Si aborda una búsqueda literaria o pregunta a un buscador o a una inteligencia artificial sobre "La espiral de Durero" con alta probabilidad se verá derivado a una curva plana que se enmarca en una sucesión de rectángulos y obtendrá una imagen análoga, similar, a la siguiente:

Fig. 1. Representación usual actual de  "La espiral de Durero".

Pero si consultamos la fuente original, es decir, la espiral que describe Durero en el libro I de "De la Medida", verá que este artista dibuja una espiral con aspecto diferente o al menos que difiere de la representación anterior.

Fig. 2. Espiral dibujada por Durero en el libro I "De la Medida".

Si siente inquietud acerca de la relación que existe entre esas dos espirales ha llegado al sitio adecuado. Aquí le explicaré el vínculo matemático, el cordón umbilical que une a ambas y cómo una recoge la esencia primigenia, el ser, de la otra. Esta explicación la he recogido en una escena interactiva que he titulado "Crítica de la pseudoespiral de Durero" y que nos servirá de guía expositiva.

Fig. 3. Escena interactiva "Crítica de la pseudoespiral de Durero.
Pulse sobre la imagen para acceder.

Si se siguen la instrucciones dadas por Durero rápidamente se observará que no se concretan, que son ambiguas, y que fuerzan al lector y reproductor de ellas a tomar decisiones sin las cuales no podría dibujar lo que Durero posiblemente quiso dibujar, según la imagen que elaboró, pero que no llegó a detallar en su guía constructiva. En la escena podrá ir paso a paso y ver cuáles son los criterios por los que yo he optado y también cómo queda abierto el estudio para otras posibles opciones que serán objeto de un trabajo posterior.

Interpretando las instrucciones iniciales de Durero podemos dibujar una curva que es concatenación de arcos de circunferencias (en concreto consideramos cuadrantes) afectados por un factor reductor de 0,5 que conforman una "espiral hacia dentro": Realmente no es una espiral propiamente, sino una pseudoespiral, ya que es una curva definida a trozos y, por tanto, sus propiedades no cambian puntualmente sino en intervalos.

Fig. 4. Espiral "hacia dentro" según la indicaciones iniciales de Durero
y forzada interpretación del autor de este artículo.

Continuando con las siguientes instrucciones que aporta este artista obtenemos una pseudoespiral "hacia fuera" formada también por cuadrantes de circunferencia con un factor amplificador de 1,5. 

Fig. 5. Espiral "hacia fuera" según la indicaciones posteriores de Durero
y obligada interpretación del autor de este artículo.

Concatenado ambas obtenemos la pseudoespiral de Durero:

Fig. 5. La pseudoespiral de Durero acorde con las indicaciones dadas por Durero
e interpretación del autor de este artículo

Abordando un análisis personal de esta construcción y realizando una crítica de la misma, podemos afirmar lo siguiente:

1.  La espiral hacia dentro se puede aproximar, o en una lectura recíproca aproxima, a una espiral logarítmica, en el sentido de que por los puntos extremos de los arcos de la pseudoespiral de Durero pasa una espiral logarítmica de base 2 (factor reductor 0,5 conlleva un factor amplificador de 2). Esta espiral no aproxima a la pseudoespiral "hacia fuera".
   
   
   

   Fig. 6. Espiral logarítmica que aproxima a la pseudoespiral de Durero "hacia dentro".

2. La espiral hacia fuera se puede aproximar, o en una lectura recíproca aproxima, a una espiral logarítmica, en el sentido de que por los puntos extremos de los arcos de la pseudoespiral de Durero pasa una espiral logarítmica de base 1,5 (factor amplificador de 1,5).  Esta espiral no aproxima a la pseudoespiral "hacia dentro". 
   
   

   Fig. 7. Espiral logarítmica que aproxima a la pseudoespiral de Durero "hacia fuera".

3. Si f es el factor reductor de la espiral hacia dentro y m es el factor amplificador de la espiral hacia fuera, para que las espirales logarítmicas que aproximan a la pseudoespiral hacia dentro y hacia fuera coincida ha de verificarse que m (1 - f) = 1.
   
   

   Fig. 8. Espiral logarítmica "hacia dentro" y espiral logarítmica "hacia fuera" no coinciden, pues 1,5 (1 - 0,5) ≠ 1.
   
   

   Fig. 9. Espiral logarítmica "hacia dentro" y espiral logarítmica "hacia fuera" sí coinciden, pues 2 (1 - 0,5) = 1.

4. Si f es el factor reductor y g = 1 - f, para que los cuadrados que intervienen en la construcción "hacia dentro" de Durero no se solapen ha de verificarse que g < Φ^-1 (o lo que es equivamente que f  > 1 - Φ^-1, donde Φ es el número áureo.
   
   

   Fig. 10. Condición para que haya solapamiento en la construcción de la pseudoespiral de Durero "hacia dentro".

5. Si m es el factor amplificador, para que los cuadrados que intervienen en la construcción "hacia fuera" de Durero no se solapen ha de verificarse que m > Φ.
   
   

   Fig. 11. Condición para que haya solapamiento en la construcción de la pseudoespiral de Durero "hacia fuera".

6. Si el factor amplificador m = Φ y el reductor es f = 1 - Φ^-1, entonceslos cuadrados que intervienen en la construcciónde Durero recubren el plano sin solapamiento y la pseudoespiral hacia dentro y hacia fuera se aproxima por la espiral logarítmica áurea:ρ = r 0,692... Φ^{2 θ/π}.
   
   

   Fig. 12. La actualmente denominada como espiral de Durero.

   • En esta construcción se obtiene una sucesión de rectangulos semejantes que son áureos, es decir, su proporción es el número áureo.
   
   

   Fig. 13. Sucesión de rectángulos áureos en la construcción de la espiral de Durero.

   • • Si observa bien en la Fig. 13 (amplie la imagen en la escena interactiva), podrá comprobar que la espiral logarítmica áurea aproxima a la pseudoespiral de Durero, pero no coincide con ella. 

       Insistamos en que la "espiral de Durero", realmente no es una espiral, pero sí aproxima a la espiral logarítmica áurea cuya ecuación es:  

       ρ = a Φ^{2 θ/π}

       siendo a un factor de escala. La "espiral de Durero" es una curva inscrita tangencialmente en la sucesión de rectángulos áureos de la construcción, pero la espiral logarítmica áurea interseca a dichos rectángulos en los extremos de los arcos de circunferencia.

7. La actualmente denominada "espiral de Durero" se puede construir siguiendo las siguientes instrucciones: Se parte de un rectángulo áureo y se le concatena un cuadrado, para obtener otro rectángulo áureo, sobre el que se dibuja un cuarto de circunferencia; al reiterar la construcción se obtiene la pseudoespiral buscada.
   
   

   Fig. 14. Construcción de la "espiral de Durero" a partir de un rectángulo áureo.

Si he cumplido el objetivo planteado, usted, paciente lector, ya conoce la relación que existe entre el dibujo que realizó Durero en el siglo XVI y la actual "espiral de Durero" y, quizás tenga interés en saber el porqué matemático de lo aquí indicado. Si es así, puede acudir a las indicaciones de la escena interactiva y satisfacer su curiosidad.

En nuestro artículo "Euclides y el Teorema de Pitágoras", publicado en este blog de la RED Descartes, acudimos a  "Los Elementos” de Euclides como fuente primigenia de la demostración académica del Teorema de Pitágoras con el objetivo de mostrar e introducir al lector interesado en la demostración matemática de una propiedad basándose en un sistema axiomático y deductivo y, a la vez, difundir la menos conocida generalización de esta propiedad. En concreto, acudimos a la primera versión en español de estos libros debida a Rodrigo Çamorano y seguimos en la guía lógica-deductiva aportada por David E. Joyce en su versión interactiva con applets de Java (actualmente estos applets presenta problemas de compatibilidad en algunos sistemas y cuando eso ocurre se suplen con imágenes).

 En 1847, Oliver Byrne publicó su libro "The First six books of the Elements of Euclid whith coloured diagrams and symbols" en el que, como él indica, el uso de diagramas coloreados y símbolos en lugar de letras facilita el aprendizaje a los estudiantes. El libro de Byrne puede considerarse una revolucionaria propuesta innovadora en la enseñanza de las Matemáticas ya que sustituye el usual sistema literal e introduce atractivos elementos gráficos coloreados que le sirven de soporte y medio para abordar las demostraciones matemáticas de manera visual y por ende evitando la, muchas veces, farragosa expresión escrita que requiere una interpretación de lo leído, es decir, pone en práctica el conocido dicho: "más vale una imagen que mil palabras". De hecho, basta ver por primera vez una página de este precioso libro de Byrne para sentirse atraído con su diseño y verse sorprendido por el potencial comunicador y didáctico que encierra. El libro de Byrne podemos consultarlo en español en la versión elaborada por Nicholas Rougeux, y nosotros, con modestia introduciremos algo más de interactividad.

Fig. 1. Demostración del teorema de Pitágoras según Byrne
Pulse sobre la imagen para verlo en el libro de Byrne.

Si en el artículo antes citado buscábamos introducir al lector en el academicismo euclidiano, en éste buscamos mostrar cómo Euclides puede adentrarse en el aula de una manera didáctica, aproximándonos al aprendiz, pero respetando al gran maestro y referente. Para ello, hemos desarrollado dos escenas interactivas que abordan las demostraciones gráficas del Teorema de Pitágoras y de la generalización del mismo. Le invitamos a acceder a ellas y a interactuar con las mismas.

Byrne y su demostración gráfica del teorema de Pitágoras 

 Con esta primera escena se busca conseguir los siguientes objetivos:

• Conocer una versión de "Los elementos" de Euclides con una perspectiva .
• Percibir la plasticidad de la mente humana y cómo un mismo concepto tiene diversas formas de reflejarse.
• Tomar contacto con la didáctica matemática en el sistema axiomático euclidiano.
• Ver cómo Byrne realiza la demostración euclidiana del teorema de Pitágoras con una metodología deductiva basada en gráficos de colores.
• Comprender cómo se aborda un razonamiento deductivo apoyándose en axiomas y proposiciones.
• Sentar las bases para asimilar que la metodología empleada condiciona el aprendizaje.

Fig. 2. Acceso a la miscelánea "Byrne y su demostración gráfica del teorema de Pitágoras". 
Pulse sobre la imagen para acceder.

La versión clásica euclidiana de este resultado puede consultarla en nuestra miscelánea "Demostración euclidiana del Teorema de Pitágoras". 

Byrne y su demostración gráfica de la generalización del teorema de Pitágoras 

Siguiendo la línea de trabajo abordada en la miscelánea anterior, a continuación, divulgamos el resultado menos conocido que es "La generalización del Teorema de Pitágoras" y aquí, de nuevo, lo haremos según la versión coloreada de Byrne, expuesta en la p. 259 de su libro "The First six books of the Elements of Euclid whith coloured diagrams and symbols". 

Los objetivos a lograr son los mismos que en la miscelánea anterior, pero centrados en esta generalización.

Fig. 6. Acceso a la miscelánea "Byrne y su demostración gráfica de la generalización euclidiana del teorema de Pitágoras". 
Pulse sobre la imagen para acceder.

La versión clásica euclidiana de esta generalización puede consultarla en nuestra miscelánea "Generalización euclidiana del Teorema de Pitágoras".

Reflexión

Comparando las versiones clásicas con las que aquí presentamos podrá experimentar la dureza que pueden encerrar algunos argumentos literarios matemáticos y el lenguaje matemático en sí —una posible causa de la desmotivación de nuestro alumnado— y cómo esta aspereza puede ser salvada con métodos didácticos innovadores. El academicismo euclidiano y, en general, de nos, los matemáticos, siendo en nuestra profesión necesario, esencial, imprescindible y loable, pensamos ha de saber reconducirse cuando lo que se desea es enseñar y divulgar el conocimiento. Byrne así lo entendió y nos marcó un esplendoroso camino del que aprender y tratar de adaptar, más en estos tiempos en los que las herramientas tecnológicas son una ayuda innegable e imprescindible que no se pueden obviar en nuestra labor docente.