparece un cuadrilátero junto con una regla para medir los lados si fuera necesario, y hay que decir si se trata de un cuadrado, un rectángulo, un rombo, un romboide o un trapecio. En la adaptación, añado un botón donde se suman los aciertos hasta realizar un total de 10 ejercicios, así como un texto que indica el número de aciertos logrados y, una vez completados los 10 ejercicios, aparece una pantalla resumen que indica el número de aciertos obtenidos y permite enviar la nota o reiniciar el ejercicio.

Descargar ejercicio de clasificación

Como siempre, se agradecen los comentarios o sugerencias.

Durante la primera quincena del mes de marzo se ha desarrollado el proceso de inscripción en el curso para el "Diseño de libros interactivos", que forma parte del programa de Educación Abierta de RED Descartes, con tal grado de aceptación que, una vez más, ha superado nuestras expectativas. Una demanda de participantes procedentes de diecisiete países, 17, de habla hispana e inglesa, con docentes y profesionales de la educación que comprenden las etapas educativas de primaria, secundaria, bachillerato y universidad, así como una amplia gama de especialidades.

Compartimos el siguiente diagrama de sectores con el porcentaje de participación por países:

En esta ocasión, Perú se convierte en el país con mayor índice de participación, seguido muy de cerca por Colombia, que siempre ha liderado la formación en el diseño de libros interactivos, que se convierten en el soporte ideal para nuestras programaciones de aula, con facilidad para insertar o embeber la selección de recursos multimedia, la secuenciación de actividades o tareas para nuestro alumnado, los detalles del nuevo proyecto que pensamos desarrollar, las producciones digitales de nuestro alumnado y los proyectos de colaboración escolar, además de, obviamente, para su uso como libro del s. XXI.

Con objeto de conocer visualmente el alcance geográfico del proyecto, compartimos una amplia zona del mapamundi, coloreando los países con participantes y de verde los mencionados con alto grado de implicación en esta nueva edición:

Recordamos a todos los participantes que el curso comienza el viernes 25 de marzo y finaliza el 1 de julio de 2022, impartiéndose las sesiones de 7 AM a 8 AM en el horario oficial de Colombia, de acuerdo al siguiente calendario previsto y contenidos a tratar:

Las sesiones se impartirán por videoconferencia usando la herramienta Meet de Google, para lo cuál, cada participante recibirá, tanto en su calendario de Google como en el grupo de Whatsapp del curso, el enlace de acceso a la reunión, que será grabada para, posteriormente, compartirla desde el grupo de Whatsapp y en el portal de la RED Descartes, donde se dispone, desde estos momentos, de algunas recomendaciones iniciales y de los enlaces para descargar las herramientas necesarias.

Desde la sesión inicial, independientemente del nivel de competencia digital, cada participante podrá comenzar a redactar y diseñar su primer libro interactivo, así que ¡ánimo a todos!, pues comenzamos una nueva y apasionante singladura.

Finalizamos compartiendo el vídeo de bienvenida, presentación e introducción al curso:

En noviembre de 2019, la UNESCO proclamó el 14 de marzo de cada año como Día Internacional de las Matemáticas, con el fin de destacar el papel fundamental que desempeñan las ciencias matemáticas para hacer frente a los desafíos de nuestro tiempo en ámbitos como la inteligencia artificial, la salud, el cambio climático, la energía y el desarrollo sostenible y la mejora de la calidad de vida de la sociedad en general. 

Para las personas que accedan por primera vez a esta información, debemos recordar que hemos venido celebrando desde hace años el conocido como "Día de π", una efemérides motivada por la forma de expresar la fecha diaria en el mundo anglosajón, es decir, 3/14, coincidiendo con las primeras cifras de este irracional número, considerado como una de las constantes matemáticas más importantes y conocidas.

En estos momentos, cuando vivimos y sufrimos lo peor de la raza humana, no podía haberse elegido mejor lema para la efemérides que "Las matemáticas que unen", que unen a las personas, que unen a los pueblos, que unen en el respeto, que unen en la diversidad, que unen en la admiración de cada cultura, que unen para vivir en paz en un lugar del Cosmos donde hay espacio para todos.

Como el fin de RED Descartes es promover la renovación y cambio metodológico en los procesos de aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas, y también en otras áreas de conocimiento, utilizando los recursos digitales interactivos generados con la herramienta de autor Descartes JS, hemos recopilado una humilde colección de objetos interactivos con los que, cualquier docente que no haya podido planificar este evento previamente para su aula, o cualquier alumno o alumna autodidacta, puede participar desde un equipo tecnológico instalado en el aula o desde sus propios dispositivos móviles.

Juego didáctico basado en las matemáticas y sus teoremas, con una selección de veinte, la gran mayoría tratados y presentes en los diseños curriculares de esta materia en las etapas de educación secundaria obligatoria y bachillerato, aunque cada jugada dispone de quince preguntas con el formato del tradicional 50X15, ideal para presentarlo en la PDI del aula y organizar un par de equipos, con la posibilidad de buscar información, en caso de necesidad, en los dispositivos móviles del alumnado o el equipo tecnológico del espacio utilizado.

Con varias capturas de pantalla como tutorial, mostramos las sencillas instrucciones para acceder al juego didáctico, desde este enlace o sobre la imagen inferior.

La Semana de la Educación Abierta (Open Education Week) es una oportunidad para compartir activamente y aprender sobre los últimos logros en Educación Abierta en todo el mundo. OE Week brinda a los profesionales, educadores y estudiantes la oportunidad de obtener una mayor comprensión de las prácticas educativas abiertas y de inspirarse en el maravilloso trabajo que está desarrollando la comunidad en todo el mundo. Unos objetivos que encajan perfectamente con el lema de Red Descartes: "trabajando altruistamente por la comunidad educativa de la aldea global". Por ello, en esta nueva edición, que se desarrolla durante los días comprendidos entre el 7 y el 11 de marzo de 2022, desde Proyecto Descartes hemos decidido colaborar, compartir y aportar algunos de nuestros proyectos en la línea de la OE Week, centrándonos en los más recientes y abarcando las diferentes líneas de la Educación Abierta.

Pero antes, para nuestros seguidores, docentes, comunidad educativa y ciudadanía, en general, conviene recordar el origen oficial y concepto de Recurso Educativo Abierto, que aparece en París en junio de 2012, durante el Congreso Mundial sobre los Recursos Educativos Abiertos (REA), y que "designa a materiales de enseñanza, aprendizaje e investigación en cualquier soporte, digital o de otro tipo, que sean de dominio público o que hayan sido publicados con una licencia abierta que permita el acceso gratuito a esos materiales, así como su uso, adaptación y redistribución por otros sin ninguna restricción o con restricciones limitadas". Una definición cuyos requisitos cumplen escrupulosamente los recursos interactivos generados con la herramienta de autor Descartes JS y compartidos con la aldea global en el portal de la ong RED Descartes.

RECURSOS EDUCATIVOS ABIERTOS EN LENGUA PORTUGUESA

FORMACIÓN ABIERTA

Además de los recursos educativos abiertos en lengua portuguesa y de los cursos para formación, a los que puede accederse desde cada imagen al espacio de la Open Education Week, desde RED Descartes hemos presentado nuestra revista digital y la herramienta de autor de software libre Descartes JS, el pilar sobre el que se sostiene nuestra RED.

REVISTA DIGITAL RED DESCARTES

¿Por qué es importante la Educación Abierta?

La gente quiere aprender. Al proporcionar acceso gratuito y abierto a la educación y al conocimiento, la educación abierta ayuda a crear un mundo para apoyar el aprendizaje. Los estudiantes pueden obtener información adicional, puntos de vista y materiales para ayudarlos a tener éxito. Los trabajadores pueden aprender cosas que los ayudarán en el trabajo. La facultad puede recurrir a recursos de todo el mundo. Los investigadores pueden compartir datos y desarrollar nuevas redes. Los maestros pueden encontrar nuevas formas de ayudar a los estudiantes a aprender.

Las personas pueden conectarse con otras personas que de otra manera no se encontrarían para compartir ideas e información. Los materiales se pueden traducir, mezclar, dividir y compartir abiertamente de nuevo, lo que aumenta el acceso e invita a nuevos enfoques. Cualquiera puede acceder a materiales educativos, artículos académicos y comunidades de aprendizaje de apoyo en cualquier momento que lo deseen. La educación está disponible, accesible, modificable y gratuita".

 (El párrafo anterior ha sido extraído literalmente de la web de la Open Education Week)

HERRAMIENTA DE AUTOR DE SOFTWARE LIBRE DESCARTES JS

En nuestro modelo uniforme del Nautilus (Galo et al. 2016) detectamos que los septos son arcos de espirales cordobesas y, adicionalmente, que sus respectivos polos estaban ubicados también en una espiral cordobesa. Ése fue, quizás, el mayor y más novedoso avance logrado en la modelación de esta concha. No obstante, allí, no abordamos la evidente diferencia que acontece entre ellos según las etapas vitales de estos especímenes y, consecuentemente, lo que ocurre también en las cámaras septales que determinan. En especial, esas diferencias se presentan entre el primer verticilo y en los dos restantes. Allí, tampoco profundizamos en el modelado de las intersecciones de los septos con la pared ventral y la dorsal y sólo aventuramos una posible base teórica del fragmacono en base al gnomon de un triángulo cordobés. Ahora, habiendo profundizado en el estudio de la literatura existente sobre la ontogenia biológica del Nautilus y también en el análisis matemático del modelo propuesto entonces, es el momento de adentrarnos en un modelo matemático diferenciado por fases, es decir, de abordar la ontogenia matemática de los septos.

Siguiendo lo indicado en los artículos anteriores de esta serie (puede consultar: I, II, III y IV), y en particular en lo relativo a la modelación de la pared dorsal y ventral de la sección sagital de la concha, partimos de una base o fundamento primordial que es el que justifica y explica el distinto comportamiento de los septos entre el primer verticilo y los siguientes. En el primero, ambas paredes se corresponden con arcos de dos espirales cordobesas que tienen diferente polo, sin embargo, en el segundo y en el tercer verticilo las espirales de ambas paredes son copolares, tienen el mismo polo, siendo realmente arcos de una única espiral con un retardo angular entre ambas de 2π. Así pues, dado que la complejidad es mayor en el primer verticilo vamos a proceder en orden cronológico inverso y analizaremos en primer lugar el segundo y tercer verticilo y posteriormente el primero.

Los septos en el segundo y tercer verticilo

La pared ventral en el segundo y tercer verticilo viene dada por

       (20) 

donde θ_i  es el ángulo que marca el inicio de la concha embrionaria  y θ_f  la terminación de la misma delimitando la boca de la concha.

Y en el mismo instante^[1] angular vital θ, la pared dorsal sería:

    (21)     

La espiral que contiene a los polos de los septos es:

     (22)

donde e es un factor de escala o de retardo en la espiral cordobesa ^[2].

Y cada septo, ver (11 en IV), es un arco de una espiral:

     (23)

donde determina la amplitud angular del arco de esa espiral que comprende el septo n-ésimo; ρ determina unívocamente cada uno de los puntos de dicho septo, pero todos ellos se corresponden con un mismo instante vital^[3]; d es un factor de escala o de retardo a determinar en el modelo; y  es el polo de la espiral que incluye a ese arco septal n-ésimo y que perteneciendo a la espiral (22) quedará determinado por un valor α_n.

La aplicación en el modelo de la que hemos denominado invariante tercera (tangencialidad entre la pared ventral y las paredes de los septos) nos puede llevar a determinar los parámetros antes citados. De partida:

• Toda espiral logarítmica es equiangular, así pues, en cualquier punto de la espiral la recta tangente y el radio vector forman siempre un mismo ángulo ψ. Éste es característico de cada tipo espiral y depende sólo de la base b que la define, siendo . En el caso de una espiral cordobesa este ángulo es ψ ≃ 80,32º, al ser la base logarítmica o exponencial que la define κ = 1,185580...
• Al ser tangentes la espiral ventral y la septal, ambas comparten la misma recta tangente. Y dado que ambas espirales son cordobesas entonces, consecuentemente, los radios vectores de ambas han de estar también en la misma recta, porque ambos han de formar el mismo ángulo con la tangente común.

 
(i) Espiral azul discontinua: pared dorsal en el segundo verticilo. (ii) Espiral azul continua y de puntos: pared ventral en el segundo verticilo.
(iii) Espiral magenta: espiral de los polos de los septos. (iv) T_n: punto de tangencia septo y pared ventral; S_n: polo del septo y P: polo común de la espiral dorsal, de la ventral y de la de los polos de los septos.
Fig. 40. Tangencialidad de los septos con la pared ventral. 

Por tanto (ver Fig. 40), si T_n es el punto de tangencia del n-ésimo septo (con n>8, pues en el primer verticilo hay ocho septos), S_n es el polo de éste y P el polo de la pared ventral, tenemos que:

• Al ser T_n un punto de la espiral ventral, entonces: 

         (24) 

para algún θ.

• Al ser S_n un punto de la espiral de los polos de los septos, por (22), 

      (25)

donde α = θ al estar alineados P, S_n, y T_n y ser P el polo común a la espiral ventral (20) y a la espiral de los polos de los septos (22).

• Al ser T_n un punto del septo n-ésimo

   (26)

para algún valor de d y ρ.

Y dado que 

   (27)

de las relaciones anteriores, (24) a (26), obtenemos que:

.    (28)

Expresando en (28) d = d' κ^{θ - ρ}, es decir, considerando que ρ es un ángulo de retardo, tenemos:

    (29)

Y de ahí

d' = 1 - e.       (30)

 En Galo et al. (2016) detectamos que en la espiral de los polos de los septos (22) e ≃ 0,5 e igual acontecía para la espiral que da forma a los arcos de los septos. Aquí la relación obtenida en (30) conduce a considerar que e = 0,5 (exactamente ese valor^[4]), pues en ese caso también es d' = 0.5, y consecuentemente la espiral correspondiente a un determinado arco septal se obtiene sin más que realizar una traslación de la espiral de los polos para que el polo de ésta coincida con el polo de dicho septo. (ver fig. 41).

Fig. 41. Obtención de un arco septal como traslación de un arco de la espiral de los polos. 

Intersección de la pared dorsal y los septos en el segundo y tercer verticilo

Centrémonos ahora en la determinación de la intersección de los arcos de los septos con la pared dorsal y la amplitud de estos.

Fig. 42. Parámetros que definen los septos en el segundo y tercer verticilo.

Para el septo n-ésimo, según la denominación de los ángulos reflejados en la fig. 42 y fijado el valor de e = 0,5, por (25) tenemos que:

     (31)

El punto D_n, intersección de ese septo con la pared dorsal, por pertenecer a ella y según (21) verifica que

    (32)

y, a su vez, por pertenecer al arco del septo:

     (33)

• Aplicando el teorema del coseno en el triángulo de vértices P, S_n y D_n:

  (34) 

        y considerando las expresiones (31), (32) y (33) llegamos a la igualdad:

    (35)

• Aplicando el teorema del coseno en el triángulo de vértices T_n, S_n y D_n, y teniendo en consideración que  obtenemos que:

   (36)

Y puesto que las coordenadas de los puntos que intervienen en esa igualdad son:

se tiene que:

     (37)

Y teniendo en consideración (31) y (33)

    (38)

Por tanto, la igualdad (36) queda expresada como:

    (39)

A partir de (35) y (39) tenemos un sistema de dos ecuaciones que nos relaciona al ángulo γ (amplitud del arco del septo), con el β (retardo del punto de intersección dorsal del septo D_n, respecto al punto de intersección ventral T_n). Este sistema puede reescribirse como:

      (40)

 Es decir,

  (41)

Escena interactiva 5. Determinación numérica de la amplitud del septo.
Pulse sobre la imagen para interactuar libremente con ella.

La resolución numérica de la ecuación (41) (puede observarse en la escena interactiva 5, donde la gráfica en azul se corresponde con la función en la variable γ, definida por la expresión del miembro de la izquierda en (41) con 0 ≤ γ ≤π) nos permite determinar:

• La amplitud del septo : γ = 2,5090... radianes ≃ 143,76º.
• El desplazamiento entre la intersección dorsal y la ventral : β = 0,6831... radianes ≃ 39,14º.
• El ángulo entre los radios vectores  y : 

Apoyándonos en que en una espiral cordobesa el ángulo que forma el radio vector con la recta tangente es de 80,32 º tenemos que (ver Fig. 43) el ángulo que forma la recta tangente a la pared dorsal en D_n con la recta tangente al septo en ese mismo punto es de 75,38º, es decir el septo no interseca a la pared dorsal perpendicularmente, si no formando con respecto a esa perpendicular un ángulo de 14,62º. Eso concuerda con lo indicado por Mutvei &  Doguzhaeva (1997), que ya reflejamos en la figura 20, y la depresión septal dorsal en el área media ―sección o corte que es el que estamos analizando en este estudio― lo que hace es corregir dicha desviación respecto a la perpendicular buscando aportar y lograr, quizás, una mayor consistencia (eso es lo que puede interpretarse de este hecho aportado por la matemática).

Este comportamiento teórico es el mismo tanto en el segundo como en el tercer verticilo, pues en ambos casos la pared dorsal y ventral comparten el mismo polo. En el tercer verticilo, esa depresión dorsal parece ser menos notable, al menos aparentemente, si bien sí pueden visualizarse o intuirse (interactuar por ejemplo con la digitalización del Nautilus del Museo Dundee ―figura 22―). Matemáticamente no hay diferencia.

 Fig. 43. Ángulo de incidencia entre septo y pared dorsal en el segundo y tercer verticilo.

Ecuaciones del modelo 

Así pues, en estos dos verticilos los arcos de los septos tienen por ecuación (23), donde para cada n ≥ 8  (en el primer verticilo hay ocho septos y el octavo da inicio al segundo) tenemos que:

• d = 0,5.
•  siendo 
• ρ ∈ [ α_n - γ, α_n ], con γ = 2,5090...

Los puntos de tangencia son: T_n ( ) y los de intersección con la pared dorsal pueden escribirse:

• como punto de la pared dorsal: D_n (), donde denotamos β_n = α_n - 2π - β con β = 0,6831.
• como punto del arco de septo: , .

Síntesis

La introducción de la tangencialidad entre la pared ventral y los septos nos ha permitido lograr la modelación matemática de la sección sagital del Nautilus en el segundo y tercer verticilo y acentuar el caracter cordobés de sus elementos. En la escena interactiva 6, podemos observar e interactuar con este modelo.

 Escena interactiva 6. Modelo tangencial de los septos y de la pared ventral en el segundo y tercer verticilo.
Pulse sobre la imagen para interactuar libremente con ella.

El camino seguido en el análisis anterior nos puede servir de guía para abordar el estudio de los septos en ese primer verticilo tan especial. Especial por ser la pared dorsal y la ventral espirales cordobesas con distinto polo y, como veremos, por ser ésta la causa esencial de esas cámaras diferentes y esos septos variables. Un estudio que considero es interesante y matemáticamente bonito. Pero siento dejarles con la miel en los labios ya que lo dejaré para un nuevo artículo... espero no tenerles en vilo mucho tiempo.

Bibliografía 

Galo J.R., Cabezudo A. y Fernández I.(2016) : Sobre la forma y crecimiento cordobés del Nautilus Pompilius. Epsilon, 2016, Vol. 33 (3), nº 94.

Mutvei, H. and Doguzhaeva, L. (1997): Shell ultrastructure and ontogenetic growth in Nautilus pompilius L. (Mollusca: Cephalopoda). Palaeontographica Abteilung A Palaeozoologie–Stratigraphie, vol. 246, p. 33–52.

Ward, P. (1979). Cameral liquid in Nautilus and ammonites. Paleobiology, 5(1), pp. 40-49.

Ward, P., Greenwald, L., & Magnier, Y. (1981). The chamber formation cycle in Nautilus macromphalus. Paleobiology, 7(4), 481-493. doi:10.1017/S0094837300025537

^[1] Al no tener una referencia temporal del crecimiento del Nautilus, sólo podemos señalar un mismo instante vital teórico mediante el uso de una amplitud angular común. De esta manera establecemos momentos, atemporales, en la que se han de dar coincidencias vitales. En este caso, para un valor fijado de θ, conocemos el punto de la pared ventral y el punto de la pared dorsal que están relacionados entre sí.

^[2] En estos verticilos, en el modelo uniforme se detectó que e ≃ 0,5, que es un valor próximo al valor medio del factor correspondiente al sifúnculo y al del de la pared dorsal ―Galo et al., 2016―.

^[3] Para conocer el proceso de formación de las cámaras de los nautilos podemos acudir a lo estudiado y analizado por Ward, Greenwald y Magnier (1981) en su artículo “The chamber formation cycle in Nautilus macromphalus”. Estos autores basan su estudio en la observación radiográfica (ver figura 26) de diferentes ejemplares en distintos momentos y, así, pueden analizar las variaciones que acontecen y realizar mediciones que llevan a plantear un crecimiento periódico que comprende tres fases:

• Formación de una cresta mural en la posición que ocupará el nuevo septo. Esta cresta es una delgada banda anular interna de carbonato cálcico.
• Desplazamiento hacia delante del manto septal para ubicarse a la altura de la cresta mural y ajustarse a ella. Inicio del proceso de calcificación del nuevo septo. También el sifúnculo comienza a calcificar un anillo de conexión en el interior de la nueva cámara uniendo el septo anterior y el nuevo. Durante esta fase la nueva cámara está llena de líquido cameral (Ward, 1979) y no acontece ningún vaciado de la misma, pero ese vaciado sí continúa en las cámaras anteriores.
• Vaciado del líquido de la nueva cámara, que se inicia cuando el nuevo tabique ha alcanzado de un tercio a dos tercios de su espesor final. Este vaciado se denomina acoplado pues el líquido está en contacto con el anillo de conexión sifuncular. En esta fase el tabique septal sigue construyéndose, engrosándose, finalizando este proceso cuando el volumen del líquido vaciado es aproximadamente el 50% y ya no está en contacto con el anillo sifuncular, momento en el que se pasa a un proceso de vaciado desacoplado y comienza la formación de una nueva cresta mural y, consecuentemente, un nuevo ciclo.

Durante el ciclo de formación de una cámara, el crecimiento de la concha exterior parece ser que es continuo, pero hay una correlación inversa entre el porcentaje de líquido que se ha vaciado en la última cámara construida y la amplitud angular de la cámara habitacional. A medida que la cámara septal está más vacía la cámara habitacional es mayor y viceversa. Esta relación logra mantener la flotabilidad ya que cuando la nueva cámara está más llena de líquido el peso de la concha en la zona habitacional es menor y a medida que decrementa el líquido aumenta la amplitud de la zona habitacional. El inicio de cada cámara representa un punto crítico para la flotabilidad global, pero esto se compensa con el vaciado desacoplado que sigue aconteciendo en las cámaras anteriores.

^[4] También se apuntó la posibilidad de que ese valor correspondiera a la espiral intermedia entre la del sifúnculo y la pared dorsal, es decir, , pero en este caso d' ≠ e, es decir las dos espirales citadas son diferentes. De ahí que optemos por el valor e = 0.5.

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