¡Séptimo aniversario de RED Descartes! ¡Vigésimo segundo del proyecto Descartes! ¡Nuevo récord de páginas servidas desde nuestro servidor!... centros educativos cerrados, sociedad confinada, enfermedad, sufrimiento, muerte... pandemia. ¡Ciencia, investigación, estudio, aprendizaje, esfuerzo, colectividad, solidaridad!

¡Acumulación de acontecimientos, de sentimientos y de agradecimientos!

Cumplir años en tiempos de pandemia superando récords mes a mes gracias al incremento en el número de nuevos amigos que, estando confinados, necesitan satisfacer su aprendizaje y ejercer su docencia en entornos virtuales, provoca una acumulación de sentimientos contrapuestos. Todo acontece a causa de la concatenación de las extrañas y duras circunstancias en las que vivimos en estos días, pero contribuye a la consecución de nuestros objetivos como asociación. Un paradójico oxímoron que desde RED Descartes tratamos de revestirlo aglutinando la ilusión que nos motiva a trabajar altruistamente con el agradecimiento a quienes nos eligen y, que al hacerlo, dan valor y sentido a nuestro esfuerzo. Agradecimiento que hemos de hacer explícito a nuestros patrocinadores: grupo IC e Hidral que desde el mundo empresarial, con profunda visión social, han apoyado nuestro proyecto educativo y obviamente estos logros también son suyos. Gratitud al Ministerio de Educación español por impulsar y promover el desarrollo del proyecto y la herramienta Descartes durante sus primeros catorce años, al Instituto de Matemáticas de la UNAM por auspiciar el desarrollo de DescartesJS, a la Institución Universitaria Pascual Bravo de Medellín (Colombia) promotora de los libros interactivos y a nuestra red hermana ColDescartes. Y a todos los que en estos veintidós años habéis contribuido a que este proyecto, esta RED, sea una realidad.

¡Felicidades a todos los socios y miembros de RED Descartes!

Los cumpleaños, a cierta edad, suelen acumular sentimientos encontrados pues son hitos significativos en los que se interseca el pasado y el futuro, momentos de reflexión en la transición o continuidad vital. Generan alegría y tristeza, esperanza y añoranza, certeza y duda, perdurabilidad y caducidad. Son  momentos en los que lo transcurrido puede, debe, actuar de trampolín para la mejora, más cuando las circunstancias en el entorno no son óptimas y mucho más cuando son más bien desfavorables.

Hoy, 1 de junio de 2020, cumplimos siete añitos como organización no gubernamental sin ánimo de lucro. Hace siete años que decidimos y llevamos a cabo la constitución de la asociación "Red Educativa Digital Descartes". ¡Ya! siete no es mucho, pero es que son veintidós los transcurridos desde que en 1998 surgió el proyecto Descartes, un proyecto de profesorado centrado en la mejora de la educación matemática —en sus orígenes, pero despúes en cualquier materia— usando las TIC y los recursos interactivos desarrollados con la herramienta Descartes.  A este proyecto, inicialmente promovido por el Ministerio de Educación español y desarrollado a través de él hasta el año 2012, le tuvimos que dar continuidad, impulso y mejora desde una perspectiva independendiente no gubernamental. 

Este aniversario acontece en el preocupante y difícil contexto de una pandemia que se ha adentrado drásticamente en el entorno educativo impidiendo la relación cotidiana directa entre el alumnado y el profesorado dado que los centros escolares de todos los niveles ¡están cerrados! Un cambio drástico en los procedimientos y metodologías que han tenido que encaminarse al uso intensivo y extensivo de las TIC. Pero para poder llegar a una planificación adecuada, que contribuya a intensificar la adquisición de la competencia de "aprender a aprender" y la de autonomía personal, es necesario contar con recursos que potencien y ayuden a ese logro. Y los recursos de nuestra RED, que han sido desarrollados por profesorado que imbuye en ellos su experiencia de aula, pensamos y valoramos que pueden ayudar significativamente a la consecución de ese objetivo, ahora y siempre. Pero el navegante discente y/o docente que llega a nuestro servidor de contenidos es quien tiene en su mano, literalmente, la capacidad de elección. ¡Y eso es lo que ha hecho!

En junio del pasado año coincidió que festejábamos nuestro aniversario con un récord en el número de páginas servidas en un mes (más de dos millones cuatrocientas mil) y estos tiempos de pandemia se han ido incrementando el número de páginas servidas y a la vez se han concatenando nuevos récords. En marzo, con sabor agridulce, superamos los cuatro millones de páginas, en abril ¡ayudamos en los tiempos del COVID-19! con más de cuatro millones seiscientas mil y en este aniversario comunicamos nuestro nuevo récord al haber superado los cinco millones de páginas en el recién acabado mes de mayo. 

La siguiente tabla refleja un detalle de lo acontecido estadísticamente en este mes de mayo de 2020 en proyectodescartes.org

Si estos logros estadísticos se han ido sucediendo es porque al otro lado de nuestro/vuestro servidor estáis todos vosotros que nos elegís y que retornáis para dar continuidad a vuestro aprendizaje o docencia. Consecuentemente, también hemos de hacer una acumulación equitativa de agradecimientos y daros millones de gracias por dar sentido a nuestra labor altruista.

En ese cúmulo de agradecimientos hemos de ser especialmente explícitos en nuestro reconocimiento al grupo empresarial IC S. L. (consultar artículo I y artículo II)  y a la empresa HIDRAL (consultar artículo), porque desde la perspectiva empresarial han puesto de manifiesto de manera nítida que la formación y la educación es un pilar básico en su modelo de empresa y que en la reinversión social de sus logros y éxitos, ése es un foco básico de interés. Gracias a su patrocinios económicos hemos tenido suficiente holgura monetaria para disponer y mantener, durante los años 2017, 2018 y 2019,  la imprescindible infraestructura TIC para el alojamiento de contenidos y difusión de los mismos y, así, poder llegar a todos los amantes del saber y del aprender que nos visitáis. Este agradecimiento se refleja en muchos recursos (pulsad sobre las imágenes para ver un par de ejemplos)  

También hemos de agradecer grandemente al Instituto de Matemáticas de la UNAM (Universidad Nacional Autónoma de México) el patrocinio para el mantenimiento y mejora de la herramienta DescartesJS y a José Luis Abreu León que con genialidad y eficiencia ha mimado y mima a Descartes en esta extensa e intensa trayectoria de veintidós años. Y a Joel Espinosa Longi y a Alejandro Radillo Díaz que aportan su buen hacer y saber, y su juventud, dando continuidad vital a la herramienta y con ella al proyecto.

Nuestro agradecimiento a la Institución Universitaria Pascual Bravo de Medellín (Colombia) por su apoyo directo al proyecto Descartes y especialmente por impulsar los libros interactivos y publicarlos bajo su sello editorial, y a nuestra red hermana "Red Educativa Digital Descartes Colombia" que no sólo suma sino que multiplica poniendo de manifiesto la sinergia de la colaboración.

Y en la reflexión acerca de lo vivido hay que remontarse al nacimiento y a los primeros años, aquellos en los que se asientan los pilares de un futuro seguro y firme, y así agradecer a Agustín Quintana Alonso y a Juan Madrigal Muga, que desde el Intef del Ministerio de Educación español, vislumbraron y trazaron las líneas primigenias del proyecto Descartes, atisbando que este proyecto educativo tenía que configurarse como un proyecto de profesorado en pro de la comunidad educativa, que llegara y se desarrollara a pie de aula y que introdujera cambios metodológicos apoyados en la tecnología, pero donde ésta quedara diluida.

Agradecimiento a todos los pioneros cartesianos que, en el interludio de cambio del siglo XX al XXI, acudieron con ilusión a trasladar su inquietud y experiencia profesional en los albores de Descartes y que aportaron los mimbres con los que se empezó a dar forma a un proyecto y a una realidad —perdonad que no detalle aquí vuestros nombres, la lista es amplia y sería muy probable que cometiera una omisión imperdonable, todos estáis reflejados en nuestro servidor de contenidos a través de las aportaciones que habéis ido realizando—. Gratitud a quienes conformaron proyectos de profesorado análogos usando la herramienta Descartes como el proyecto Newton (hoy unificado dentro de la RED Descartes) y a todos los que en estos veintidós años habéis dedicado en algún momento parte de vuestro saber, de vuestro tiempo y de vuestra experiencia aportando lo que habéis podido, sin cuantificar si es poco o mucho porque toda contribución es importante. 

Y, finalmente, agradecimiento infinito a todos los socios de RED Descartes por haber constituido esta asociación y seguir con empeño contribuyendo día a día a la consecución de sus objetivos estatutarios.

 ¡Continuamos...! ¡Con ilusión iniciamos un nueva vuelta al Sol... con Descartes!

En este artículo se describen y clasifican las superficies regladas desarrollables poniendo de manifiesto que éstas son cilindros, conos y superficies tangenciales. Y, mediante el uso de Descartes, se permite al usuario abordar la construcción virtual de "su" cilindro y cono personalizado, pero también se le da la posibilidad de convertirlo en un objeto tridimensional tangible sin más que proceder a la obtención automática de su desarrollo plano y, mediante su impresión en papel, proceder a su construcción. 

Superficies regladas desarrollables

Una superficie es reglada si está constituida por una familia de rectas. Todas estas superficies se pueden parametrizar como:

                  (1)

donde  y  son curvas en el espacio tridimensional. La primera es la curva base o curva directriz y la segunda es el vector director de cada una de las rectas (generatriz). Efectivamente, fijado un valor del parámetro u puede observarse que la expresión obtenida es la ecuacion de una recta y, variando  u, geométricamente lo que se puede interpretar es que se va recorriendo cada punto de la curva base  y por él pasa una recta cuya dirección viene dada por .

También puede expresarse de manera equivalente como:

           (2)

que algebraicamente representa, para cada valor de u, a una recta (o un segmento si consideramos 0 ≤ v ≤ 1), pero en este caso lo que se pone de manifiesto es que esa recta se apoya en un punto de la curva  y en otro de la .

El ejemplo más simple de superficie reglada es un plano, pero entre otras, también lo son los cilindros, los  conos, la banda de Moebius, el hiperboloide, etc.

Cilindro generalizado	Cono generalizado
Banda de Möbius	Hiperboloide

Una herramienta matemática que permite caracterizar la curvatura de cualquier superficie regular es la denominada curvatura de Gauss, y se verifica que dicha curvatura es invariante por isometrías. Todas las superficies regladas cumplen que su curvatura de Gauss es menor o igual que cero y, en particular, que la curvatura de Gauss de un plano es identicamente nula. En base a lo anterior, todas las superficies regladas que tienen curvatura cero son isométricas con el plano y son denominadas como  superficies desarrollables ya que, consecuentemente, pueden construirse a partir de su desarrollo plano.

En la parametrización (1) la condición de curvatura nula equivale a que el denominado parámetro de distribución sea nulo, y éste viene dado por:

     (3)

o en el caso de la parametrización (2) como:

        (4)

De (4) se observa que para que la superficie reglada sea desarrollable tiene que ocurrir que para todo u el vector tangente a la curva , el vector tangente a  y el vector director de la recta que une a ambas curvas sean coplanarios al ser el producto mixto de los tres cero, o dicho de otra forma que el plano tangente es constante  lo largo de cada recta generatriz.

Pero un análisis más detenido de cuándo es identicamente nulo el parámetro de distribución nos puede permitir clasificar a las superficies desarrollables. Así en la expresión (3):

1. 1. Si  es identicamente nulo, entonces  es un vector constante, es decir que todas las rectas tienen la misma dirección y la superficie es un cilindro generalizado de ecuación .
   2. Si   es idénticamente nulo, entonces  es el vector de posición de un punto V y la superficie desarrollable es un cono generalizado de vértice V, cuya ecuación sería . También puede expresarse en función de una curva base como .
   3.  En cualquier otro caso se demuestra que es una superficie tangencial, que mediante un cambio de parámetro se puede expresar como .

Superficies desarrollables con Descartes

En el proyecto "El metro: patrón inexacto para medir exactamente", que en el año 2004 contó con una ayuda de la Junta de Andalucía (España) para la elaboración de materiales y recursos educativos digitales, desarrollamos con Descartes en su versión Java algunos objetos educativos interactivos sobre conos y cilindros generalizados incluyendo la posibilidad de obtener su desarrollo plano. En este año 2020 hemos procedido a adaptarlos a DescartesJS y a mejorar sus posibilidades, en particular en lo relativo a forma de obtener ese desarrollo plano, a incluir  la posibilidad de su impresión y consecuentemente a la posibilidad de su reproducción tangible tridimensional. Estos recursos actualizados están publicados en el subproyecto "misceláneas" de la RED Descartes y los enlazamos a continuación aquí en dos triadas de imágenes que respectivamente se corresponden con cilindros y conos generalizados.

En la primera triada correspondiente a los cilindros tenemos:

• "Cilindro generalizado" donde se muestra la construcción de un cilindro tomando como curva base una elipse y en la que podemos cambiar la dirección de la recta generatriz. La escena permite reproducir la generación del cilindro mediante desplazamiento de la generatriz sobre la curva base; simular y obtener el desarrollo plano; imprimir dicho desarrollo y el de las bases del cilindro. Adicionalmente, dado el contexto en el que se desarrolló originalmente esta escena —el metro—, se puede obtener un sistema de referencia basado en meridianos y paralelos.
• "Ejemplos de cilindros generalizados" donde se puede elegir diferentes curvas base (circunferencia, elipse, parábola, rama de hipérbola, segmento, cardiode, deltoide, bifolium, astroide, bicircular) y reproducir las acciones indicadas en la escena anterior. 
• "Construyo mis cilindros" que como indica el título permite al usuario definir la curva base en coordenadas paramétricas y la dirección de la generatriz que desee y con ellas construir su cilindro generalizado. De nuevo puede realizar de manera virtual interactiva las acciones ya indicadas, pero también procediendo a la impresión del desarrollo pasar a disponer de la versión tangible de "su" cilindro. Para cada curva base cambiando el número de segmentos que se desean considerar en la representación se obtienen diferentes cilindros, para simular el caso continuo basta seleccionar un número de segmentos suficientemente elevado. 

Cilindro generalizado	Ejemplos de cilindros generalizados	Construyo mis cilindros

De manera análoga en la triada correspondiente a los conos generalizados tenemos:

• "Cono generalizado" en el que se  muestra la construcción de un cono tomando como curva base una elipse y en la que podemos cambiar su vértice. La escena interactiva permite reproducir la generación del cono mediante desplazamiento de la generatriz sobre la curva base; visualizar el cono completo; simular y obtener el desarrollo plano; imprimir dicho desarrollo y el de la base del cono. Adicionalmente, dado el contexto en el que se desarrolló originalmente esta escena —el metro—, se puede obtener un sistema de referencia basado en meridianos y paralelos.
• "Ejemplos de conos generalizados" donde se puede elegir diferentes curvas base (las mismas que en el caso de los cilindros) y reproducir las acciones indicadas en la escena anterior. 
• "Construyo mis conos" que permite al usuario definir la curva base y el vértice y construir su cono generalizado tanto virtual como tangible..

Cono generalizado	Ejemplos de conos generalizados	Construyo mis conos

En estos objetos interactivos se ha considerado que la curva base es una curva plana, así pues, he de ponerme la tarea de incorporar la tridimensionalidad de la curva base y presentarlo en un próximo artículo en este blog. Y, adicionalmente, este trabajo debería incoporar el caso de superficies tangenciales que implictamente, a priori, entraña cierta dificultad si se deja libertad de definición al usuario, pero sobre ello ya hablaremos.  

Finalizo reseñando que para la obtención automática y animada del desarrollo plano del cilindro y el cono se aplica la rotación de Rodrigues descrita en un artículo anterior de este blog. Lo que se hace es plantearlo como el desarrollo plano de un prisma o una pirámide que se ajuste suficientemente al cilindro o cono dado. En la animación siguiente se refleja el desarrollo plano de un cilindro generalizado en el que su base es la curva denominada bifolium.  

Pulsa sobre la imagen para ampliarla

Bibliografía

Lucas, E. (2017). Superficies regladas [Trabajo fin de grado]. Universidad de Murcia. 

Rosado, E (2010). Superficies regladas [Apuntes docentes]. Universidad Politécnica Madrid.

En RED Descartes finalizamos el mes de marzo con sabor agridulce, pues en el tristísimo contexto de una pandemia global logramos ¡un nuevo récord en nuestro servidor proyectodescartes.org! El mes de abril transcurrió en confinamiento y a la amarga suma de tantos y tantos fallecidos se hace muy difícil anexar ninguna otra contabilización. Sólo constatando que hay unicidad entre vida y muerte y que en el transcurso o ciclo de un estado a otro la formación es imprescindible, nos atrevemos a cuantificar, en cierta forma, nuestra altruista contribución a la comunidad educativa de la aldea global en estos tiempos de COVID-19. En el mes de abril de 2020 hemos alcanzamos un nuevo récord y han sido más de cuatro millones seiscientas mil páginas las que hemos servido y en cada una de ellas hemos añadido siempre ¡mucha ilusión, ánimo y esperanza!

En el mes de abril de 2020, el número de páginas servidas desde nuestro servidor proyectodescartes.org ha experimentado un incremento de más de quinientas mil páginas con respecto al mes de marzo, un 14% más que el récord alcanzado ese mes y casi un 200% respecto al anterior récord que conseguimos hace un año, en mayo de 2019. En total: 4 666 818 páginas.

El cierre de los centros educativos, motivado por la pandemia del COVID-19, ha provocado perspectivas educativas diferentes, han surgido nuevas necesidades y muchas de ellas han podido ser satisfechas a través de nuestro proyecto educativo. Eso es lo que hemos podido constatar en nuestro servidor que ha estado bastante ocupado dando servicio a las peticiones realizadas y que, afortunadamente, se ha portado de manera eficiente en casi todo el tiempo transcurrido. En algún momento el elevado número de conexiones ralentizó la respuesta y casi llegó al bloqueo, pero una reconfiguración del sistema ha devuelto la agilidad necesaria.  

En la siguiente tabla se puede consultar en detalle parte de lo que acontecido observando las estadísticas de los registros automáticos en nuestro dominio proyectodescartes.org. Quien se adentre un poco en esa tabla puede observar que el día 10 y el 11 hay reflejadas unas cantidades muy bajas en relación al resto, la razón es que esos dos días tuvimos problemas con los archivos de "log" y no contabilizaron adecuadamente lo acontecido esos dos días, por tanto, el récord podría haber sido mayor al que reflejamos aquí. Pero no es nuestra preocupación, ni objetivo esencial, el superar récords, establecer marcas, nuestro fin es únicamente educativo y el seguimiento de estas estadísticas es meramente para tener una orientación del servicio que damos y de la utilidad de nuestro trabajo, con el matiz de que somos conscientes que la cantidad aporta sólo una visión parcial. Visión que hay que complementar cualitativamente con otras informaciones conseguidas por otros medios y que no son objeto de análisis aquí.  

La siguiente tabla refleja un detalle algo más extenso de lo acontecido estadísticamente en este mes de abril de 2020 en proyectodescartes.org

Nuestro agradecimiento a todos los que os acercáis a este servidor, a los que hacéis una valoración positiva de nuestra labor y a los que regresáis para que podamos aprender todos juntos.

¡Continuamos...! 

En el artículo "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" llegamos a la conclusión de que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, según la orientación dada por Pascal a su triángulo, entonces, por simetría, tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton. Eso es lo que se refleja en la siguiente imagen.

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton.
Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

En este artículo vamos a centrarnos en analizar cuándo un coeficiente binomial es divisible por un determinado número primo, un problema sobre el que podemos encontrar bastantes resultados con fundamento aritmético y algebraico. Aquí, nos centraremos en aquellos resultados que nos permitan determinar y visualizar gráficamente esas congruencias, es decir, poder obtener el gráfico de la imagen anterior, u otros análogos, sin necesidad de calcular el coeficiente binomial y determinar su congruencia u obtener ésta mediante una recurrencia.

La primera representación gráfica de estas congruencias puede situarse en un brevísimo artículo de Kung (1976). Esa gráfica se muestra en la siguiente imagen, la situada a la izquierda, y en la de la derecha se refleja la gráfica análoga, pero mostrándola según la orientación original de Pascal y coloreando en naranja los números combinatorios pares (en ella cada número se determina observando el correspondiente índice superior en color azul y en rojo el inferior):

Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal. Kung, S. H. L. (1976). Parity triangles of Pascal’s triangle. Fibonacci Quart. 14: 54;	Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal en su orientación original

Kung adicionalmente afirma, sin incluir la demostración, que para i entero no negativo:

• Si n = 2ⁱ  y 1 ≤ k ≤ n-1, entonces  es par. 
• Si n = 2ⁱ-1 y 0 ≤ k ≤ n, entonces  es impar.

Y ello se observa en las imagenes anteriores ya que para n = 0, 3, 7, 15, 31, todos los símbolos en esas filas o diagonales, respectivamente, son asteriscos (números impares). Y para  n = 2, 4, 8, 16, 32, son todos cruces (números pares), salvo el primero y el último.

Ese es un breve artículo, pero que marca unas pautas que son extrapolables a la obtención de patrones en las congruencias con cero módulo otros números primos. De hecho, ese resultado es un caso particular de los dos que fueron enunciados en 1947 por N. J. Fine en su artículo "Binomial coefficients modulo prime", si bien el primero de ellos (según Joris et al. en un artículo de 1985) ya lo formuló Ram en 1909 (B. RAM, Common factors of n!/m!(n-m)!, (m= 1, 2 ,..., n- l), J. Indian Marh. Club (Madras) 1 (1909), 39-43):

1. La condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes binomiales  con 0 < k < n, sea divisible por un primo p es que n sea una potencia de p.
2. La condición necesaria y suficiente para que ningún coeficiente binomial de índice superior n, con n = n₀ + n₁ p + n₂ p² + ⋅⋅⋅ + n_m p^m, siendo 0 ≤ n_r < p y n_r > 0,  sea divisible por p es que n_r = p - 1 para r < m. 

Veamos cómo se reflejan estos resultados de una manera gráfica en las dos imágenes siguientes:

• En la imagen izquierda, se refleja gráficamente el primer resultado cuando p = 3, mostrándose todas las líneas en las que todos los números combinatorios son divisibles por 3, salvo el primero y el último. Esas líneas se corresponden con   con 0 < k < n y  n = 3⁰, 3¹, 3², 3³,... Gráficamente vienen a ser las "hipotenusas" de los triángulos rectángulos que particionan al triángulo de Pascal y que lo muestran a diferentes escala y posteriormente utilizaremos esta analogía y terminología coloquial para ubicar y describir otros resultados.
• En la de la derecha se reflejan aquellas líneas en las que ningún número combinatorio es divisible por 3. En la parte superior de esa imagen se reflejan las separaciones entre esas filas (por falta de espacio tipográfico no se refleja el caso 3⁰) y a la derecha se muestra la descomposición p-ádica del índice n correspondiente a los números combinatorios de cada una de esas líneas (expanda la imagen pulsando sobre ella para verlo). Por ejemplo, para 53 = 2 3⁰ +  2 3¹ + 2 3² + 1 3³ y eso nos muestra el camino de "saltos" de amplitud potencias de tres que se han de dar para, partiendo de 0, llegar a 53 (dos de amplitud 3⁰, dos de 3¹, dos de 3² y uno de 3³). Es decir, logramos mostrar visualmente, geométricamente, lo que queda escondido en un abstracto resultado algebraico, el cual puede ser chocante a cualquiera que accede a él por primera vez. Emulando a nuestro alumnado a la pregunta: ¿a quién se le ocurre que la descomposición p-adica da respuesta a este problema? le mostramos que el resultado algebraico, posiblemente, fue consecuencia de su visualización y la "pureza" matemática procedió a esconderlo. 

Números combinatorios divisibles por 3 para todo k, 0 < k < n  Líneas con todos los números combinatorios divisibles por 3 salvo los extremos	Números combinatorios no divisibles por 3 para ningún k, 0 ≤ k ≤ n Líneas con ningún número divisible por 3

En la miscelánea del final de este artículo podemos reproducir las situaciones descritas para cualquier primo hasta el 31 y en este enlace se tiene un muestrario rápido de las mismas. 

Y justamente, en base a la observación de esos patrones geométricos, podemos visualizar y deducir la propiedad que nos permite detectar todas las hipotenusas de todos los triángulos rectángulos isósceles que muestran esas congruencias. Podemos ver cómo hay triángulos de diferente tamaño, siendo p^a-1 el tamaño de las hipotenusas respectivas, y cada uno de ellos tienen una distribución periódica en horizontal y vertical con un periodo p^a. Por ejemplo, en la siguiente imagen se reflejan en color naranja los números combinatorios congruentes con cero módulo 5 y se observan tres tipos de triángulos según su tamaño: los de hipotenusa 4 = 5¹-1, los de 24 = 5²-1 y parcialmente (en la esquina inferior derecha) el de 124 = 5³-1. La hipotenusa del primero se ha reflejado en color verde y el triángulo se repite periódicamente en horizontal y vertical con un periodo 5, según se ve en dicha imagen. La del segundo está reflejada en color violeta y se repite también periódicamente con periodo 5², y así sería de manera análoga y sucesiva. 

 Periodicidad en las hipotenusas de los triángulos congruentes

Lo anterior, ahora le invito a que mire con ojos algebraicos, queda englobado en el resultado que enuncio a continuación:

p es divisor de todos los números combinatorios  con m, a, k ∈ ℕ,  0 < k <  mp^a y k no divisible por p^a     (1)

Este resultado personal puede relacionarse o considerarse como una reinterpretación —que se centra, enfoca y destaca el aspecto de periodicidad— del aportado por Ram (1909) —del que puede verse la demostración realizada por Albree (1972)— que afirma:

Para cualquier entero positivo n , p^r = mcd {  con 0 < k < n, y mcd (k, p)=1 } donde p es primo, r es un entero positivo y p^r divide a n. 

Y ¿por qué les remarco que es de gran interés determinar esas hipotenusas? La respuesta también puede visualizarse en la imagen anterior y lo detallamos a continuación ya que conocida una hipotenusa de números congruentes con 0 módulo p,  con r < k < s, por la propiedad de los números combinatorios que relaciona los de índice superior n+1 con los de índice n,

se deduce que los números combinatorios que componen el triángulo rectángulo T(n; r, s)

          (2)

—ver imagen siguiente— son también congruentes con 0 módulo p. La justificación es simple, dado que la suma de dos números divisibles por p es un número divisible por  p.

Transmisión de la congruencia en las hipotenusas a los triángulos rectángulos

Joris et al. (1985) abordan un estudio más profundo al que necesitamos aquí de las propiedades de estos triángulos y a él dirigimos a quienes estén interesados en incrementar su conocimiento en este tema. 

Combinando (1) y (2), concluyo que los números combinatorios congruentes con 0 módulo p siguen un patrón de triángulos "rectángulos" T(p^a; 1, p^a-1) cuyas hipotenusas están constituidas por los números combinatorios  con a, k ∈ ℕ,  0 < k <  p^a. 

Patrón de triángulos T(p^a; 1, p^a-1) con p=3  y a = 1,2, y 3

distribuyéndose de forma periódica según el esquema:

T(m p^a; 1+k p^a, (1+k)p^a-1)  con 0 ≤ k < m y  a, m ∈ ℕ  

Eso es lo que se observa en el siguiente mosaico de imágenes donde se refleja:

• • imagen superior izquierda: números combinatorios congruente con 0 módulo 3 en color naranja.
  • imagen superior derecha: triángulos congruentes con T(3¹; 1, 3¹-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3.
  • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(3²; 1, 3²-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3². 
  • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(3³; 1, 3³-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3³. 

Esquema de periodicidad de los triángulos T(p^a; 1, p^a-1) con p=3  y a = 1, 2, y 3

Así pues la reproducción de todas las congruencias con 0 es una mera reiteración gráfica, periodicidad, de esos triángulos básicos citados.

Pero dado un número combinatorio  ¿podemos saber si es o no congruente con 0 módulo p sin necesidad de calcularlo, de una manera sencilla, rápida y sin aplicar recursividad, o lo que es equivalente, sin basarse en diagonales, es decir, en números combinatorios con índice superior menor que n? ¡Veamos que sí! y para ello nos vamos a basar en la posición relativa (fila y columna) que ocupa cada número combinatorio en el triángulo de Pascal original. Observemos que el número  ocupa la fila n-k y la columna k, que todos los números combinatorios de índice n cumplen que la suma de la fila y la columna que ocupan es n, y que los números combinatorios del triángulo rectángulo T(n; r, s) cumplen que la suma de la fila y la columna de todos ellos es mayor o igual que n. Con este dato y en base a la periodicidad podemos afirmar lo siguiente:

Dado el número combinatorio , consideremos la descomposición p-ádica de n-k y de k

n-k =  a₀ + a₁ p + a₂ p²+ ⋅ + a_m p^m

 k = b₀ + b₁ p + b₂ p²+ ⋅ + b_m p^m

con m =  max (ent(log_p(n-k)), ent(log_p(k)) ), 0 ≤ a_j, b_j  < p, se verifica que:

 es divisible por p si y solo si a_j + b_j  ≥ p al menos para algún j,  0 ≤ j ≤ m.

Además, para los valores de j en los que  a_j + b_j  ≥ p, entonces  está en un triángulo T(p^j+1; 1, p^j+1-1) de números congruentes con 0 módulo p.

En la siguiente escena se puede reproducir visualmente todos los resultados indicados anteriormente y profundizar en el conocimiento de las interioridades del Triángulo de Pascal. 

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En la imagen anterior se observa como el número combinatorio 30 sobre 23 es congruente con cero módulo 2 y forma parte de un triángulo rectángulo básico de hipotenusa 1 , otro de hipotenusa 3 y otro de hipotenusa 7 (para éste último es evidente, para los dos anteriores haga traslaciones de los triángulos básicos, según el periodo antes indicado, y verá que ese número combinatorio está incluido en ellos). Todo se obtiene sin más que observar la relación de los coeficientes en la descomposición 2-ádica de la fila y columna que ocupa, ya que en este caso, para las tres primeras potencias de 2 la suma de los coeficientes es mayor o igual que el valor del módulo (en este caso 2).

Llegados a esta meta, estando aún confinados por la pandemia del COVID-19, cabe preguntarse si este artículo, y los dos anteriores publicados en este blog sobre este tema, tendrá o no continuidad... el tiempo lo dirá o quizás la necesidad de cambiar de temática para relajar la mente en otros ámbitos lo interrumpa. Tenga o no alguna nueva adenda, gracias a todos los que habéis dedicado parte de vuestro tiempo en leer lo descrito y los nuevos resultados hallados y expuestos en esta trilogía. 

Con sabor agridulce, porque no está el mundo para muchas celebraciones, como colectivo humano que ponemos mucho tiempo e interés en contribuir a la educación y formación de los habitantes de esta aldea global de manera altruista, tenemos que congratularnos de poder llegar a tantas y tantas personas y así haber podido superar el anterior recórd que teníamos registrado. Han sido más de cuatro millones de páginas servidas en el mes de marzo desde nuestro servidor proyectodescartes.org ¡cuatro millones de mensajes de solidaridad, ánimo y ayuda!

Hace diez meses os anunciamos que en el mes de mayo de 2019 habíamos alcanzado un nuevo récord mensual de páginas servidas desde nuestro servidor proyectodescartes.org, en concreto fueron 2413688 páginas, más de dos millones cuatrocientas mil páginas. El mes pasado, febrero de 2020, estuvimos a punto de superar ese récord, pues llegamos a 2383011, es decir, cincuenta mil páginas menos del récord anterior, pero en un mes de sólo veintinueve días y un mes digamos normal en el sentido de que no había sensación de ningún acontecimiento extraño que justificara ese aumento, aunque había cierto runrún en el entorno. Así, se desarrolló estadísticamente ese mes de febrero en nuestro servidor:

Estadísticas de febrero de 2020 del servidor proyectodescartes.org (ayuda)

Ese positivo comportamiento en el numero de páginas servidas diariamente, por encima de la media, se mantuvo también durante la primera quincena de marzo. 

Estadísticas de la primera quincena de marzo de 2020 del servidor proyectodescartes.org

Pero, la declaración del estado de alarma en España con motivo de la pandemia producida por el COVID-19, que provocó el cierre generalizado de centros escolares el día 13 de marzo —aunque en algunas comunidades comenzó con antelación el 10 de marzo— condujo a la duplicación de las páginas servidas diariamente.   

El domingo 15 publicamos el artículo "Educación a distancia y gratuita con Descartes" y recibió más de diecisiete mil visitas en un día y, junto a su divulgación en las redes sociales, contribuyó a propagar el potencial y la realidad de nuestro proyecto, mostrando cómo, no sólo podemos ayudar en situaciones habituales de docencia presencial sino también en estos tiempos díficiles donde la formación ha de continuarse forzosamente en la distancia.

Estadísticas segunda quincena de marzo 2020 del servidor proyectodescartes.org

Este confinamiento se extendió también a algunos países de latinoamérica. En particular a Colombia donde, por esta desgracia común, nuestros colegas de RED Descartes Colombia también planificaron acciones en sus instituciones educativas y en ellas han divulgado ampliamente los recursos de RED Descartes y su uso integrado en plataformas y/o herramientas. Todo ello ha contribuido significativamente a este incremento de prestaciones en nuestro servidor. 

En este contexto el día 30 alcanzamos el máximo de páginas servidas en este mes, fueron más de doscientas catorce mil páginas (si bien no es un récord diario, ya que éste se alcanzó de manera esporádica en marzo de 2017 con 284332 páginas).

Todo ello ha contribuido a ese incremento sustancial de páginas servidas y también de accesos, de archivos, de visitas, de clientes y de Gb. Y todo muestra que ¡ahora! en los momentos difíciles y ¡siempre!, nuestro trabajo altruista tiene un alcance cuantitativo importante y me atrevo a asegurar, aseguro, que también cualitativamente conseguimos un alcance educativo que es intenso, profundo y de gran calidad.

Con sabor agridulce, porque no está el mundo para muchas celebraciones, como colectivo humano que ponemos mucho tiempo e interés en contribuir a la educación y formación de los habitantes de esta aldea global de manera altruista, tenemos que congratularnos de poder llegar a tantas y tantas personas y así haber podido superar el anterior recórd que teníamos registrado. Han sido más de cuatro millones de páginas, cuatro millones de mensajes de solidaridad, ánimo y ayuda.

Muchas gracias a todos los que os acercáis a este servidor, a los que hacéis una valoración positiva de nuestra labor y a los que regresáis para que podamos aprender todos juntos.

¡Continuamos...! y venceremos al COVID-19.

La siguiente tabla refleja un detalle algo más extenso de lo acontecido estadísticamente en este mes de marzo de 2020 en proyectodescartes.org

Nota bene: Aunque en este artículo nos hemos centrado en el número de páginas servidas, en el resumen estadístico anterior también se pueden observar otros parámetros que dan perspectivas adicionales a lo acontecido en nuestro servidor en este mes, por ejemplo:

• Se han conectado más de quinientos mil clientes (conexiones realizadas desde diferentes direcciones IP).
• El contenido servido ha sido superior a un Tb, aproximadamente unos 1128 Gb, lo que representa haber replicado el contenido completo de nuestro servidor (52 Gb) más de veinte veces en la nube. 

Con motivo de la gravísima situación que estamos sufriendo, las autoridades educativas instan a los centros a adoptar las medidas que consideren más adecuadas para garantizar la continuidad de los procesos de enseñanza-aprendizaje a través de tareas y actividades que puedan ser desarrolladas por el alumnado en sus domicilios, utilizando los medios de comunicación electrónicos establecidos o acordados entre el alumnado y el profesorado, como pueden ser entornos virtuales de aprendizaje. Ahora bien, como manifiesta Fernando Trujillo en Twitter, cuya opinión comparto, no debemos empezar buscando la herramienta de comunicación, sino qué información daremos a nuestro alumnado, qué deben desarrollar con ella, cómo deben hacerlo y cómo los evaluaremos, en su caso. Particularmente, y es lo que haré en estos días, recomiendo usar las herramientas de intercomunicación que venimos empleando durante el curso, indicando a nuestro alumnado, día a día, todos los aspectos que menciona Fernando.

Superadas estas decisiones iniciales, obviamente necesitaremos recursos especialmente diseñados para la enseñanza a distancia y, con todos mis respetos a otras alternativas, los que mejor reúnen estas características son los libros interactivos del Proyecto ED@D, que fueron diseñados por el CIDEAD, Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación A Distancia, organismo dependiente del Ministerio de Educación, con el objetivo de atender "a los ciudadanos españoles en el exterior y a aquellas personas que, aun residiendo en territorio nacional, se ven imposibilitadas para recibir enseñanza a través del régimen ordinario", a pesar de encontrarse en edad de escolarización obligatoria.

Por diseño, se trata de un material interactivo autosuficiente, proporcionando tanto las convenientes explicaciones teóricas como un número suficiente de actividades y ejercicios en los que la introducción de semillas aleatorias aportan diferentes instancias de los mismos, permitiendo practicar a la medida de las necesidades de cada cual, ya que van acompañadas de correcciones automáticas. Consecuentemente se promueve el objetivo de “aprender a aprender”, se refuerza la autonomía personal y el adecuado desarrollo competencial.

En base a estos supuestos, cada unidad consta de seis secciones, cuyos detalles pueden consultarse en la página del proyecto, bajo los epígrafes: Antes de empezar, Contenidos y resumen, Ejercicios para practicar, Autoevaluación, Para enviar al tutor y Para saber más, disponiendo de versiones para las distintas materias de Matemáticas en la ESO en castellano, catalán y gallego.

En caso de necesidad, ofrecemos tutoriales con los detalles concretos de cada unidad y el procedimiento para insertar estos y otros recursos en un aula Moodle.

La Organización No Gubernamental RED Descartes viene ofreciendo, desde hace casi siete años, recursos educativos abiertos para todas las etapas educativas durante 24 horas al día y los 365 días del año, de forma completamente altruista, queriendo aportar nuestro granito de arena en estos tiempos tan difíciles. Por ello, elaboramos y difundimos este especial artículo con resumen y acceso a todos los recursos disponibles.

• • • Recursos para Infantil y Primaria
    • Recursos para Educación Secundaria Obligatoria
    • Recursos para Bachillerato
    • Recursos para Universidad
    • Aplicación de Juegos Didácticos en el Aula (Para todas las edades)

En el artículo anterior "El paralelogramo de Newton" se mostró la ampliación que realizó Newton del triángulo de Pascal y cómo, ésta, le condujo a extender la expresión de las potencias binomiales al caso de exponentes enteros negativos. En este artículo mostramos cómo el esquema organizativo con el que Pascal divulgó su triángulo es más adecuado que el que usó Newton (versión escalonada de Stifel), pues conocido el primero, el segundo se obtiene por una simple reflexión y, por tanto, las congruencias existentes entre los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton queda reducida a realizar una simetría de las congruencias del triángulo de Pascal.

Pascal, en su libro Traité du triangle arithmétique (1665) analizó las propiedades del triángulo aritmético que quedó finalmente ligado a su nombre. La forma en que lo organizó y presentó es la reflejada en la siguiente imagen que he tomado de dicho libro, que es de dominio público: 

El triángulo aritmético de Pascal reflejado en su libro Traité du triangle arithmétique

Esa presentación difiere de la forma usual que actualmente suele utilizarse que lo muestra como un triángulo isósceles:

El triángulo de Pascal en su presentación como triángulo isósceles

Y también difiere de la usada por Newton como base para su extensión ya que usó un triángulo rectángulo completado con ceros para obtener un rectángulo:

Presentación del triángulo de Pascal para abordar la extensión de Newton

Esta versión escalonada aparece en el libro Arithmetica Integra (1544) de Michael Stifel (1487-1567), en el reverso de la página 44:

Presentación realizada por Stilfel y usada por Newton para su extensión

Esa extensión, que detallamos en el artículo previo citado, podemos resumirla en la siguiente imagen. En ella, reseñemos que cada fila del rectángulo se corresponde con los coeficientes binomiales del desarrollo de la potencia de un binomio. La fila numerada con el entero n se corresponde con los coeficientes del desarrollo de (a+x)ⁿ, por ejemplo, para n = -1 son los coeficientes de (a+x)^-1 y para n = 2 los de  (a+x)².

El paralelogramo de Newton y el desarrollo binomial

Al expresar los coeficientes binomiales de índice superior negativo en base a otros de índice superior positivo:, podemos observar la relación existente entre los coeficientes en el rectángulo de Newton correspondientes a la extensión realizada por él y los ubicados en la zona de partida de Pascal. Seleccionada una columna, salvo un posible cambio de signo, los coeficientes de la extensión de Newton (filas etiquetadas con números negativos) se corresponden con los del triángulo de Pascal, pero con una traslación en la numeración de las filas. Por ejemplo, para la columna 3 los coeficientes de la zona correspondiente a la extensión de Newton son {-1, -4, -10, -20, -35, -56, -84, ...} que se corresponden con las filas numeradas respectivamente como {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, ...}, y los coeficientes en la zona del triángulo de Pascal son  {1, 4, 10, 20, 35, 56, 84 ,...} pero trasladadas en este caso dos posiciones, pues aquí sendas filas se correponden con {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}. Así pues, si quitásemos todos los ceros y ocupáramos esos huecos trasladando los números de cada columna hacia arriba, obtendríamos una tabla simétrica respecto a la línea de separación existente entre la fila 0 y la -1 (salvo el signo de los coeficiente que para columnas impares será negativo y para las pares positivo), de esta manera conocidos los coeficientes del triángulo de Pascal tenemos también los correspondientes al rectángulo de Newton y consecuentemente bastaría sólo obtener el primero.   

Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo

También podemos establecer otra relación: los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la columna 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la columna 1 y, en general, la fila -n con la columna n-1. Destacamos estas filas pues cada una de ellas nos aporta los coeficientes del desarrollo binomial con exponente negativo.  

Y por la simetría del triángulo de Pascal también tendremos que los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la diagonal 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la diagonal 1 y, en general, la fila -n con la diagonal n-1.

Y omitiendo los ceros y trasladando las columnas hacia arriba para ocupar los huecos, obtenemos la siguiente distribución simétrica (en valor absoluto, insisto). Y en esa imagen hemos omitido la numeración de las filas en la parte inferior ya que esos coeficientes ya no se corresponden con los números combinatorios del triángulo de Pascal por filas, sino que esos coeficientes están ordenados según la estructura original adoptada por Pascal.  

La relación observada en las imagenes anteriores se justifica sin más que detallar la relación existente entre los coeficientes binomiales que ahí están involucrados, y eso es lo que reflejamos a continuación. En el recuadro izquierdo tenemos los coeficientes del rectángulo de Newton, destacando en color naranja la ampliación de los números combinatorios con índice superior positivo o nulo y con índice inferior de mayor valor que el superior, cuyo valor es cero. En el cuadro intermedio se han omitido esos números nulos y se han compactado las columnas para ocupar los huecos. Y en el marco derecho se han expresado los coeficientes binomiales de índice negativo según su equivalencia con los números combinatorios y ahí puede comprobarse la simetría de los coeficientes que ya hemos indicado.

Y con esto ¿a qué hemos llegado? Pues observemos la siguiente imagen que tiene un contenido denso, pero que sirve de resumen.

Coeficientes binomiales y binomio de Newton con exponente natural y entero

En la parte izquierda se reflejan los coeficientes binomiales obtenidos en el cuadro anterior, donde podemos destacar que:

1. Cada fila de la parte superior del rectángulo de Newton —por ejemplo la etiquetada en color azul como -n, ubicada encima de la línea naranja— se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a+x)^-n, tal y como indicamos en el artículo anterior.
2. Cada fila de la parte inferior, que es el triángulo de Pascal en su orientación original, se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a-x)^-n, pues tenemos que:
3. Cada una de las "diagonales" inferiores y superiores, coloreadas en tonos azules, se corresponden respectivamente con los coeficientes binomiales de (a+x)ⁿ y (a-x)ⁿ. 

Así pues, como indicaba al inicio, basta tener el triángulo de Pascal para obtener todos los desarrollos binomiales con exponente natural y entero. En la posición original de Pascal, las filas son los coeficientes del desarrollo de (a-x)^-n y a partir de este desarrollo el de (a+x)^-n basta obtenerlo como (a-(-x))^-n, y las diagonales son los coeficientes del desarrollo de (a+x)ⁿ y el desarrollo de (a-x)ⁿ se obtiene como (a+(-x))ⁿ.

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal

Llegados a este punto, identificados el significado y posición de estos coeficientes binomiales, aquellos que no se acostumbren a esta posición pueden hacer un giro de vértice el del ángulo recto en el triángulo anterior y ángulo -45º y ubicarlo en la posición usual actual. Aquí lo tiene a continuación, ya hemos justificado que es autosuficiente, pero no sólo enseñe cuáles son los coeficientes de las potencias de exponente natural ¡hágalo también con los de exponente entero negativo!

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal 

Obviamente la presentación y orientación es a gusto del lector, pero en la posición dada por Pascal acontece que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y  como lo observamos en la siguiente imagen.

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton. Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes... Pero la profundización en estas congruencias tendremos que dejarlas para un tercer artículo, al que os emplazo dentro de unos días.

En la miscelánea "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" puede observarse lo antes descrito.

Nota bene: Eli Maor en su libro "e: historia de un número" (1994) describe que Newton en 1665 estuvo recluido durante dos años con motivo de la "gran peste de Londres" y que, durante ese tiempo, formó sus ideas sobre el universo y puso los fundamentos de lo que sería un cambio en el curso de la ciencia. Maor, también nos detalla que fue en esta época cuando procedió a la extensión del triángulo de Pascal y a la expansión de la potencia de un binomio a potencias de exponente entero y racional. Trescientos cincuenta y cinco años después, actualmente, estamos en un periodo de reclusión mundial a causa de la pandemia del "Coronavirus COVID-19" y aquí, en este artículo, recordando su "rectángulo".

El "triángulo de Pascal o de Tartaglia" es ampliamente conocido tanto por las curiosas propiedades que en él pueden encontrarse como por su aplicación en el desarrollo algebraico de la potencia de un binomio. Suele aprenderse ligado a lo que usualmente se enseña con el nombre de "binomio de Newton" y que se identifica con la potencia de un binomio cuyo exponente es un número natural. Pero quien enunció o al menos divulgó este desarrollo particular, relacionándolo con ese triángulo, fue Pascal y de ahí que se denomine a dicho triángulo con su nombre. No obstante, el "triángulo de Pascal" ya era conocido, siglos antes, por matemáticos persas y chinos. Según Maor (1994) la aportación concreta de Newton en el contexto del desarrollo binomial se sitúa en el caso del desarrollo con  exponentes racionales y con exponentes enteros y únicamente llegó a conjeturarla sin llegar a abordar o al menos divulgar su demostración. Actualmente este resultado es un caso particular del denominado "Teorema binomial".

Newton abordó la extensión del triángulo de Pascal efectuando un cálculo hacia atrás, de manera que se mantuviera la misma propiedad recursiva de que un elemento de una fila sea el resultado de la suma de dos de la fila anterior siguiendo la propiedad que se verifica entre los números combinatorios.

Con esta extensión recursiva en sentido inverso, Newton construye nuevas filas, cada una de las cuales tiene infinitos números y cuya escritura conduce a la forma de un "paralelogramo" (o si se desea puede mostrarse, en particular,  como un rectángulo) y cada una de ellas puede asociarse a filas que se corresponderían con números "combinatorios" cuyo índice superior serían números enteros negativos.

A su vez, Newton hace corresponder los números ubicados en cada fila con los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio cuyo exponente ya no sólo sería un número natural, sino que en general puede ser un número entero. Y, consecuentemente, a todos los números del paralelogramo de Newton los denominaremos coeficientes binomiales (pierde sentido asociarlo con el número de combinaciones). El desarrollo del binomio conduce a un número finito de sumandos cuando el exponente es natural e infinitos (una serie) cuando es un entero negativo.

En la miscelánea "Extensión del triángulo de Pascal: El paralelogramo de Newton" se muestran los coeficientes binomiales de dicho paralelogramo. Pulsando el botón "indicaciones" de este recurso se pueden consultar algunos detalles adicionales. 

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

La representación de dicho paralelogramo numérico entraña dos dificultades principales a medida que se incrementa la cantidad de números a visualizar. Por un lado, el espacio que necesita ocupar la escritura de cada coeficiente binomial que progresiva y rápidamente va aumentando, al ser mayor el número de cifras que lo constituyen. Y, por otro, el tiempo de cálculo necesario para ubicar, desplazar y representar en la tabla dichos coeficientes y para poder escalarla (si se desea). Adicionalmente, el cálculo de los coeficientes conduce a números enteros que superan el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 2⁵³-1 (algo superior a 9 mil billones); así pues, en esos casos no se refleja el coeficiente y se colorea la casilla donde iría ubicada con un fondo rojizo.  

En dicha escena se pueden visualizar, mediante colores, pautas geométricas de cómo se distribuyen dichos coeficientes cuando se plantean congruencias numéricas respecto a un divisor y resto seleccionado. No obstante, estas distribuciones pueden observarse mejor si no se muestran los valores de los coeficientes y ello es lo que se aborda en la miscelánea: "Congruencias en el paralelogramo de Newton"

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En este caso (ver las indicaciones incluidas en la miscelánea) la dificultades siguen centrándose en el espacio necesario para representar el paralelogramo cuando el número de filas y columnas considerado es elevado, pero al no reflejarse el número en sí, cada uno de estos coeficientes ocupa el mismo espacio y puede escalarse hasta el extremo de que ocupe un único píxel. Por otro lado, el cálculo de las congruencias puede hacerse de manera recursiva sin necesidad de calcular el coeficiente y consecuentemente no se ve afectado por lo indicado sobre el máximo entero admisible en javascript. Obviamente, las necesidades computacionales son elevadas y, por defecto, en la escena se ha limitado el número de filas y columnas a 400, pero editando la escena puede cambiarse.

Para evitar que cada interesado tenga que dedicar tiempo en la generación de las imágenes de las congruencias, he preparado un muestrario de consulta para las congruencias con los números primos hasta el treinta y uno, representando los coeficientes binomiales de índice superior en el rango desde -999 a 999 y de índice inferior de 0 a 999. Éste está accesible en la miscelánea: "Muestrario de congruencias en el paralelogramo de Newton", pudiéndose ampliar las imágenes ahí incluidas.

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En un próximo artículo en este blog, mostraré que si retomamos el esquema organizativo original que Pascal (Traité du triangle arithmétique, 1665) utilizó al presentar y analizar las propiedades de este triángulo numérico, entonces los patrones de las congruencias que se observan en él son mas fáciles de identificar y pautar, y la extensión de estos a los coeficientes binomiales con índice superior un entero negativo se realiza de manera trivial.

Finalmente, quienes deseen aplicar los coeficientes binomiales y practicar con el desarrollo algebraico de potencias de un binomio pueden usar las siguientes misceláneas:

Ejercicios de desarrollo algebraico usando el "Binomio de Newton"

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Ejercicios del "binomio de Newton" con exponente entero

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