El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal
Escrito por José R. Galo SánchezEn el artículo anterior "El paralelogramo de Newton" se mostró la ampliación que realizó Newton del triángulo de Pascal y cómo, ésta, le condujo a extender la expresión de las potencias binomiales al caso de exponentes enteros negativos. En este artículo mostramos cómo el esquema organizativo con el que Pascal divulgó su triángulo es más adecuado que el que usó Newton (versión escalonada de Stifel), pues conocido el primero, el segundo se obtiene por una simple reflexión y, por tanto, las congruencias existentes entre los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton queda reducida a realizar una simetría de las congruencias del triángulo de Pascal.
Pascal, en su libro Traité du triangle arithmétique (1665) analizó las propiedades del triángulo aritmético que quedó finalmente ligado a su nombre. La forma en que lo organizó y presentó es la reflejada en la siguiente imagen que he tomado de dicho libro, que es de dominio público:
El triángulo aritmético de Pascal reflejado en su libro Traité du triangle arithmétique
Esa presentación difiere de la forma usual que actualmente suele utilizarse que lo muestra como un triángulo isósceles:
El triángulo de Pascal en su presentación como triángulo isósceles
Y también difiere de la usada por Newton como base para su extensión ya que usó un triángulo rectángulo completado con ceros para obtener un rectángulo:
Presentación del triángulo de Pascal para abordar la extensión de Newton
Esta versión escalonada aparece en el libro Arithmetica Integra (1544) de Michael Stifel (1487-1567), en el reverso de la página 44:
Presentación realizada por Stilfel y usada por Newton para su extensión
Esa extensión, que detallamos en el artículo previo citado, podemos resumirla en la siguiente imagen. En ella, reseñemos que cada fila del rectángulo se corresponde con los coeficientes binomiales del desarrollo de la potencia de un binomio. La fila numerada con el entero n se corresponde con los coeficientes del desarrollo de (a+x)n, por ejemplo, para n = -1 son los coeficientes de (a+x)-1 y para n = 2 los de (a+x)2.
El paralelogramo de Newton y el desarrollo binomial
Al expresar los coeficientes binomiales de índice superior negativo en base a otros de índice superior positivo:
, podemos observar la relación existente entre los coeficientes en el rectángulo de Newton correspondientes a la extensión realizada por él y los ubicados en la zona de partida de Pascal. Seleccionada una columna, salvo un posible cambio de signo, los coeficientes de la extensión de Newton (filas etiquetadas con números negativos) se corresponden con los del triángulo de Pascal, pero con una traslación en la numeración de las filas. Por ejemplo, para la columna 3 los coeficientes de la zona correspondiente a la extensión de Newton son {-1, -4, -10, -20, -35, -56, -84, ...} que se corresponden con las filas numeradas respectivamente como {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, ...}, y los coeficientes en la zona del triángulo de Pascal son {1, 4, 10, 20, 35, 56, 84 ,...} pero trasladadas en este caso dos posiciones, pues aquí sendas filas se correponden con {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}. Así pues, si quitásemos todos los ceros y ocupáramos esos huecos trasladando los números de cada columna hacia arriba, obtendríamos una tabla simétrica respecto a la línea de separación existente entre la fila 0 y la -1 (salvo el signo de los coeficiente que para columnas impares será negativo y para las pares positivo), de esta manera conocidos los coeficientes del triángulo de Pascal tenemos también los correspondientes al rectángulo de Newton y consecuentemente bastaría sólo obtener el primero. 
Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo
También podemos establecer otra relación: los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la columna 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la columna 1 y, en general, la fila -n con la columna n-1. Destacamos estas filas pues cada una de ellas nos aporta los coeficientes del desarrollo binomial con exponente negativo.
Y por la simetría del triángulo de Pascal también tendremos que los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la diagonal 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la diagonal 1 y, en general, la fila -n con la diagonal n-1.
Y omitiendo los ceros y trasladando las columnas hacia arriba para ocupar los huecos, obtenemos la siguiente distribución simétrica (en valor absoluto, insisto). Y en esa imagen hemos omitido la numeración de las filas en la parte inferior ya que esos coeficientes ya no se corresponden con los números combinatorios del triángulo de Pascal por filas, sino que esos coeficientes están ordenados según la estructura original adoptada por Pascal.
La relación observada en las imagenes anteriores se justifica sin más que detallar la relación existente entre los coeficientes binomiales que ahí están involucrados, y eso es lo que reflejamos a continuación. En el recuadro izquierdo tenemos los coeficientes del rectángulo de Newton, destacando en color naranja la ampliación de los números combinatorios con índice superior positivo o nulo y con índice inferior de mayor valor que el superior, cuyo valor es cero. En el cuadro intermedio se han omitido esos números nulos y se han compactado las columnas para ocupar los huecos. Y en el marco derecho se han expresado los coeficientes binomiales de índice negativo según su equivalencia con los números combinatorios y ahí puede comprobarse la simetría de los coeficientes que ya hemos indicado.
Y con esto ¿a qué hemos llegado? Pues observemos la siguiente imagen que tiene un contenido denso, pero que sirve de resumen.
Coeficientes binomiales y binomio de Newton con exponente natural y entero
En la parte izquierda se reflejan los coeficientes binomiales obtenidos en el cuadro anterior, donde podemos destacar que:
- Cada fila de la parte superior del rectángulo de Newton —por ejemplo la etiquetada en color azul como -n, ubicada encima de la línea naranja— se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a+x)-n, tal y como indicamos en el artículo anterior.
- Cada fila de la parte inferior, que es el triángulo de Pascal en su orientación original, se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a-x)-n, pues tenemos que:
- Cada una de las "diagonales" inferiores y superiores, coloreadas en tonos azules, se corresponden respectivamente con los coeficientes binomiales de (a+x)n y (a-x)n.
Así pues, como indicaba al inicio, basta tener el triángulo de Pascal para obtener todos los desarrollos binomiales con exponente natural y entero. En la posición original de Pascal, las filas son los coeficientes del desarrollo de (a-x)-n y a partir de este desarrollo el de (a+x)-n basta obtenerlo como (a-(-x))-n, y las diagonales son los coeficientes del desarrollo de (a+x)n y el desarrollo de (a-x)n se obtiene como (a+(-x))n.
Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal
Llegados a este punto, identificados el significado y posición de estos coeficientes binomiales, aquellos que no se acostumbren a esta posición pueden hacer un giro de vértice el del ángulo recto en el triángulo anterior y ángulo -45º y ubicarlo en la posición usual actual. Aquí lo tiene a continuación, ya hemos justificado que es autosuficiente, pero no sólo enseñe cuáles son los coeficientes de las potencias de exponente natural ¡hágalo también con los de exponente entero negativo!
Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal
Obviamente la presentación y orientación es a gusto del lector, pero en la posición dada por Pascal acontece que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y como lo observamos en la siguiente imagen.
Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton. Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal
Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes... Pero la profundización en estas congruencias tendremos que dejarlas para un tercer artículo, al que os emplazo dentro de unos días.
En la miscelánea "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" puede observarse lo antes descrito.
Nota bene: Eli Maor en su libro "e: historia de un número" (1994) describe que Newton en 1665 estuvo recluido durante dos años con motivo de la "gran peste de Londres" y que, durante ese tiempo, formó sus ideas sobre el universo y puso los fundamentos de lo que sería un cambio en el curso de la ciencia. Maor, también nos detalla que fue en esta época cuando procedió a la extensión del triángulo de Pascal y a la expansión de la potencia de un binomio a potencias de exponente entero y racional. Trescientos cincuenta y cinco años después, actualmente, estamos en un periodo de reclusión mundial a causa de la pandemia del "Coronavirus COVID-19" y aquí, en este artículo, recordando su "rectángulo".
Cargar un fichero de preguntas en la lista del repositorio del juego
Escrito por Jesús Manuel Muñoz Calle- Guardar el fichero de preguntas en la carpeta del juego que tenemos en nuestro ordenador en la siguiente ruta del juego: contenidos/subida/ficheros/
- En la carpeta contenidos/subida/ hay un fichero de texto llamado lista.txt. Se deberá abrir dicho archivo y escribir el nombre del nuevo fichero de preguntas que hemos añadido.
Educación a distancia y gratuita con Descartes
Escrito por José Antonio Salgueiro GonzálezCon motivo de la gravísima situación que estamos sufriendo, las autoridades educativas instan a los centros a adoptar las medidas que consideren más adecuadas para garantizar la continuidad de los procesos de enseñanza-aprendizaje a través de tareas y actividades que puedan ser desarrolladas por el alumnado en sus domicilios, utilizando los medios de comunicación electrónicos establecidos o acordados entre el alumnado y el profesorado, como pueden ser entornos virtuales de aprendizaje. Ahora bien, como manifiesta Fernando Trujillo en Twitter, cuya opinión comparto, no debemos empezar buscando la herramienta de comunicación, sino qué información daremos a nuestro alumnado, qué deben desarrollar con ella, cómo deben hacerlo y cómo los evaluaremos, en su caso. Particularmente, y es lo que haré en estos días, recomiendo usar las herramientas de intercomunicación que venimos empleando durante el curso, indicando a nuestro alumnado, día a día, todos los aspectos que menciona Fernando.
Superadas estas decisiones iniciales, obviamente necesitaremos recursos especialmente diseñados para la enseñanza a distancia y, con todos mis respetos a otras alternativas, los que mejor reúnen estas características son los libros interactivos del Proyecto ED@D, que fueron diseñados por el CIDEAD, Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación A Distancia, organismo dependiente del Ministerio de Educación, con el objetivo de atender "a los ciudadanos españoles en el exterior y a aquellas personas que, aun residiendo en territorio nacional, se ven imposibilitadas para recibir enseñanza a través del régimen ordinario", a pesar de encontrarse en edad de escolarización obligatoria.
Por diseño, se trata de un material interactivo autosuficiente, proporcionando tanto las convenientes explicaciones teóricas como un número suficiente de actividades y ejercicios en los que la introducción de semillas aleatorias aportan diferentes instancias de los mismos, permitiendo practicar a la medida de las necesidades de cada cual, ya que van acompañadas de correcciones automáticas. Consecuentemente se promueve el objetivo de “aprender a aprender”, se refuerza la autonomía personal y el adecuado desarrollo competencial.
En base a estos supuestos, cada unidad consta de seis secciones, cuyos detalles pueden consultarse en la página del proyecto, bajo los epígrafes: Antes de empezar, Contenidos y resumen, Ejercicios para practicar, Autoevaluación, Para enviar al tutor y Para saber más, disponiendo de versiones para las distintas materias de Matemáticas en la ESO en castellano, catalán y gallego.
En caso de necesidad, ofrecemos tutoriales con los detalles concretos de cada unidad y el procedimiento para insertar estos y otros recursos en un aula Moodle.
La Organización No Gubernamental RED Descartes viene ofreciendo, desde hace casi siete años, recursos educativos abiertos para todas las etapas educativas durante 24 horas al día y los 365 días del año, de forma completamente altruista, queriendo aportar nuestro granito de arena en estos tiempos tan difíciles. Por ello, elaboramos y difundimos este especial artículo con resumen y acceso a todos los recursos disponibles.
En este artículo presentamos dos unidades del proyecto Misceláneas con ejercicios de porcentajes e intereses.
Misceláneas es un subproyecto de la Red Educativa Digital Descartes que contiene unidades independientes que tratan diferentes aspectos del currículo de matemáticas y que se pueden utilizar como complemento al estudio de distintos conceptos matemáticos. En este caso hemos seleccionado las unidades: Descuentos y recargos simples y porcentajes encadenados y BANCOS. Interés simple y compuesto.
Estas dos escenas interactivas son un recurso útil para el profesorado ya que en ellas se proponen múltiples ejercicios con autocorrección para practicar porcentajes y, por sus características, adecuados a todos los niveles de secundaria, ya sea de ampliación en los primeros cursos o bien de consolidación y refuerzo en cursos superiores.
En el siguiente vídeo se muestra con detalle la tipología de los ejercicios propuestos en estas escenas. También se propone un ejemplo de aplicación en un curso Moodle sobre el tema de proporcionalidad para segundo de la ESO. En primer lugar se ha insertado la unidad temática proporcionalidad del proyecto ed@d y como complemento se han añadido las dos unidades de porcentajes e intereses. De la misma forma, para completar el tema, se podrían incorporar en el aula virtual otras actividades y tareas sobre proporcionalidad.
Más...
El "triángulo de Pascal o de Tartaglia" es ampliamente conocido tanto por las curiosas propiedades que en él pueden encontrarse como por su aplicación en el desarrollo algebraico de la potencia de un binomio. Suele aprenderse ligado a lo que usualmente se enseña con el nombre de "binomio de Newton" y que se identifica con la potencia de un binomio cuyo exponente es un número natural. Pero quien enunció o al menos divulgó este desarrollo particular, relacionándolo con ese triángulo, fue Pascal y de ahí que se denomine a dicho triángulo con su nombre. No obstante, el "triángulo de Pascal" ya era conocido, siglos antes, por matemáticos persas y chinos. Según Maor (1994) la aportación concreta de Newton en el contexto del desarrollo binomial se sitúa en el caso del desarrollo con exponentes racionales y con exponentes enteros y únicamente llegó a conjeturarla sin llegar a abordar o al menos divulgar su demostración. Actualmente este resultado es un caso particular del denominado "Teorema binomial".
Newton abordó la extensión del triángulo de Pascal efectuando un cálculo hacia atrás, de manera que se mantuviera la misma propiedad recursiva de que un elemento de una fila sea el resultado de la suma de dos de la fila anterior siguiendo la propiedad que se verifica entre los números combinatorios.
Con esta extensión recursiva en sentido inverso, Newton construye nuevas filas, cada una de las cuales tiene infinitos números y cuya escritura conduce a la forma de un "paralelogramo" (o si se desea puede mostrarse, en particular, como un rectángulo) y cada una de ellas puede asociarse a filas que se corresponderían con números "combinatorios" cuyo índice superior serían números enteros negativos.
A su vez, Newton hace corresponder los números ubicados en cada fila con los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio cuyo exponente ya no sólo sería un número natural, sino que en general puede ser un número entero. Y, consecuentemente, a todos los números del paralelogramo de Newton los denominaremos coeficientes binomiales (pierde sentido asociarlo con el número de combinaciones). El desarrollo del binomio conduce a un número finito de sumandos cuando el exponente es natural e infinitos (una serie) cuando es un entero negativo.
En la miscelánea "Extensión del triángulo de Pascal: El paralelogramo de Newton" se muestran los coeficientes binomiales de dicho paralelogramo. Pulsando el botón "indicaciones" de este recurso se pueden consultar algunos detalles adicionales.
Pulsa sobre la imagen para abrir la escena
La representación de dicho paralelogramo numérico entraña dos dificultades principales a medida que se incrementa la cantidad de números a visualizar. Por un lado, el espacio que necesita ocupar la escritura de cada coeficiente binomial que progresiva y rápidamente va aumentando, al ser mayor el número de cifras que lo constituyen. Y, por otro, el tiempo de cálculo necesario para ubicar, desplazar y representar en la tabla dichos coeficientes y para poder escalarla (si se desea). Adicionalmente, el cálculo de los coeficientes conduce a números enteros que superan el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 253-1 (algo superior a 9 mil billones); así pues, en esos casos no se refleja el coeficiente y se colorea la casilla donde iría ubicada con un fondo rojizo.
En dicha escena se pueden visualizar, mediante colores, pautas geométricas de cómo se distribuyen dichos coeficientes cuando se plantean congruencias numéricas respecto a un divisor y resto seleccionado. No obstante, estas distribuciones pueden observarse mejor si no se muestran los valores de los coeficientes y ello es lo que se aborda en la miscelánea: "Congruencias en el paralelogramo de Newton"
Pulsa sobre la imagen para abrir la escena
En este caso (ver las indicaciones incluidas en la miscelánea) la dificultades siguen centrándose en el espacio necesario para representar el paralelogramo cuando el número de filas y columnas considerado es elevado, pero al no reflejarse el número en sí, cada uno de estos coeficientes ocupa el mismo espacio y puede escalarse hasta el extremo de que ocupe un único píxel. Por otro lado, el cálculo de las congruencias puede hacerse de manera recursiva sin necesidad de calcular el coeficiente y consecuentemente no se ve afectado por lo indicado sobre el máximo entero admisible en javascript. Obviamente, las necesidades computacionales son elevadas y, por defecto, en la escena se ha limitado el número de filas y columnas a 400, pero editando la escena puede cambiarse.
Para evitar que cada interesado tenga que dedicar tiempo en la generación de las imágenes de las congruencias, he preparado un muestrario de consulta para las congruencias con los números primos hasta el treinta y uno, representando los coeficientes binomiales de índice superior en el rango desde -999 a 999 y de índice inferior de 0 a 999. Éste está accesible en la miscelánea: "Muestrario de congruencias en el paralelogramo de Newton", pudiéndose ampliar las imágenes ahí incluidas.
Pulsa sobre la imagen para abrir la escena
En un próximo artículo en este blog, mostraré que si retomamos el esquema organizativo original que Pascal (Traité du triangle arithmétique, 1665) utilizó al presentar y analizar las propiedades de este triángulo numérico, entonces los patrones de las congruencias que se observan en él son mas fáciles de identificar y pautar, y la extensión de estos a los coeficientes binomiales con índice superior un entero negativo se realiza de manera trivial.
Finalmente, quienes deseen aplicar los coeficientes binomiales y practicar con el desarrollo algebraico de potencias de un binomio pueden usar las siguientes misceláneas:
Ejercicios de desarrollo algebraico usando el "Binomio de Newton"
Pulsa sobre la imagen para abrir la escena
Ejercicios del "binomio de Newton" con exponente entero
Pulsa sobre la imagen para abrir la escena
Proyecto Descartes en la Open Education Week
Escrito por José Antonio Salgueiro GonzálezDurante la primera semana de marzo de 2020, entre los días 2 y 6, se celebra la Open Education Week, un evento comunitario global que busca crear conciencia sobre los beneficios de los recursos educativos abiertos y las prácticas educativas abiertas.
El Congreso Mundial sobre los Recursos Educativos Abiertos (REA), celebrado en París del 20 al 22 de junio de 2012, resalta que el término REA "designa a materiales de enseñanza, aprendizaje e investigación en cualquier soporte, digital o de otro tipo, que sean de dominio público o que hayan sido publicados con una licencia abierta que permita el acceso gratuito a esos materiales, así como su uso, adaptación y redistribución por otros sin ninguna restricción o con restricciones limitadas". Una definición cuyos requisitos cumplen escrupulosamente los recursos interactivos generados con la herramienta de autor Descartes JS y compartidos con la aldea global en el portal de la ong RED Descartes. Por ello, y dado que la Semana de la Educación Abierta se ha convertido en uno de los eventos mundiales más destacados que reconoce el alto rendimiento y la excelencia en la educación abierta, desde Proyecto Descartes, con una larga trayectoria en este ámbito, hemos decidido colaborar y participar en la #OEWeek con varios de nuestros conocidos proyectos:
- Descartes JS: herramienta de autor.- Descartes es una herramienta de autor que permite elaborar recursos didácticos interactivos que se embeben en páginas html y, por tanto, puede interactuarse con ellos en todos los dispositivos donde una página web sea accesible. La primera impresión al ver un recurso de Descartes puede inducir a interpretar que es una imagen animada o una animación, pero basta aproximar el ratón o el dedo a un recurso de Descartes para comprobar la esencia del mismo que se centra en la interactividad. .
- Unidades didácticas.- En esta web de la Red Educativa Digital Descartes se incluyen numerosas unidades didácticas de Matemáticas y de Física y Química que han sido desarrolladas por profesores y profesoras y han querido compartirlas con todo el profesorado, con el alumnado y con toda la comunidad educativa de la aldea global en la que vivimos, buscando profundizar en el conocimiento conformando una Academia educativa.
- Proyecto Canals.- Parte de la labor educativa de Maria Antònia Canals ha quedado reflejada en el conjunto de materiales que ha elaborado y compilado durante su extenso periodo docente. Promovido por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte de España, desde el proyecto Descartes se abordó la producción de recursos TIC que buscaban contribuir a la difusión y conocimiento de dichos materiales, introduciendo una perspectiva enmarcada en el uso educativo de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación.
- Proyecto PI.- El proyecto "Pizarra Interactiva" (de acrónimo PI y con obvia sugerencia matemática) surge con el propósito de desarrollar recursos educativos digitales interactivos, para la Educación Primaria en las áreas curriculares de Lengua Castellana y Matemáticas, que estén diseñados para un uso preferente en la pizarra digital, pero siendo también susceptibles de usar en cualquier ordenador personal.
- Proyecto GEOgráfica.- Este subproyecto de la Red Educativa Digital Descartes (RED Descartes) tiene como objetivo aportar a la comunidad educativa de la aldea global una colección de recursos educativos interactivos que ayuden al aprendizaje de la Geografía mundial con diferentes niveles de detalle --desde el contexto global al local--, y con diferentes ámbitos disciplinarios, es decir, la Geografía general, física y humana, y la Geografía regional. Estos objetos educativos se plantean siguiendo esquemas habitualmente utilizados en materiales y juegos educativos clásicos.
- Proyecto Un_100.- El proyecto "Un_100" recoge 101 unidades didácticas o recursos educativos de las áreas de Matemáticas y Física y son para el nivel de Licenciatura, algunos también pueden ser usados en el bachillerato. En su elaboración han participado académicos de México, España, Colombia y Chile.
- Proyecto iCartesiLibri.- El objetivo de este proyecto es la conceptualización y el desarrollo de libros dinámicos, interactivos, multimedia, centrados en el aprendizaje y potenciadores de la educación de personas que aprenden a aprender, que adquieren autonomía y se forman competencialmente para afrontar su trayectoria vital.
- Proyecto competencias.- Esta web recoge objetos de aprendizaje interactivos cuyo objetivo es la formación y evaluación competencial. Sus contenidos se basan en las unidades liberadas de PISA y en las de las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico de diferentes comunidades autónomas españolas.
- Proyecto ED@D.- El proyecto "EDAD" (Educación Digital con Descartes) surge con el propósito de desarrollar recursos educativos digitales interactivos, para la Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en las áreas curriculares de Matemáticas, Ciencias Naturales y Física y Química, que permitan su uso tanto en la enseñanza presencial como en la formación a distancia.
- Proyecto Descartes.- Asociación no gubernamental sin ánimo de lucro que tiene como fin promover la renovación y cambio metodológico en los procesos de aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas, y también en otras áreas de conocimiento, utilizando los recursos digitales interactivos generados en el Proyecto Descartes.
"¿Por qué es importante la Educación Abierta?
La gente quiere aprender. Al proporcionar acceso gratuito y abierto a la educación y al conocimiento, la educación abierta ayuda a crear un mundo para apoyar el aprendizaje. Los estudiantes pueden obtener información adicional, puntos de vista y materiales para ayudarlos a tener éxito. Los trabajadores pueden aprender cosas que los ayudarán en el trabajo. La facultad puede recurrir a recursos de todo el mundo. Los investigadores pueden compartir datos y desarrollar nuevas redes. Los maestros pueden encontrar nuevas formas de ayudar a los estudiantes a aprender.
Las personas pueden conectarse con otras personas que de otra manera no se encontrarían para compartir ideas e información. Los materiales se pueden traducir, mezclar, dividir y compartir abiertamente de nuevo, lo que aumenta el acceso e invita a nuevos enfoques. Cualquiera puede acceder a materiales educativos, artículos académicos y comunidades de aprendizaje de apoyo en cualquier momento que lo deseen. La educación está disponible, accesible, modificable y gratuita".
(El párrafo anterior ha sido extraído literalmente de la web de la Open Education Week)
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Buenos días Isabel. Gracias por el comentario, esto nos anima…
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Gracias Justo por sus felicitaciones y positiva valoración en nuestro…
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en Martes, 02 Junio 2020 19:14
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