El cese de la actividad lectiva debido a las medidas excepcionales por la evolución del COVID-19 durante este tercer trimestre, nos ha obligado a replantear algunos aspectos relacionados con la docencia en las diferentes etapas educativas.
La etapa final de bachillerato merece especial atención ante la inminente realización de la Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad, que se llevará a cabo, previsiblemente, antes del verano. Muchos de los proyectos de la RED contienen materiales interactivos para 2º de bachillerato, que permiten al alumnado seguir el curso desde su casa y con la ayuda del profesorado, prepararse para las pruebas de selectividad.
En el siguiente vídeo presentamos la unidad Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones del proyecto iCartesiLibri de la RED para el estudio del álgebra matricial y sus aplicaciones en la resolución de sistemas de ecuaciones. Su diseño, en forma de libro dinámico interactivo, proporciona una forma ágil y sencilla de navegación entre las diferentes páginas.
El contenido se ha elaborado siguiendo las pautas que marca el currículo de Matemáticas II de 2º de bachillerato y contiene, además de la parte teórica, muchos ejemplos y ejercicios para practicar.
Al final de la unidad se presenta una escena con los problemas de Álgebra propuestos en la Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad del año 2018, en cada distrito universitario de España.
RED Descartes, ¡ayudando en tiempos de COVID-19!
Escrito por José R. Galo Sánchez
En RED Descartes finalizamos el mes de marzo con sabor agridulce, pues en el tristísimo contexto de una pandemia global logramos ¡un nuevo récord en nuestro servidor proyectodescartes.org! El mes de abril transcurrió en confinamiento y a la amarga suma de tantos y tantos fallecidos se hace muy difícil anexar ninguna otra contabilización. Sólo constatando que hay unicidad entre vida y muerte y que en el transcurso o ciclo de un estado a otro la formación es imprescindible, nos atrevemos a cuantificar, en cierta forma, nuestra altruista contribución a la comunidad educativa de la aldea global en estos tiempos de COVID-19. En el mes de abril de 2020 hemos alcanzamos un nuevo récord y han sido más de cuatro millones seiscientas mil páginas las que hemos servido y en cada una de ellas hemos añadido siempre ¡mucha ilusión, ánimo y esperanza!
En el mes de abril de 2020, el número de páginas servidas desde nuestro servidor proyectodescartes.org ha experimentado un incremento de más de quinientas mil páginas con respecto al mes de marzo, un 14% más que el récord alcanzado ese mes y casi un 200% respecto al anterior récord que conseguimos hace un año, en mayo de 2019. En total: 4 666 818 páginas.
El cierre de los centros educativos, motivado por la pandemia del COVID-19, ha provocado perspectivas educativas diferentes, han surgido nuevas necesidades y muchas de ellas han podido ser satisfechas a través de nuestro proyecto educativo. Eso es lo que hemos podido constatar en nuestro servidor que ha estado bastante ocupado dando servicio a las peticiones realizadas y que, afortunadamente, se ha portado de manera eficiente en casi todo el tiempo transcurrido. En algún momento el elevado número de conexiones ralentizó la respuesta y casi llegó al bloqueo, pero una reconfiguración del sistema ha devuelto la agilidad necesaria.
En la siguiente tabla se puede consultar en detalle parte de lo que acontecido observando las estadísticas de los registros automáticos en nuestro dominio proyectodescartes.org. Quien se adentre un poco en esa tabla puede observar que el día 10 y el 11 hay reflejadas unas cantidades muy bajas en relación al resto, la razón es que esos dos días tuvimos problemas con los archivos de "log" y no contabilizaron adecuadamente lo acontecido esos dos días, por tanto, el récord podría haber sido mayor al que reflejamos aquí. Pero no es nuestra preocupación, ni objetivo esencial, el superar récords, establecer marcas, nuestro fin es únicamente educativo y el seguimiento de estas estadísticas es meramente para tener una orientación del servicio que damos y de la utilidad de nuestro trabajo, con el matiz de que somos conscientes que la cantidad aporta sólo una visión parcial. Visión que hay que complementar cualitativamente con otras informaciones conseguidas por otros medios y que no son objeto de análisis aquí.
La siguiente tabla refleja un detalle algo más extenso de lo acontecido estadísticamente en este mes de abril de 2020 en proyectodescartes.org
Nuestro agradecimiento a todos los que os acercáis a este servidor, a los que hacéis una valoración positiva de nuestra labor y a los que regresáis para que podamos aprender todos juntos.
¡Continuamos...!
Congruencias en el triángulo de Pascal
Escrito por José R. Galo Sánchez
En el artículo "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" llegamos a la conclusión de que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, según la orientación dada por Pascal a su triángulo, entonces, por simetría, tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton. Eso es lo que se refleja en la siguiente imagen.
Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton.
Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal
En este artículo vamos a centrarnos en analizar cuándo un coeficiente binomial es divisible por un determinado número primo, un problema sobre el que podemos encontrar bastantes resultados con fundamento aritmético y algebraico. Aquí, nos centraremos en aquellos resultados que nos permitan determinar y visualizar gráficamente esas congruencias, es decir, poder obtener el gráfico de la imagen anterior, u otros análogos, sin necesidad de calcular el coeficiente binomial y determinar su congruencia u obtener ésta mediante una recurrencia.
La primera representación gráfica de estas congruencias puede situarse en un brevísimo artículo de Kung (1976). Esa gráfica se muestra en la siguiente imagen, la situada a la izquierda, y en la de la derecha se refleja la gráfica análoga, pero mostrándola según la orientación original de Pascal y coloreando en naranja los números combinatorios pares (en ella cada número se determina observando el correspondiente índice superior en color azul y en rojo el inferior):
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Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal. Kung, S. H. L. (1976). |
Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal en su orientación original |
Kung adicionalmente afirma, sin incluir la demostración, que para i entero no negativo:
- Si n = 2i y 1 ≤ k ≤ n-1, entonces
es par. - Si n = 2i-1 y 0 ≤ k ≤ n, entonces es impar.
Y ello se observa en las imagenes anteriores ya que para n = 0, 3, 7, 15, 31, todos los símbolos en esas filas o diagonales, respectivamente, son asteriscos (números impares). Y para n = 2, 4, 8, 16, 32, son todos cruces (números pares), salvo el primero y el último.
Ese es un breve artículo, pero que marca unas pautas que son extrapolables a la obtención de patrones en las congruencias con cero módulo otros números primos. De hecho, ese resultado es un caso particular de los dos que fueron enunciados en 1947 por N. J. Fine en su artículo "Binomial coefficients modulo prime", si bien el primero de ellos (según Joris et al. en un artículo de 1985) ya lo formuló Ram en 1909 (B. RAM, Common factors of n!/m!(n-m)!, (m= 1, 2 ,..., n- l), J. Indian Marh. Club (Madras) 1 (1909), 39-43):
- La condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes binomiales con 0 < k < n, sea divisible por un primo p es que n sea una potencia de p.
- La condición necesaria y suficiente para que ningún coeficiente binomial de índice superior n, con n = n0 + n1 p + n2 p2 + ⋅⋅⋅ + nm pm, siendo 0 ≤ nr < p y nr > 0, sea divisible por p es que nr = p - 1 para r < m.
Veamos cómo se reflejan estos resultados de una manera gráfica en las dos imágenes siguientes:
- En la imagen izquierda, se refleja gráficamente el primer resultado cuando p = 3, mostrándose todas las líneas en las que todos los números combinatorios son divisibles por 3, salvo el primero y el último. Esas líneas se corresponden con con 0 < k < n y n = 30, 31, 32, 33,... Gráficamente vienen a ser las "hipotenusas" de los triángulos rectángulos que particionan al triángulo de Pascal y que lo muestran a diferentes escala y posteriormente utilizaremos esta analogía y terminología coloquial para ubicar y describir otros resultados.
- En la de la derecha se reflejan aquellas líneas en las que ningún número combinatorio es divisible por 3. En la parte superior de esa imagen se reflejan las separaciones entre esas filas (por falta de espacio tipográfico no se refleja el caso 30) y a la derecha se muestra la descomposición p-ádica del índice n correspondiente a los números combinatorios de cada una de esas líneas (expanda la imagen pulsando sobre ella para verlo). Por ejemplo, para 53 = 2 30 + 2 31 + 2 32 + 1 33 y eso nos muestra el camino de "saltos" de amplitud potencias de tres que se han de dar para, partiendo de 0, llegar a 53 (dos de amplitud 30, dos de 31, dos de 32 y uno de 33). Es decir, logramos mostrar visualmente, geométricamente, lo que queda escondido en un abstracto resultado algebraico, el cual puede ser chocante a cualquiera que accede a él por primera vez. Emulando a nuestro alumnado a la pregunta: ¿a quién se le ocurre que la descomposición p-adica da respuesta a este problema? le mostramos que el resultado algebraico, posiblemente, fue consecuencia de su visualización y la "pureza" matemática procedió a esconderlo.
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Números combinatorios |
Números combinatorios |
En la miscelánea del final de este artículo podemos reproducir las situaciones descritas para cualquier primo hasta el 31 y en este enlace se tiene un muestrario rápido de las mismas.
Y justamente, en base a la observación de esos patrones geométricos, podemos visualizar y deducir la propiedad que nos permite detectar todas las hipotenusas de todos los triángulos rectángulos isósceles que muestran esas congruencias. Podemos ver cómo hay triángulos de diferente tamaño, siendo pa-1 el tamaño de las hipotenusas respectivas, y cada uno de ellos tienen una distribución periódica en horizontal y vertical con un periodo pa. Por ejemplo, en la siguiente imagen se reflejan en color naranja los números combinatorios congruentes con cero módulo 5 y se observan tres tipos de triángulos según su tamaño: los de hipotenusa 4 = 51-1, los de 24 = 52-1 y parcialmente (en la esquina inferior derecha) el de 124 = 53-1. La hipotenusa del primero se ha reflejado en color verde y el triángulo se repite periódicamente en horizontal y vertical con un periodo 5, según se ve en dicha imagen. La del segundo está reflejada en color violeta y se repite también periódicamente con periodo 52, y así sería de manera análoga y sucesiva.
Periodicidad en las hipotenusas de los triángulos congruentes
Lo anterior, ahora le invito a que mire con ojos algebraicos, queda englobado en el resultado que enuncio a continuación:
p es divisor de todos los números combinatorios 
con m, a, k ∈ ℕ, 0 < k < mpa y k no divisible por pa (1)
Este resultado personal puede relacionarse o considerarse como una reinterpretación —que se centra, enfoca y destaca el aspecto de periodicidad— del aportado por Ram (1909) —del que puede verse la demostración realizada por Albree (1972)— que afirma:
Para cualquier entero positivo n , pr = mcd { con 0 < k < n, y mcd (k, p)=1 } donde p es primo, r es un entero positivo y pr divide a n.
Y ¿por qué les remarco que es de gran interés determinar esas hipotenusas? La respuesta también puede visualizarse en la imagen anterior y lo detallamos a continuación ya que conocida una hipotenusa de números congruentes con 0 módulo p, con r < k < s, por la propiedad de los números combinatorios que relaciona los de índice superior n+1 con los de índice n,
se deduce que los números combinatorios que componen el triángulo rectángulo T(n; r, s)
(2)
—ver imagen siguiente— son también congruentes con 0 módulo p. La justificación es simple, dado que la suma de dos números divisibles por p es un número divisible por p.
Transmisión de la congruencia en las hipotenusas a los triángulos rectángulos
Joris et al. (1985) abordan un estudio más profundo al que necesitamos aquí de las propiedades de estos triángulos y a él dirigimos a quienes estén interesados en incrementar su conocimiento en este tema.
Combinando (1) y (2), concluyo que los números combinatorios congruentes con 0 módulo p siguen un patrón de triángulos "rectángulos" T(pa; 1, pa-1) cuyas hipotenusas están constituidas por los números combinatorios 
con a, k ∈ ℕ, 0 < k < pa.
Patrón de triángulos T(pa; 1, pa-1) con p=3 y a = 1,2, y 3
distribuyéndose de forma periódica según el esquema:
T(m pa; 1+k pa, (1+k)pa-1) con 0 ≤ k < m y a, m ∈ ℕ
Eso es lo que se observa en el siguiente mosaico de imágenes donde se refleja:
-
- imagen superior izquierda: números combinatorios congruente con 0 módulo 3 en color naranja.
- imagen superior derecha: triángulos congruentes con T(31; 1, 31-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3.
- imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(32; 1, 32-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 32.
- imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(33; 1, 33-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 33.
Esquema de periodicidad de los triángulos T(pa; 1, pa-1) con p=3 y a = 1, 2, y 3
Así pues la reproducción de todas las congruencias con 0 es una mera reiteración gráfica, periodicidad, de esos triángulos básicos citados.
Pero dado un número combinatorio ¿podemos saber si es o no congruente con 0 módulo p sin necesidad de calcularlo, de una manera sencilla, rápida y sin aplicar recursividad, o lo que es equivalente, sin basarse en diagonales, es decir, en números combinatorios con índice superior menor que n? ¡Veamos que sí! y para ello nos vamos a basar en la posición relativa (fila y columna) que ocupa cada número combinatorio en el triángulo de Pascal original. Observemos que el número ocupa la fila n-k y la columna k, que todos los números combinatorios de índice n cumplen que la suma de la fila y la columna que ocupan es n, y que los números combinatorios del triángulo rectángulo T(n; r, s) cumplen que la suma de la fila y la columna de todos ellos es mayor o igual que n. Con este dato y en base a la periodicidad podemos afirmar lo siguiente:
Dado el número combinatorio , consideremos la descomposición p-ádica de n-k y de k
n-k = a0 + a1 p + a2 p2+ ⋅ + am pm
k = b0 + b1 p + b2 p2+ ⋅ + bm pm
con m = max (ent(logp(n-k)), ent(logp(k)) ), 0 ≤ aj, bj < p, se verifica que:
es divisible por p si y solo si aj + bj ≥ p al menos para algún j, 0 ≤ j ≤ m.
Además, para los valores de j en los que aj + bj ≥ p, entonces está en un triángulo T(pj+1; 1, pj+1-1) de números congruentes con 0 módulo p.
En la siguiente escena se puede reproducir visualmente todos los resultados indicados anteriormente y profundizar en el conocimiento de las interioridades del Triángulo de Pascal.
Pulsa sobre la imagen para abrir la escena
En la imagen anterior se observa como el número combinatorio 30 sobre 23 es congruente con cero módulo 2 y forma parte de un triángulo rectángulo básico de hipotenusa 1 , otro de hipotenusa 3 y otro de hipotenusa 7 (para éste último es evidente, para los dos anteriores haga traslaciones de los triángulos básicos, según el periodo antes indicado, y verá que ese número combinatorio está incluido en ellos). Todo se obtiene sin más que observar la relación de los coeficientes en la descomposición 2-ádica de la fila y columna que ocupa, ya que en este caso, para las tres primeras potencias de 2 la suma de los coeficientes es mayor o igual que el valor del módulo (en este caso 2).
Llegados a esta meta, estando aún confinados por la pandemia del COVID-19, cabe preguntarse si este artículo, y los dos anteriores publicados en este blog sobre este tema, tendrá o no continuidad... el tiempo lo dirá o quizás la necesidad de cambiar de temática para relajar la mente en otros ámbitos lo interrumpa. Tenga o no alguna nueva adenda, gracias a todos los que habéis dedicado parte de vuestro tiempo en leer lo descrito y los nuevos resultados hallados y expuestos en esta trilogía.
Operaciones con números naturales. Recursos para la evaluación
Escrito por Montserrat Gelis Bosch
Debido a las dificultades actuales para la enseñanza presencial a causa de la suspensión de las clases y con nuestros centros educativos cerrados, en la página de la Red Educativa Digital Descartes encontraremos una gran variedad de materiales para el aprendizaje en casa, con actividades interactivas y ejercicios para la evaluación.
En la web se dispone de materiales para todos los niveles: desde los primeros cursos de Primaria hasta el Bachillerato e incluso algunos pueden ser usados también en el nivel de Licenciatura.
En este artículo se proponen algunas opciones para la evaluación del trabajo que realiza el alumnado en casa. Para ello hemos seleccionado dos unidades de Operaciones con Números Naturales que pertenecen al proyecto Unidades Didácticas. Se trata de actividades adecuadas para 5º y 6º de Primaria y también para los primeros cursos de la ESO. Estas unidades constan de diferentes actividades autocorrectivas de cálculo con naturales. Cada vez que se actualiza la escena se generan números aleatoriamente, lo cual permite al estudiante realizar tantos ejercicios como sea necesario hasta dominar el tema.
Para la evaluación se han seleccionado algunas escenas concretas que el estudiante deberá completar. Una vez finalizados los cálculos, enviará al profesorado una captura de pantalla del resultado con las correcciones.
Hay muchas formas de presentar las unidades seleccionadas al alumnado, ya sea simplemente enviando por email la dirección web del recurso o mediante la inserción en algún espacio web con funciones de aula virtual, por ejemplo un Blog, Moodle, Webnode…
En el siguiente vídeo se muestran con detalle algunas de las actividades que contienen dichas unidades y se propone su inserción en un curso Moodle, utilizando para la evaluación el recurso tarea.
Más...
Agridulce récord mensual de páginas servidas desde proyectodescartes.org
Escrito por José R. Galo Sánchez
Con sabor agridulce, porque no está el mundo para muchas celebraciones, como colectivo humano que ponemos mucho tiempo e interés en contribuir a la educación y formación de los habitantes de esta aldea global de manera altruista, tenemos que congratularnos de poder llegar a tantas y tantas personas y así haber podido superar el anterior recórd que teníamos registrado. Han sido más de cuatro millones de páginas servidas en el mes de marzo desde nuestro servidor proyectodescartes.org ¡cuatro millones de mensajes de solidaridad, ánimo y ayuda!
Hace diez meses os anunciamos que en el mes de mayo de 2019 habíamos alcanzado un nuevo récord mensual de páginas servidas desde nuestro servidor proyectodescartes.org, en concreto fueron 2413688 páginas, más de dos millones cuatrocientas mil páginas. El mes pasado, febrero de 2020, estuvimos a punto de superar ese récord, pues llegamos a 2383011, es decir, cincuenta mil páginas menos del récord anterior, pero en un mes de sólo veintinueve días y un mes digamos normal en el sentido de que no había sensación de ningún acontecimiento extraño que justificara ese aumento, aunque había cierto runrún en el entorno. Así, se desarrolló estadísticamente ese mes de febrero en nuestro servidor:
Estadísticas de febrero de 2020 del servidor proyectodescartes.org (ayuda)
Ese positivo comportamiento en el numero de páginas servidas diariamente, por encima de la media, se mantuvo también durante la primera quincena de marzo.
Estadísticas de la primera quincena de marzo de 2020 del servidor proyectodescartes.org
Pero, la declaración del estado de alarma en España con motivo de la pandemia producida por el COVID-19, que provocó el cierre generalizado de centros escolares el día 13 de marzo —aunque en algunas comunidades comenzó con antelación el 10 de marzo— condujo a la duplicación de las páginas servidas diariamente.
El domingo 15 publicamos el artículo "Educación a distancia y gratuita con Descartes" y recibió más de diecisiete mil visitas en un día y, junto a su divulgación en las redes sociales, contribuyó a propagar el potencial y la realidad de nuestro proyecto, mostrando cómo, no sólo podemos ayudar en situaciones habituales de docencia presencial sino también en estos tiempos díficiles donde la formación ha de continuarse forzosamente en la distancia.
Estadísticas segunda quincena de marzo 2020 del servidor proyectodescartes.org
Este confinamiento se extendió también a algunos países de latinoamérica. En particular a Colombia donde, por esta desgracia común, nuestros colegas de RED Descartes Colombia también planificaron acciones en sus instituciones educativas y en ellas han divulgado ampliamente los recursos de RED Descartes y su uso integrado en plataformas y/o herramientas. Todo ello ha contribuido significativamente a este incremento de prestaciones en nuestro servidor.
En este contexto el día 30 alcanzamos el máximo de páginas servidas en este mes, fueron más de doscientas catorce mil páginas (si bien no es un récord diario, ya que éste se alcanzó de manera esporádica en marzo de 2017 con 284332 páginas).
Todo ello ha contribuido a ese incremento sustancial de páginas servidas y también de accesos, de archivos, de visitas, de clientes y de Gb. Y todo muestra que ¡ahora! en los momentos difíciles y ¡siempre!, nuestro trabajo altruista tiene un alcance cuantitativo importante y me atrevo a asegurar, aseguro, que también cualitativamente conseguimos un alcance educativo que es intenso, profundo y de gran calidad.
Con sabor agridulce, porque no está el mundo para muchas celebraciones, como colectivo humano que ponemos mucho tiempo e interés en contribuir a la educación y formación de los habitantes de esta aldea global de manera altruista, tenemos que congratularnos de poder llegar a tantas y tantas personas y así haber podido superar el anterior recórd que teníamos registrado. Han sido más de cuatro millones de páginas, cuatro millones de mensajes de solidaridad, ánimo y ayuda.
Muchas gracias a todos los que os acercáis a este servidor, a los que hacéis una valoración positiva de nuestra labor y a los que regresáis para que podamos aprender todos juntos.
¡Continuamos...! y venceremos al COVID-19.
La siguiente tabla refleja un detalle algo más extenso de lo acontecido estadísticamente en este mes de marzo de 2020 en proyectodescartes.org
Nota bene: Aunque en este artículo nos hemos centrado en el número de páginas servidas, en el resumen estadístico anterior también se pueden observar otros parámetros que dan perspectivas adicionales a lo acontecido en nuestro servidor en este mes, por ejemplo:
- Se han conectado más de quinientos mil clientes (conexiones realizadas desde diferentes direcciones IP).
- El contenido servido ha sido superior a un Tb, aproximadamente unos 1128 Gb, lo que representa haber replicado el contenido completo de nuestro servidor (52 Gb) más de veinte veces en la nube.
El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal
Escrito por José R. Galo Sánchez
En el artículo anterior "El paralelogramo de Newton" se mostró la ampliación que realizó Newton del triángulo de Pascal y cómo, ésta, le condujo a extender la expresión de las potencias binomiales al caso de exponentes enteros negativos. En este artículo mostramos cómo el esquema organizativo con el que Pascal divulgó su triángulo es más adecuado que el que usó Newton (versión escalonada de Stifel), pues conocido el primero, el segundo se obtiene por una simple reflexión y, por tanto, las congruencias existentes entre los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton queda reducida a realizar una simetría de las congruencias del triángulo de Pascal.
Pascal, en su libro Traité du triangle arithmétique (1665) analizó las propiedades del triángulo aritmético que quedó finalmente ligado a su nombre. La forma en que lo organizó y presentó es la reflejada en la siguiente imagen que he tomado de dicho libro, que es de dominio público:
El triángulo aritmético de Pascal reflejado en su libro Traité du triangle arithmétique
Esa presentación difiere de la forma usual que actualmente suele utilizarse que lo muestra como un triángulo isósceles:
El triángulo de Pascal en su presentación como triángulo isósceles
Y también difiere de la usada por Newton como base para su extensión ya que usó un triángulo rectángulo completado con ceros para obtener un rectángulo:
Presentación del triángulo de Pascal para abordar la extensión de Newton
Esta versión escalonada aparece en el libro Arithmetica Integra (1544) de Michael Stifel (1487-1567), en el reverso de la página 44:
Presentación realizada por Stilfel y usada por Newton para su extensión
Esa extensión, que detallamos en el artículo previo citado, podemos resumirla en la siguiente imagen. En ella, reseñemos que cada fila del rectángulo se corresponde con los coeficientes binomiales del desarrollo de la potencia de un binomio. La fila numerada con el entero n se corresponde con los coeficientes del desarrollo de (a+x)n, por ejemplo, para n = -1 son los coeficientes de (a+x)-1 y para n = 2 los de (a+x)2.
El paralelogramo de Newton y el desarrollo binomial
Al expresar los coeficientes binomiales de índice superior negativo en base a otros de índice superior positivo:
, podemos observar la relación existente entre los coeficientes en el rectángulo de Newton correspondientes a la extensión realizada por él y los ubicados en la zona de partida de Pascal. Seleccionada una columna, salvo un posible cambio de signo, los coeficientes de la extensión de Newton (filas etiquetadas con números negativos) se corresponden con los del triángulo de Pascal, pero con una traslación en la numeración de las filas. Por ejemplo, para la columna 3 los coeficientes de la zona correspondiente a la extensión de Newton son {-1, -4, -10, -20, -35, -56, -84, ...} que se corresponden con las filas numeradas respectivamente como {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, ...}, y los coeficientes en la zona del triángulo de Pascal son {1, 4, 10, 20, 35, 56, 84 ,...} pero trasladadas en este caso dos posiciones, pues aquí sendas filas se correponden con {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}. Así pues, si quitásemos todos los ceros y ocupáramos esos huecos trasladando los números de cada columna hacia arriba, obtendríamos una tabla simétrica respecto a la línea de separación existente entre la fila 0 y la -1 (salvo el signo de los coeficiente que para columnas impares será negativo y para las pares positivo), de esta manera conocidos los coeficientes del triángulo de Pascal tenemos también los correspondientes al rectángulo de Newton y consecuentemente bastaría sólo obtener el primero. 
Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo
También podemos establecer otra relación: los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la columna 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la columna 1 y, en general, la fila -n con la columna n-1. Destacamos estas filas pues cada una de ellas nos aporta los coeficientes del desarrollo binomial con exponente negativo.
Y por la simetría del triángulo de Pascal también tendremos que los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la diagonal 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la diagonal 1 y, en general, la fila -n con la diagonal n-1.
Y omitiendo los ceros y trasladando las columnas hacia arriba para ocupar los huecos, obtenemos la siguiente distribución simétrica (en valor absoluto, insisto). Y en esa imagen hemos omitido la numeración de las filas en la parte inferior ya que esos coeficientes ya no se corresponden con los números combinatorios del triángulo de Pascal por filas, sino que esos coeficientes están ordenados según la estructura original adoptada por Pascal.
La relación observada en las imagenes anteriores se justifica sin más que detallar la relación existente entre los coeficientes binomiales que ahí están involucrados, y eso es lo que reflejamos a continuación. En el recuadro izquierdo tenemos los coeficientes del rectángulo de Newton, destacando en color naranja la ampliación de los números combinatorios con índice superior positivo o nulo y con índice inferior de mayor valor que el superior, cuyo valor es cero. En el cuadro intermedio se han omitido esos números nulos y se han compactado las columnas para ocupar los huecos. Y en el marco derecho se han expresado los coeficientes binomiales de índice negativo según su equivalencia con los números combinatorios y ahí puede comprobarse la simetría de los coeficientes que ya hemos indicado.
Y con esto ¿a qué hemos llegado? Pues observemos la siguiente imagen que tiene un contenido denso, pero que sirve de resumen.
Coeficientes binomiales y binomio de Newton con exponente natural y entero
En la parte izquierda se reflejan los coeficientes binomiales obtenidos en el cuadro anterior, donde podemos destacar que:
- Cada fila de la parte superior del rectángulo de Newton —por ejemplo la etiquetada en color azul como -n, ubicada encima de la línea naranja— se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a+x)-n, tal y como indicamos en el artículo anterior.
- Cada fila de la parte inferior, que es el triángulo de Pascal en su orientación original, se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a-x)-n, pues tenemos que:
- Cada una de las "diagonales" inferiores y superiores, coloreadas en tonos azules, se corresponden respectivamente con los coeficientes binomiales de (a+x)n y (a-x)n.
Así pues, como indicaba al inicio, basta tener el triángulo de Pascal para obtener todos los desarrollos binomiales con exponente natural y entero. En la posición original de Pascal, las filas son los coeficientes del desarrollo de (a-x)-n y a partir de este desarrollo el de (a+x)-n basta obtenerlo como (a-(-x))-n, y las diagonales son los coeficientes del desarrollo de (a+x)n y el desarrollo de (a-x)n se obtiene como (a+(-x))n.
Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal
Llegados a este punto, identificados el significado y posición de estos coeficientes binomiales, aquellos que no se acostumbren a esta posición pueden hacer un giro de vértice el del ángulo recto en el triángulo anterior y ángulo -45º y ubicarlo en la posición usual actual. Aquí lo tiene a continuación, ya hemos justificado que es autosuficiente, pero no sólo enseñe cuáles son los coeficientes de las potencias de exponente natural ¡hágalo también con los de exponente entero negativo!
Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal
Obviamente la presentación y orientación es a gusto del lector, pero en la posición dada por Pascal acontece que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y como lo observamos en la siguiente imagen.
Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton. Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal
Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes... Pero la profundización en estas congruencias tendremos que dejarlas para un tercer artículo, al que os emplazo dentro de unos días.
En la miscelánea "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" puede observarse lo antes descrito.
Nota bene: Eli Maor en su libro "e: historia de un número" (1994) describe que Newton en 1665 estuvo recluido durante dos años con motivo de la "gran peste de Londres" y que, durante ese tiempo, formó sus ideas sobre el universo y puso los fundamentos de lo que sería un cambio en el curso de la ciencia. Maor, también nos detalla que fue en esta época cuando procedió a la extensión del triángulo de Pascal y a la expansión de la potencia de un binomio a potencias de exponente entero y racional. Trescientos cincuenta y cinco años después, actualmente, estamos en un periodo de reclusión mundial a causa de la pandemia del "Coronavirus COVID-19" y aquí, en este artículo, recordando su "rectángulo".
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Estimada colega: Muchas gracias por su interés en nuestro/su proyecto…
Escrito por José R. Galo Sánchez
en Domingo, 08 Noviembre 2020 13:25
La Red Educativa Digital Descartes
(RedDescartes)
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Hola estoy interesada en participar y quiero utilizar la aplicación…
Escrito por como utilizar los objetos??
en Domingo, 08 Noviembre 2020 04:46
La Red Educativa Digital Descartes
(RedDescartes)
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Muy gentil por brindarme la información solicitada. Gracias
Escrito por Fabio López Romero
en Viernes, 06 Noviembre 2020 20:25
Editor en javascript
(DescartesJS)
