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Entre los diferentes recursos de la RED para el estudio de ecuaciones cuadráticas, se propone en este artículo una serie de objetos de aprendizaje del subproyecto Prometeo, para el análisis de los diferentes tipos de ecuaciones de 2º grado. Se utilizan diferentes métodos de resolución según se trate de ecuaciones completas o incompletas.

Estas unidades están indicadas para los últimos cursos de la ESO y el bachillerato.

Las unidades seleccionadas pertenecen al grupo Recursos educativos interactivos de matemáticas para el bachillerato, una serie de recursos creados por el Equipo Descartes, que forman parte del proyecto Prometeo, promovido por el Departamento de Educación del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México.

Relación de los objetos seleccionados:

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0.

Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0.

Ecuaciones de la forma a(x+m)² = n.

Ecuaciones de la forma (ax+b)· (cx+d) = 0.

Ecuaciones cuadráticas completas: ax² + bx + c = 0.

En cada unidad se indica, en primer lugar, el procedimiento a seguir para su resolución y análisis del número de soluciones. A continuación se presenta una escena de ejercicios resueltos y finalmente, una escena de ejercicios para practicar con autocorrección.

Para su aplicación en el aula se propone insertar estos recursos en un aula Moodle.

En el siguiente vídeo se puede ver con detalle algunas de las actividades que contienen estos recursos:

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  portada Epsilon núm. 106

En el número 106 de la revista Epsilon (ISSN: 2340-714X) de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales se ha publicado el artículo titulado "Congruencias en el triángulo de Pascal y el rectángulo de Newton" cuyo autor es nuestro socio José R. Galo Sánchez. Un trabajo de investigación, que como se refleja en la filiación de la autoría, ha sido desarrollado dentro de nuestra RED Descartes.

Este trabajo fue prepublicado en nuestro blog en tres artículos en los que el autor divulgaba la investigación realizada:

y, posterioriormente compiló el artículo que sometido a revisión por pares se ha publicado en la revista indicada.

En el resumen  se indica :

"El rectángulo de Newton surge como extensión del actualmente denominado triángulo de Pascal partiendo de la versión escalonada de Stifel. Sin embargo, si se parte del esquema organizativo aportado por Pascal entonces el rectángulo de Newton se obtiene mediante una simple simetría signada. Así pues, basta estudiar las congruencias con cero de los números combinatorios y en su análisis aportamos que éstas se ubican en una sucesión de triángulos básicos que se distribuyen de manera periódica. En base a esa periodicidad se incluye un criterio que permite determinar directamente la congruencia de un número combinatorio."

El plantemiento conceptual que sigue, puede sintetizarse en:

  • Presentación del conocido triángulo de Pascal en su representación actual como triángulo isósceles escalonado y como triángulo rectángulo que es la original de Pascal, y presentación del menos divulgado rectángulo de Newton.
  • Reducción del rectángulo de Newton al de Pascal mediante una simetría signada.
  • Muestra de las congruencias con cero en el triángulo de Pascal y revisión de resultados previos de otros autores. Esos resultados se presentan normalmente de manera algebraica y, en general, son oscuros y difíciles de interpretar por profanos dada la abstracción que suele introducir el Álgebra, pero aquí son visualizados geométricamente quedando mostrados de manera diáfana tanto para legos como para ilustrados. 
  • Finalmente se enuncian algebraicamente los resultados obtenidos por el autor, los cuales muestran la periodicidad de las congruencias módulo p de los números combinatorios y la regla que permite su determinación directa a partir de la descomposición p-ádica del índice superior e inferior, y se visualiza el porqué de ese resultado.

Todo está aderezado por numerosas escenas interactivas que permiten al interesado reproducir la investigación y cómo, apoyándose en ellas, puede potenciarse la reflexión que permite alcanzar la meta lograda. ¡Acceda pulsando sobre la siguiente imagen!

CongruenciasPascalPulsa sobre la imagen para abrir la escena

Os incluimos a continuación dicho artículo y os invitamos a su lectura, a que realicéis observaciones y comentarios al mismo y a que lo divulguéis a través de vuestras redes sociales y profesionales. También a que, usando los recursos interactivos ahí enlazados y disponibles en nuestra web, abordéis actividades en vuestra aulas en las que divulgar el Triángulo de Pascal, el rectángulo de Newton y las curiosas congruencias que acontecen en ellos y a la vez que podáis promover en vuestro alumnado la inquietud básica, la chispa a partir de la cual se cataliza la vocación  investigadora. 

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Una cuestión fundamental a la hora de utilizar juegos didácticos es la forma de ponerlos en práctica. El diseño, la preparación previa, la contextualización, los recursos, etc, son aspectos fundamentales para su buen funcionamiento. Pero podemos ir un paso más allá, utilizando los juegos aplicando metodologías de gamificación, sumergiendo a los participantes en un entorno, mecánicas y dinámicas que potencian y enriquecen el proceso de una forma significativa. En este artículo vamos a tratar cómo hemos realizado una actividad gamificada utilizando los juegos del Proyecto AJDA y presentaremos un vídeo donde se muestra su resultado, su título es:

“El Cazador. A la caza de los secretos de la Alquimia”

 
Nos situamos en la Europa medieval, los alquimistas buscan entre otras cosas la riqueza y la eternidad. La piedra filosofal y el elixir de la vida son sus codiciados objetivos, pero la rivalidad entre los alquimistas es feroz y los grandes maestros no permiten a los advenedizos irrumpir en su jerarquizado mundo por temor a que alcancen antes que ellos lo que llevan toda la vida buscando, y harán lo que haga falta para impedirlo.
 
Cuatro iniciados en el arte de la Alquimia pretenden conseguir las riquezas y secretos que tras ella se ocultan, pero la Gran Maestra alquimista está al tanto de los planes de sus pupilos y urde un plan para darles caza uno a uno y arrebatarles los tesoros conseguidos y así mantener su estatus y preponderancia.
 
El pueblo será testigo de los duelos entre la Gran Maestra y sus aprendices y trasmitirá estas vivencias de generación en generación hasta convertirse en leyenda.
 
El objetivo de los aprendices alquimistas será conseguir la mayor cantidad de oro posible mediante la transmutación de sus puntos y lo que es más importante, salvar su vida que se ve amenazada por la Gran Maestra que se siente traicionada por sus rebeldes pupilos y ve peligrar su posición en el gremio. Esta batalla se llevará a cabo a través del concurso "El Cazador", cuya dinámica explicamos a continuación.
 
En este concurso participan cuatro jugadores y se estructura en tres fases:
  • Primera fase. Cada jugador, recibirá durante un minuto preguntas por parte del presentador, y por cada acierto conseguirá 1.000 puntos.
  • Segunda fase. Con los puntos conseguidos el participante se enfrentará en un duelo de preguntas individual al “cazador o cazadora” (oponente experto/a). El cazador hará una oferta de puntos por encima y otra por debajo de los conseguidos por el concursante, que según la propuesta elegida estará a cuatro, cinco o seis casillas de llegar a “casa”. A continuación empieza “La caza”, concursante y cazador recibirán preguntas que deberán responder de forma simultánea e independiente. Por cada acierto avanzarán una casilla. El objetivo del jugador es llegar a “casa” y el del cazador atraparlo antes. Cada uno de los cuatro jugadores realizará de forma individual las dos primeras fases, los participantes que sean “cazados” en la segunda fase serán eliminados y los que lleguen “a casa” sumarán al bote común del equipo los puntos ganados en la segunda fase y se enfrentarán al cazador en la “caza final”.
  • Tercera fase (“caza final”). Durante dos minutos los jugadores no eliminados recibirán preguntas por parte del presentador. Cada una deberá ser respondida por un solo jugador, el que primero dé al pulsador (si responde otro la respuesta se considerará fallada). Cada acierto dará al equipo de jugadores una casilla de ventaja. Además el equipo partirá con una ventaja inicial de tantas casillas como jugadores haya clasificados. Después llega el turno del “cazador”, que durante dos minutos recibirá preguntas. Si el cazador falla una pregunta habrá rebote para el equipo de jugadores, que de forma conjunta podrá responder, y si acierta hará retroceder una casilla al “cazador”. El equipo de jugadores gana si el cazador no logra igualar las casillas de ventaja que los jugadores han conseguido y el premio se reparte a partes iguales entre los participantes no eliminados.

Una característica del concurso es que cada día el programa adquiere como hilo conductor una temática de forma que concursantes, cazador y presentador adquieren los papeles de la misma a lo largo del programa, y en nuestro caso es la Alquimia.

La puesta en práctica se llevó a cabo en el laboratorio de Física y Química, utilizando tres juegos didácticos del Proyecto AJDA, cada uno de los cuales se corresponde con una de las etapas del concurso, para los que se elaboraron en torno a 300 preguntas de Física y Química de Bachillerato,contando con los siguientes participantes:

  • Alquimistas aprendices (Concursantes): Paracelso Morandine, Willian Bacon, Blas Trimigesto y Javier Avicena (alumnos de la asignatura de Física de 2º Bachillerato).
  • Gran Maestra alquimista (Cazadora): Vanessa León (Profesora de Química).
  • Amo del Calabozo (Narrador y presentador): Jesús Muñoz (Profesor de Física).
  • Sauron (Cámara y testigo omnisciente): Marcos Rodríguez (Profesor de Biología).
  • Pueblo medieval: Alumnos de Biología.

Los alquimistas aprendices obtendrán por cada 1.000 puntos conseguidos una insignia de la asignatura de Física de cualquiera de las tres evaluaciones. El resultado de la experiencia se muestra en la siguiente composición:

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El afán de conocimiento para comprender la naturaleza y el mundo que nos rodea, junto a la aparición de la escritura y soportes físicos adecuados, han llevado a las civilizaciones de la historia de la humanidad a recopilar todos los saberes del momento y organizarlos para su conservación y consulta en bibliotecas por las siguientes generaciones. Sin duda, una de las más famosas es la Biblioteca de Alejandría, aunque podemos encontrar referencias a otras de la Antigüedad e incluso a las catalogadas como más espectaculares del mundo, siendo enorme el esfuerzo que, desde el descubrimiento o invención de internet, se viene realizando por digitalizar los fondos bibliográficos y hacerlos accesibles a cualquier persona desde el lugar más lejano sin necesidad de desplazamiento al espacio físico concreto.

Desde la ONG RED Descartes, queremos realizar una pequeña y humilde aportación presentando y divulgando la "Biblioteca Cartesiana", accesible de forma gratuita a través de internet para seguir colaborando y apoyando los Objetivos de Desarrollo Sostenible de la UNESCO, y muy especialmente el denominado ODS4, cuyo fin es garantizar una educación inclusiva, equitativa y de calidad y promover oportunidades de aprendizaje durante toda la vida para todos. Y hemos optado por hacerlo con una revista diseñada con el mismo soporte empleado para la elaboración de cada una de las 40 obras que, por ahora, integran esta biblioteca del s.XXI, revista a la que puedes acceder desde el enlace anterior o sobre la siguiente imagen:

Biblioteca cartesiana

Este fondo bibliográfico es fruto de la colaboración entre autores hispanoamericanos de España, México, Argentina, Brasil y Colombia, abordando una variedad de disciplinas como artes visuales, ciencias computacionales, ciencias administrativas y económicas, ciencias sociales y humanas, formación en Descartes JS, matemáticas, física, química, ingeniería y lengua inglesa, pudiendo acceder a la obra que sea de nuestro interés desde la tabla de contenidos de la revista o en cada una de sus páginas mientras navegamos por la misma, y para las etapas educativas de Secundaria, Bachillerato y Universidad, aunque estamos trabajando para alcanzar también a la Educación Primaria.

Todos los recursos incluidos en este espacio se basan en el estándar HTML5 y consecuentemente son plenamente accesibles y operativos en cualquier ordenador, tableta o smartphone sin más que utilizar un navegador compatible con dicho estándar. Pero, además, se ofrece la posibilidad de descargar el archivo fuente, lo que facilita su lectura sin conexión a internet, la adaptación por parte del profesorado a las necesidades de su alumnado, lo que unido a su acceso gratuito y publicación bajo licencia Creative Commons, los convierten en Recursos Educativos Abiertos.

Por otra parte, los cambios producidos en el ámbito educativo desde la incorporación de las TIC a la práctica docente, y más aún en época de pandemia, con los modelos semipresenciales o en confinamiento, han puesto de manifiesto la necesidad de, no solo disponer de un repositorio de recursos educativos abiertos para docentes y discentes con su adecuado entorno virtual de aprendizaje, sino que se hace imprescindible contar con un soporte en el que plasmar las secuencias didácticas para nuestro alumnado e incluso las programaciones de aula del s.XXI, que han de contener recursos multimedia que posibiliten una adecuada interactividad.

El modelo de libro interactivo de RED Descartes, además de para su uso propio, se convierte en el soporte ideal para nuestras programaciones de aula, con facilidad para insertar o embeber la selección de recursos multimedia, la secuenciación de actividades o tareas para nuestro alumnado, los detalles del nuevo proyecto que pensamos desarrollar, las producciones digitales de nuestro alumnado y los proyectos de colaboración escolar.

 INVITACIÓN Y RECURSOS PARA REALIZAR TU APORTACIÓN

Si eres docente de Infantil, Primaria, Secundaria, Bachillerato o Universidad, en activo o no, de cualquier especialidad, te invitamos a realizar tu aportación a la biblioteca cartesiana usando el modelo de libro interactivo de RED Descartes.

  1. Descarga tu plantilla inicial
  2. Ejemplo básico de uso
  3. Descarga del libro de ejemplo básico de uso
  4. Ejemplo de libro interactivo con fórmulas con KaTeX, específico para el lenguaje científico
  5. Descarga del libro con fórmulas con KaTeX
  6. Tutorial para el diseño de libros interactivos
  7. Contacto: Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
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Ecuación de la circunferencia conocidos los extremos de uno de sus diámetros

Título: Ecuación de la circunferencia conocidos tres de sus puntos
Sección: Prometeo
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas

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Puedes encontrar todos los materiales del Proyecto Prometeo en http://proyectodescartes.org/Prometeo/index.htm - Ver Créditos

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Ecuación de la circunferencia conocidos los extremos de uno de sus diámetros

Título: Ecuación de la circunferencia conocidos los extremos de uno de sus diámetros
Sección: Prometeo
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas

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Ecuación general de la circunferencia dados su centro y un punto

Título: Ecuación general de la circunferencia dados su centro y un punto
Sección: Prometeo
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas

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Ecuación ordinaria de la circunferencia dados su centro y un punto

Título: Ecuación ordinaria de la circunferencia dados su centro y un punto
Sección: Prometeo
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas

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Ecuación general de la circunferencia con centro en un punto y radio conocidos

Título: Ecuación general de la circunferencia con centro en un punto y radio conocidos
Sección: Prometeo
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas

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Ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en un punto y radio conocidos

Título: Ecuación general de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por un punto
Sección: Prometeo
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas

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