Viernes, 15 Mayo 2020 00:00

Sugerencias para el Proyecto AJDA

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Actualmente, el Proyecto AJDA cuenta con más de 420 juegos, un portal Web, Blog, Canal de YouTube y DVD de recursos. Han pasado más de 12 años desde la publicación del primer juego y más de 7 desde que el Proyecto AJDA empezó como a funcionar como tal.
 
El principal objetivo de éste ha sido ofrecer sus recursos de forma libre, abierta y gratuita, con el fin de proporcionar herramientas educativas basadas en metodologías de gamificación con la finalidad de mejorar la práctica educativa. 
 
Desde sus inicios hasta ahora se han ido incrementado el número de juegos, los cursos de formación, los vídeo-tutoriales, los artículos, el número de ficheros de preguntas, etc. Se han ido mejorando los propios juegos y los portales de AJDA, así como participado en proyectos de investigación, congresos, grupos de trabajo, actividades de formación, etc.
 
Siempre he intentado que este Proyecto no pare de crecer y de mejorar y creo que las sugerencias y consejos que han ido realizando sus usuarios son muy importantes. Por ello, os animo a todos y agradecería que realicéis aportaciones a través de la Web, Blog o Canal de YouTube del Proyecto con propuestas de mejora sobre el mismo, por ejemplo en los siguientes aspectos:
 
  • Propuestas de realización de nuevos juegos.
  • Mecánicas o metodologías en el uso de juegos.
  • Mejora en los materiales de formación: cursos, tutoriales, guías...
  • Recursos y portales del Proyecto.
  • Difusión del Proyecto.
  • Sobre cualquier otra cuestión relacionada.
 
Jueves, 07 Mayo 2020 22:20

Álgebra. 2º de Bachillerato.

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El cese de la actividad lectiva debido a las medidas excepcionales por la evolución del COVID-19 durante este tercer trimestre, nos ha obligado a replantear algunos aspectos relacionados con la docencia en las diferentes etapas educativas.

La etapa final de bachillerato merece especial atención ante la inminente realización de la Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad, que se llevará a cabo, previsiblemente, antes del verano. Muchos de los proyectos de la RED contienen materiales interactivos para 2º de bachillerato, que permiten al alumnado seguir el curso desde su casa y con la ayuda del profesorado, prepararse para las pruebas de selectividad.

En el siguiente vídeo presentamos la unidad Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones del proyecto iCartesiLibri de la RED para el estudio del álgebra matricial y sus aplicaciones en la resolución de sistemas de ecuaciones. Su diseño, en forma de libro dinámico interactivo, proporciona una forma ágil y sencilla de navegación entre las diferentes páginas.

El contenido se ha elaborado siguiendo las pautas que marca el currículo de Matemáticas II de 2º de bachillerato y contiene, además de la parte teórica, muchos ejemplos y ejercicios para practicar.

Al final de la unidad se presenta una escena con los problemas de Álgebra propuestos en la Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad del año 2018, en cada distrito universitario de España.

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En RED Descartes finalizamos el mes de marzo con sabor agridulce, pues en el tristísimo contexto de una pandemia global logramos ¡un nuevo récord en nuestro servidor proyectodescartes.org! El mes de abril transcurrió en confinamiento y a la amarga suma de tantos y tantos fallecidos se hace muy difícil anexar ninguna otra contabilización. Sólo constatando que hay unicidad entre vida y muerte y que en el transcurso o ciclo de un estado a otro la formación es imprescindible, nos atrevemos a cuantificar, en cierta forma, nuestra altruista contribución a la comunidad educativa de la aldea global en estos tiempos de COVID-19. En el mes de abril de 2020 hemos alcanzamos un nuevo récord y han sido más de cuatro millones seiscientas mil páginas las que hemos servido y en cada una de ellas hemos añadido siempre ¡mucha ilusión, ánimo y esperanza!


En el mes de abril de 2020, el número de páginas servidas desde nuestro servidor proyectodescartes.org ha experimentado un incremento de más de quinientas mil páginas con respecto al mes de marzo, un 14% más que el récord alcanzado ese mes y casi un 200% respecto al anterior récord que conseguimos hace un año, en mayo de 2019. En total: 4 666 818 páginas.

El cierre de los centros educativos, motivado por la pandemia del COVID-19, ha provocado perspectivas educativas diferentes, han surgido nuevas necesidades y muchas de ellas han podido ser satisfechas a través de nuestro proyecto educativo. Eso es lo que hemos podido constatar en nuestro servidor que ha estado bastante ocupado dando servicio a las peticiones realizadas y que, afortunadamente, se ha portado de manera eficiente en casi todo el tiempo transcurrido. En algún momento el elevado número de conexiones ralentizó la respuesta y casi llegó al bloqueo, pero una reconfiguración del sistema ha devuelto la agilidad necesaria.  

En la siguiente tabla se puede consultar en detalle parte de lo que acontecido observando las estadísticas de los registros automáticos en nuestro dominio proyectodescartes.org. Quien se adentre un poco en esa tabla puede observar que el día 10 y el 11 hay reflejadas unas cantidades muy bajas en relación al resto, la razón es que esos dos días tuvimos problemas con los archivos de "log" y no contabilizaron adecuadamente lo acontecido esos dos días, por tanto, el récord podría haber sido mayor al que reflejamos aquí. Pero no es nuestra preocupación, ni objetivo esencial, el superar récords, establecer marcas, nuestro fin es únicamente educativo y el seguimiento de estas estadísticas es meramente para tener una orientación del servicio que damos y de la utilidad de nuestro trabajo, con el matiz de que somos conscientes que la cantidad aporta sólo una visión parcial. Visión que hay que complementar cualitativamente con otras informaciones conseguidas por otros medios y que no son objeto de análisis aquí.  


La siguiente tabla refleja un detalle algo más extenso de lo acontecido estadísticamente en este mes de abril de 2020 en proyectodescartes.org

 

Nuestro agradecimiento a todos los que os acercáis a este servidor, a los que hacéis una valoración positiva de nuestra labor y a los que regresáis para que podamos aprender todos juntos.

¡Continuamos...! 

Viernes, 24 Abril 2020 13:00

Congruencias en el triángulo de Pascal

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En el artículo "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" llegamos a la conclusión de que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, según la orientación dada por Pascal a su triángulo, entonces, por simetría, tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton. Eso es lo que se refleja en la siguiente imagen.

Relaciones en el rectángulo de Newton

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton.
Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

En este artículo vamos a centrarnos en analizar cuándo un coeficiente binomial es divisible por un determinado número primo, un problema sobre el que podemos encontrar bastantes resultados con fundamento aritmético y algebraico. Aquí, nos centraremos en aquellos resultados que nos permitan determinar y visualizar gráficamente esas congruencias, es decir, poder obtener el gráfico de la imagen anterior, u otros análogos, sin necesidad de calcular el coeficiente binomial y determinar su congruencia u obtener ésta mediante una recurrencia.

La primera representación gráfica de estas congruencias puede situarse en un brevísimo artículo de Kung (1976). Esa gráfica se muestra en la siguiente imagen, la situada a la izquierda, y en la de la derecha se refleja la gráfica análoga, pero mostrándola según la orientación original de Pascal y coloreando en naranja los números combinatorios pares (en ella cada número se determina observando el correspondiente índice superior en color azul y en rojo el inferior):

 Kung  Triángulo de Pascal en la orientación original

Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal. Kung, S. H. L. (1976).
Parity triangles of Pascal’s triangle. Fibonacci Quart. 14: 54;
 

Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal en su orientación original 

Kung adicionalmente afirma, sin incluir la demostración, que para entero no negativo:

  • Si n = 2 y 1 ≤ k ≤ n-1, entonces nk es par. 
  • Si n = 2i-1 y 0 ≤ k ≤ n, entonces nk es impar.

Y ello se observa en las imagenes anteriores ya que para n = 0, 3, 7, 15, 31, todos los símbolos en esas filas o diagonales, respectivamente, son asteriscos (números impares). Y para  n = 2, 4, 8, 16, 32, son todos cruces (números pares), salvo el primero y el último.

Ese es un breve artículo, pero que marca unas pautas que son extrapolables a la obtención de patrones en las congruencias con cero módulo otros números primos. De hecho, ese resultado es un caso particular de los dos que fueron enunciados en 1947 por N. J. Fine en su artículo "Binomial coefficients modulo prime", si bien el primero de ellos (según Joris et al. en un artículo de 1985) ya lo formuló Ram en 1909 (B. RAM, Common factors of n!/m!(n-m)!, (m= 1, 2 ,..., n- l), J. Indian Marh. Club (Madras) 1 (1909), 39-43):

  1. La condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes binomiales nk con 0 < k < n, sea divisible por un primo p es que n sea una potencia de p.
  2. La condición necesaria y suficiente para que ningún coeficiente binomial de índice superior n, con n = n+ np + n2 p + nm pm, siendo 0 ≤ nr < p y nr > 0,  sea divisible por p es que nr = p - 1 para m

Veamos cómo se reflejan estos resultados de una manera gráfica en las dos imágenes siguientes:

  • En la imagen izquierda, se refleja gráficamente el primer resultado cuando p = 3, mostrándose todas las líneas en las que todos los números combinatorios son divisibles por 3, salvo el primero y el último. Esas líneas se corresponden con  nk con 0 < k < n n = 30313233,... Gráficamente vienen a ser las "hipotenusas" de los triángulos rectángulos que particionan al triángulo de Pascal y que lo muestran a diferentes escala y posteriormente utilizaremos esta analogía y terminología coloquial para ubicar y describir otros resultados.
  • En la de la derecha se reflejan aquellas líneas en las que ningún número combinatorio es divisible por 3. En la parte superior de esa imagen se reflejan las separaciones entre esas filas (por falta de espacio tipográfico no se refleja el caso 30) y a la derecha se muestra la descomposición p-ádica del índice n correspondiente a los números combinatorios de cada una de esas líneas (expanda la imagen pulsando sobre ella para verlo). Por ejemplo, para 53 = 2 30 +  2 31 + 2 32 + 1 33 y eso nos muestra el camino de "saltos" de amplitud potencias de tres que se han de dar para, partiendo de 0, llegar a 53 (dos de amplitud 30, dos de 31, dos de 32 y uno de 33). Es decir, logramos mostrar visualmente, geométricamente, lo que queda escondido en un abstracto resultado algebraico, el cual puede ser chocante a cualquiera que accede a él por primera vez. Emulando a nuestro alumnado a la pregunta: ¿a quién se le ocurre que la descomposición p-adica da respuesta a este problema? le mostramos que el resultado algebraico, posiblemente, fue consecuencia de su visualización y la "pureza" matemática procedió a esconderlo. 
 Kung  

Números combinatorios nkdivisibles por 3 para todo k, 0 < k n 
Líneas con todos los números combinatorios divisibles por 3 salvo los extremos

Números combinatorios nkno divisibles por 3 para ningún k, 0 ≤ k n
Líneas con ningún número divisible por 3

En la miscelánea del final de este artículo podemos reproducir las situaciones descritas para cualquier primo hasta el 31 y en este enlace se tiene un muestrario rápido de las mismas. 

Y justamente, en base a la observación de esos patrones geométricos, podemos visualizar y deducir la propiedad que nos permite detectar todas las hipotenusas de todos los triángulos rectángulos isósceles que muestran esas congruencias. Podemos ver cómo hay triángulos de diferente tamaño, siendo pa-1 el tamaño de las hipotenusas respectivas, y cada uno de ellos tienen una distribución periódica en horizontal y vertical con un periodo pa. Por ejemplo, en la siguiente imagen se reflejan en color naranja los números combinatorios congruentes con cero módulo 5 y se observan tres tipos de triángulos según su tamaño: los de hipotenusa 4 = 51-1, los de 24 = 52-1 y parcialmente (en la esquina inferior derecha) el de 124 = 53-1. La hipotenusa del primero se ha reflejado en color verde y el triángulo se repite periódicamente en horizontal y vertical con un periodo 5, según se ve en dicha imagen. La del segundo está reflejada en color violeta y se repite también periódicamente con periodo 52, y así sería de manera análoga y sucesiva. 

periodicidad Periodicidad en las hipotenusas de los triángulos congruentes

Lo anterior, ahora le invito a que mire con ojos algebraicos, queda englobado en el resultado que enuncio a continuación:

p es divisor de todos los números combinatorios mpak con m, ak ∈ ℕ,  0 < k <  mpa y k no divisible por pa     (1)

Este resultado personal puede relacionarse o considerarse como una reinterpretación —que se centra, enfoca y destaca el aspecto de periodicidad— del aportado por Ram (1909) —del que puede verse la demostración realizada por Albree (1972)— que afirma:

Para cualquier entero positivo npr = mcd { nk con 0 < k < n, y mcd (k, p)=1 } donde p es primo, r es un entero positivo y pr divide a n

Y ¿por qué les remarco que es de gran interés determinar esas hipotenusas? La respuesta también puede visualizarse en la imagen anterior y lo detallamos a continuación ya que conocida una hipotenusa de números congruentes con 0 módulo pnk con rk < s, por la propiedad de los números combinatorios que relaciona los de índice superior n+1 con los de índice n,

SumaNumCombinatorios

se deduce que los números combinatorios que componen el triángulo rectángulo T(n; r, s)

Tnrsdef          (2)

—ver imagen siguiente— son también congruentes con 0 módulo p. La justificación es simple, dado que la suma de dos números divisibles por p es un número divisible por  p.

TnrsTransmisión de la congruencia en las hipotenusas a los triángulos rectángulos

Joris et al. (1985) abordan un estudio más profundo al que necesitamos aquí de las propiedades de estos triángulos y a él dirigimos a quienes estén interesados en incrementar su conocimiento en este tema. 

Combinando (1) y (2), concluyo que los números combinatorios congruentes con 0 módulo p siguen un patrón de triángulos "rectángulos" T(pa; 1, pa-1) cuyas hipotenusas están constituidas por los números combinatorios pak con ak ∈ ℕ,  0 < kpa

Patrón triángulos para divisor 3Patrón de triángulos T(pa; 1, pa-1) con p=3  y a = 1,2, y 3

distribuyéndose de forma periódica según el esquema:

T(m pa; 1+pa, (1+k)pa-1)  con 0 ≤ k < ma, m ∈ ℕ  

Eso es lo que se observa en el siguiente mosaico de imágenes donde se refleja:

    • imagen superior izquierda: números combinatorios congruente con 0 módulo 3 en color naranja.
    • imagen superior derecha: triángulos congruentes con T(31; 1, 31-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3.
    • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(32; 1, 32-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 32
    • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(33; 1, 33-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 33

Patrón triángulos para divisor 3Esquema de periodicidad de los triángulos T(pa; 1, pa-1) con p=3  y a = 1, 2, y 3

Así pues la reproducción de todas las congruencias con 0 es una mera reiteración gráfica, periodicidad, de esos triángulos básicos citados.

Pero dado un número combinatorio nk ¿podemos saber si es o no congruente con 0 módulo sin necesidad de calcularlo, de una manera sencilla, rápida y sin aplicar recursividad, o lo que es equivalente, sin basarse en diagonales, es decir, en números combinatorios con índice superior menor que n? ¡Veamos que sí! y para ello nos vamos a basar en la posición relativa (fila y columna) que ocupa cada número combinatorio en el triángulo de Pascal original. Observemos que el número nk ocupa la fila n-k y la columna k, que todos los números combinatorios de índice n cumplen que la suma de la fila y la columna que ocupan es n, y que los números combinatorios del triángulo rectángulo T(n; r, s) cumplen que la suma de la fila y la columna de todos ellos es mayor o igual que n. Con este dato y en base a la periodicidad podemos afirmar lo siguiente:


Dado el número combinatorio nk, consideremos la descomposición p-ádica de n-y de k

n- a+ ap + a2 p2+ ⋅ + am pm

 = b+ bp + b2 p2+ ⋅ + bm pm

con m =  max (ent(logp(n-k)), ent(logp(k)) ), 0 ≤ aj, bj  < p, se verifica que:

nk es divisible por p si y solo si a+ bj  ≥ p al menos para algún j,  0 ≤ j m.

Además, para los valores de j en los que  a+ bj  ≥ p, entonces nk está en un triángulo T(pj+1; 1, pj+1-1) de números congruentes con 0 módulo p.


En la siguiente escena se puede reproducir visualmente todos los resultados indicados anteriormente y profundizar en el conocimiento de las interioridades del Triángulo de Pascal. 

congruencias en el triángulo de Pascal

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En la imagen anterior se observa como el número combinatorio 30 sobre 23 es congruente con cero módulo 2 y forma parte de un triángulo rectángulo básico de hipotenusa 1 , otro de hipotenusa 3 y otro de hipotenusa 7 (para éste último es evidente, para los dos anteriores haga traslaciones de los triángulos básicos, según el periodo antes indicado, y verá que ese número combinatorio está incluido en ellos). Todo se obtiene sin más que observar la relación de los coeficientes en la descomposición 2-ádica de la fila y columna que ocupa, ya que en este caso, para las tres primeras potencias de 2 la suma de los coeficientes es mayor o igual que el valor del módulo (en este caso 2).


Llegados a esta meta, estando aún confinados por la pandemia del COVID-19, cabe preguntarse si este artículo, y los dos anteriores publicados en este blog sobre este tema, tendrá o no continuidad... el tiempo lo dirá o quizás la necesidad de cambiar de temática para relajar la mente en otros ámbitos lo interrumpa. Tenga o no alguna nueva adenda, gracias a todos los que habéis dedicado parte de vuestro tiempo en leer lo descrito y los nuevos resultados hallados y expuestos en esta trilogía. 

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