Este mes vamos a ver un vídeo de 4º ESO académicas sobre las ecuaciones y sistemas:

En este vídeo hemos tratado los siguientes puntos:

1.Ecuaciones de segundo grado
   Completas ax²+bx+c=0
   Incompletas ax²+c=0, ax²+bx=0
   Discriminante y soluciones

2.Otras ecuaciones
   Bicuadradas
   Racionales
   Irracionales
   Factorizadas

3.Sistemas de ecuaciones lineales  
   Solución de un sistema
   Sistemas compatibles
   Método de sustitución
   Método de igualación
   Método de reducción

4.Sistemas de segundo grado
   Sistema ax+by=c xy=k
   Sistema a0x²+b0y²=c0 a1x+b1y=c1

5.Aplicaciones prácticas
   Resolución de problemas

Lugares geométricos: Epicicloides e Hipocicloides.

Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de los conocidos como "Epicicloides" e "Hipocicloides" que son un tipo de Epi/Hipo Trocoides que a su vez son una clase de las Ruletas.

Dentro del amplio grupo de cicloides analizaremos los ll.gg. generados por un punto de una circunferencia, o dependiente de ella, cuando dicha circunferencia, a la que llamamos generatriz, gira sin deslizar, de forma tangencial, alrededor de otra circunferencia llamada directriz. Esto es, nuestro estudio se centra en uno de los tipos de las curvas planas cíclicas llamadas Ruletas.

Si la generatriz gira por el exterior de la directriz se genera una Epicicloide, que puede ser: ordinaria, epitrocoide acortada o epitrocoide alargada según la posición del punto generador respecto a la circunferencia generatriz de la que depende. Análogamente, si la generatriz gira por el interior de la directriz el l.g. generado es una hipocicloide que a su vez puede ser: ordinaria, hipotrocoide acortada o hipotrocoide alargada según veremos más adelante.

Para llevar a la práctica el estudio se han creado dos escenas: "epitrocoides.html" e "hipotrocoides.html" que se enlazan en la siguiente imagen que muestra como la utilidad "hipotrocoides.html" genera dos ll.gg. uno color rosa conocido como Deltoide (R/r=3) y el otro, de color azul, una hipotrocoide acortada. Esto es así porque se han considerado dos puntos generadores: uno en la circunferencia generatriz y otro, en este caso, interior a la misma. Ver detalles de la escena, dejando repetir la animación, o leer las instrucciones, hasta comprender el proceso de creación de los ll.gg.

Para profundizar en el estudio de los lugares geométricos y en el de uso del editor DescartesJS, hemos elaborado, de forma muy esquemática, las pequeñas utilidades mencionadas anteriormente. Son escenas basadas en la obra del profesor Ricardo Sarandeses Fernández, trabajo que está en proceso de adaptación a las nuevas versiones del editor DescartesJS. A propósito del nuevo editor hemos utilizado, a modo de plantilla, los extraordinarios recursos que la documentación del mismo enlaza en la web de sus creadores. La cantidad de ejemplos-ejercicios ofrecidos hacen que el potencial didáctico y de reutilización de dicha documentación y los ejemplos que la acompañan sea digno de mención ya que con un mínimo esfuerzo, cualquiera de esos abundantes trabajos, puede ser adaptado y servir así de plantilla para un proyecto personal tal como muestran los anteriores y el siguiente enlace.

Introducción al concepto de probabilidad

En ambas escenas, de las dos relacionadas con los ll.gg., se ha puesto especial énfasis en el proceso de elaboración de las ecuaciones paramétricas del l.g. lo que se manifiesta al analizarlas. Por otra parte las dos utilidades pueden ser reducidas a una sola muy fácilmente, lo que dejamos como ejercicio.

Indicamos que:

• Si se desea volver a ver la generación del l.g. o la realización de cualquier actividad desde el principio y con la escena despejada es suficiente con pulsar el botón inicio y efectuar las acciones adecuadas.
• Los pulsadores R, r y a definen la forma de los ll.gg. generados. Estos lugares podrian representarse, una vez configurados, mediante sus ecuaciones paramétricas; aunque hemos elegido visualizar su creación dinámica mediante una animación.

Como en anteriores ocasiones notamos que la utilidad es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

En los siguientes trabajos presentamos una recreación de las escenas anteriores realizadas con el programa GeoGebra con los propósitos de ahondar en el conocimiento de ambas plataformas: GeoGebra y DescartesJS de forma paralela para lograr los objetivos señalados en entradas anteriores.

La siguiente utilidad genera una amplia colección de epicicloides/epitrocoides según los valores que asignemos a los deslizadores. Conviene observar la animación para comprender la influencia que las asignaciones ejercen sobre los gráficos.

hoja de trabajo de las epicicloides

En la escena que enlaza la siguiente imagen se usa la ecuación de la curva para representarla una vez se conocen los valores que la definen.
Cuando el cociente R/r es un número natural la cicloide se completa en la primera vuelta de la generatriz, en cualquier otro caso es conveniente analizar el cociente anterior para preveer el comportamiento de la curva. La utilidad da un máximo de 10 vueltas, valor que puede modificarse para que se adapte dinámicamente a la situación y así hacer una aplicación más eficiente.
Al igual que en el caso de las epicicloides es conveniente analizar la animación.

hoja de trabajo de las hipocicloides

Proponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

En esta ocasión en la sección de vídeo hemos elegido de nuevo, debido a su indudable interés, dos de entre las muchas composiciones de Milton Donaire publicadas en YouTube.
La primera trata sobre el teorema de Menelao y la segunda sobre el teorema de Giovanni Ceva. El objetivo  es el de apreciar la influencia directa, e indirecta, que el conocimiento del triángulo y de las razones geométricas tiene en el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".

Teorema de Menelao

Teorema de Giovanni Ceva

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• Unidad para el taller de 4º de la E.S.O. "Curvas clásicas en coordenadas paramétricas" del profesor: Ricardo Sarandeses Fernández, que está en proceso de adaptación a la nueva versión del editor DescartesJS.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

En este vídeo presentamos una serie de actividades de introducción al azar y probabilidades pertenecientes al proyecto Canals de la RED para el ciclo superior de primaria y ESO. El proyecto Canals consta de objetos de aprendizaje basados en una selección de materiales elaborados por la reconocida profesora Maria Antònia Canals. El desarrollo de estos recursos con la herramienta Descartes añade interactividad y autocorrección a dichos materiales.  

En concreto se han seleccionado las actividades:

Juego blanco y negro. La escena presenta un tablero en blanco y negro, un botón que simula el lanzamiento de la moneda y dos jugadores. A partir de la experimentación del juego, se puede prever la probabilidad de una opción u otra.

Juego de azar. El gato y el ratón. En esta actividad se presenta un circuito con distintas ramificaciones. Los ratones siguen aleatoriamente distintos caminos que les permiten llegar al gato o al queso. La escena dispone de un contador a partir del cual el alumnado puede calcular una primera aproximación de la probabilidad de cada uno de los sucesos.

Juego de azar y combinaciones. Se trata de una actividad que simula el lanzamiento de dos moneda y presenta una tabla de recogida de datos que permite analizar los resultados.

Este mes vamos a ver la unudad de sistemas de ecuaciones de 2ºESO del Proyecto EDAD:

Hemos visto los siguiente puntos:

1.Ecuaciones lineales
   Definición. Solución

2.Sistemas de ecuaciones lineales    
   Definición. Solución
   Número de soluciones

3.Métodos de resolución
   Reducción
   Sustitución
   Igualación

4.Aplicaciones prácticas
   Resolución de problemas

El proyecto Miscelánea de la RED Descartes contiene un conjunto de actividades que tratan aspectos muy variados del currículum de Matemáticas y que se pueden utilizar como apoyo y refuerzo de los temas que se estén trabajando en clase.

Es un conjunto de materiales digitales interactivos, clasificados por temas o por niveles, que han sido diseñados con el objetivo de que el alumnado investigue, deduzca y llegue a conclusiones por sí mismo.

En este video se muestra una pequeña selección de actividades de álgebra y su inserción en un curso Moodle para su aplicación en el aula.

Este mes vamos a ver la unidad de "Expresiones algebraicas" de 1ºESO que va a ser la primera toma de contacto de nuestros alumnos con el álgebra y las ecuaciones:

En este vídeo hemos visto los siguientes puntos:

1.Lenguaje algebraico
   Expresiones algebraicas
   Traducción de enunciados
   Valor numérico

2.Monomios
   Características
   Suma y resta
   Producto

3.Ecuaciones
   Solución de una ecuación
   Ecuaciones equivalentes
   Resolución de ecuaciones
   Resolución de problemas

Lugares geométricos: Trisectriz de Maclaurin.

Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento del l.g. conocido como "Trisectriz de Maclaurin". Este l.g. resuelve, en el siglo XVIII, el problema clásico de la trisección de un ángulo pero no como pretendían los antiguos sabios griegos; aunque sí de una forma muy elegante y funcional.

Para profundizar en el estudio del lugar geométrico y en el de uso del editor DescartesJS, hemos elaborado, de forma muy esquemática, las pequeñas utilidades que se muestran a lo largo del capítulo. Son escenas basadas en la obra del profesor Pedro González Enríquez, trabajo que está en proceso de adaptación a las nuevas versiones del editor DescartesJS.

La primera de las escenas genera la Trisectriz de Maclaurin de la siguiente manera:

• Establecido un sistema de referencia y considerada una distancia cualquiera, por ejemplo a = 1 se crean los siguientes elementos:
  • Con centro en el punto (4·a,0) y radio 4·a se traza una circunferencia.
  • Dibujar la recta vertical x = -2·a
  • Se considera un punto cualquiera, A, de la circunferencia. Este punto es importante pues hará posible la creación del lugar geométrico.
  • Trazar la cuerda que pasa por el origen de coordenadas y por el punto A. Esta cuerda cortará a la recta  x = -2·a  en un punto que hemos llamado B que variará según A se desplaza por la circunferencia.
  • Se considera el punto medio del segmento AB al que llamaremos C y que, solidario con la cuerda se desplaza por el plano. Este es el punto fundamental ya que es el que genera, en su desplazamiento, el l.g. en estudio.
• Cuando el punto A recorre la circunferencia, el punto C define la Trisectriz de Maclaurin
• Para observar la generación del l.g. basta con pulsar el botón "anima/para" de la escena.
• Conviene ver la generación del l.g. con la curva oculta.
• El botón "curva" oculta/muestra la gráfica de la curva:
  x·(x² + y²) = a·(3·x²-y²)   - ecuación cartesiana del l.g.

lugar geométrico

Para los lectores menos familiarizados con el proceso de creación de escenas DescartesJS indicamos que:

• Si se observan trazos o gráficas, generalmente de color rojo, no justificados, o se desea volver a ver la generación del l.g. es suficiente con pulsar el botón limpia, que quitará de la escena los trazos indeseados.
• El botón zum ajusta el tamaño de la parte visible. Este botón al ser activado limpia, de forma predeterminada, la escena.
• El pulsador a controla el tamaño del lazo de la trisectriz y el botón inicio reinicia la escena.

Como en anteriores ocasiones indicamos que la utilidad es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

La escena que exponemos a continuación muestra como el lazo de la trisectriz es en realidad un trisector de ángulos. Esto se evidencia de la siguiente forma:

• En esta ocasión el punto A, que pertenece al l.g., es un control gráfico que puede desplazarse por la parte superior de la curva. Conviene que este desplazamiento se haga lentamente para así observar la formación del ángulo principal BCA y su trisección COA (o COA').
• El vértice del ángulo principal es el punto C (2·a,0)
• El punto B (3·a,0) define con el C el lado CB de dicho ángulo principal. El otro lado del ángulo es el segmento CA o en su caso, A en el 2º cuadrante, CA'. La trisección del ángulo BCA es el ángulo COA (COA'). Observar la definición gráfica de los ángulos al desplazar el control A.
• Cuando el ángulo principal se aproxima a 180º la secante OA, o bien OA', tiende a ser la tangente del l.g. en 0⁺ que en este punto tiene de ecuación   y = x  por lo tanto la trisección de 180º es el ángulo que dicha tangente forma con la parte positiva del eje horizontal, esto es 60º.

Lazo trisectriz de Maclaurin.

En los siguientes trabajos presentamos una recreación de las escenas anteriores realizadas con el programa GeoGebra con los propósitos de ahondar en el conocimiento de ambas plataformas: GeoGebra y DescartesJS de forma paralela para lograr los objetivos señalados en entradas anteriores.

La siguiente utilidad genera la trisectriz al desplazar el punto A por la circunferencia.

creación del l.g.

En la siguiente escena se usa el lazo de la curva de Maclaurin como trisector de ángulos.

Lazo trisector de Maclaurin

Proponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

En la sección de vídeo, hemos elegido uno que trata sobre lugares en el mundo conocidos, fundamentalmente, por sus características geométricas. El objetivo  es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografia:

• Parte de la Unidad creada por el profesor Pedro González Enríquez que se encuentra en fase de adaptación a DescartesJS.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

Un_100 es un proyecto de la RED que recoge unidades didácticas de matemáticas y física para el bachillerato y la universidad.

Los materiales están clasificados por temas y todas las unidades se han desarrollado utilizando el mismo esquema o plantilla común, se organiza la información en cuatro fases: motivación, inicio, desarrollo y cierre.

En este vídeo vamos a ver con detalle la unidad cálculo integral que consta de una serie de actividades de introducción al cálculo para bachillerato y los primeros cursos universitarios. Esta unidad contiene muchos ejemplos de muestra y diferentes tipos de ejercicios autocorregibles lo cual permite al alumnado practicar según sus necesidades favoreciendo así su aprendizaje.

Lugares geométricos: Caracol de Pascal II.

Continuamos con el estudio del l.g. "Caracol de Pascal". Este l.g. procede directamente de los lugares geométricos estudiados en la Grecia clásica: la Cisoide de Diocles, la Concoide de Nicomedes, la Espiral de Arquímedes, la Duplicatriz de Hipócrates, la Trisectriz de Hipias... que han sido analizados en entradas anteriores en este blog, de hecho, para ciertos valores de los parámetros que lo definen adopta la forma de la cardioide o la funcionalidad de la trisectriz.

De especial interés, para adentrarse en el contexto cultural que promueve el estudio de este lugar geométrico, es observar la producción pictórica del artista alemán Alberto Durero centrando la atención en los motivos geométricos, implícitos y explícitos, que muestra en la mayoría de sus obras.

Para profundizar en el estudio del lugar geométrico y en el de la creación de escenas con el editor DescartesJS, hemos elaborado, a modo de resumen, una escena que recopila parte de las mostradas en la entrada anterior y donde se hace una introducción al estudio de la ecuación cartesiana del caracol generado por el método de la curva plana de tipo ruleta. Esto puede observarse en la siguiente utilidad navegando por las definiciones y en concreto activando la "definición 4" y actuando sobre los controles y botones de la escena para ver las distintas ecuaciones, formas y maneras de generar el lugar geométrico caracol de Pascal.

definiciones.

Para los lectores menos familiarizados con el proceso de creación de escenas DescartesJS indicamos que:

• Si se observan trazos o gráficas, generalmente de color rojo, no justificados, o se desea volver a ver la generación del l.g. es suficiente con pulsar el botón limpia, que quitará de la escena los trazos indeseados.
• El botón zum ajusta el tamaño de la parte visible de la escena. Este botón al ser activado limpia, de forma predeterminada, la escena.
• Los pulsadores a y b controlan la forma del caracol, el botón inicio reinicia la escena y el botón créditos muestra la autoría de la utilidad.

Como en anteriores ocasiones indicamos que la utilidad es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

La escena que exponemos a continuación muestra como al ser a = b el caracol de Pascal puede usarse como trisector de ángulos gracias al lazo interior del mismo.

Hemos construido la escena de forma que un control gráfico, A, con el que podemos interactuar desplazándolo por el l.g. en el 1º y 2º cuadrante (notar la simetría) y así definir el ángulo que se desea trisecar con lo que, automáticamente, uniendo el punto A con los extremos horizontales del lazo interior, se obtiene la trisección.

La utilidad admite, como en casos anteriores, una amplia gama de modificaciones y generalizaciones, de fácil implementación, para adecuarse al propósito particular de uso.

Cuando el control A se encuentra sobre la parte superior del lazo se hace una proyección del mismo en la rama exterior del caracol y se determina la trisección del ángulo de la forma habitual.

Caracol como trisectriz.

En los siguientes trabajos presentamos una recreación de las escenas anteriores realizadas con el programa GeoGebra con el propósito de que, analizando los cambios en el proceso de creación de las utilidades se adquiera destreza en el uso de dichos procesos y el necesario conocimiento de ambas plataformas para discernir cuando implementar la interacción que señala la profesora Elena E. Álvarez Sáiz en sus extraordinarios e innovadores artículos en el blog, donde documenta y ejemplifica la manera de llevar a cabo la inclusión del cálculo simbólico mediante GeoGebra en las escenas DescartesJS.

Notar que en la siguiente utilidad hemos alterado el nombre y significado de algunos parámetros.

definiciones

En la siguiente escena se usa el caracol de Pascal como trisector de ángulos .

Debemos advertir que en esta ocasión también se ha cambiado el significado de los parámetros, aunque igual que en la ocasión anterior están perfectamente especificados los cambios en la información que se muestra

caracol trisector

Proponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

En la sección de vídeo, hemos elegido uno que trata sobre la identificación de la ecuación, en coordenadas Polares, del  caracol de Pascal y algunas de las definiciones que identifican este l.g. así como su construcción con el programa GeoGebra. El objetivo  es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• Parte de la Unidad creada por el profesor Pedro González Enríquez que se encuentra en fase de adaptación a DescartesJS.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS EN EL PLANO de J. Lafuente (ucm)
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2016