Misceláneas: Lugares geométricos. Cuadraturas III.
Escrito por Ildefonso Fernández TrujilloCUADRATURAS III.
Los problemas clásicos de la geometría griega son, por activa o por pasiva, fuente inagotable de inspiración. En esta ocasión el estudio de los lugares geométricos nos llevó a sus orígenes por ende a Hípias, Dinostrato, Arquímedes... e inevitablemente a la cuadratura dinámica del círculo, esto es, a la cuadratura de cualquier polígono regular; o no, con cualquier número de lados. Resultando que, aparentemente, en la base de este proceso está el cuadrado. Motivo por el cual decidimos estudiar este polígono. Ahora bien, al intentar analizar el cuadrado este, en sí mismo, parece desaparecer mostrando como en su interior subyacen infinidad de polígonos: triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, rombos… y una infinidad de otras formas inexistentes, virtuales, cuya proyección a la realidad tangible proporcionan, probablemente, los objetos y formas más útiles, en todos los sentidos, para el ser humano. Puede comprobarse como el trazo de unas pocas líneas en un cuadrado y a continuación al realizar el teselado del plano con el mismo, aparecen, de manera dinámica, formas que son el resultado de la composición de una traslación y/o de un giro; u otros, y como la visión de conjunto, a veces un palíndromo geométrico bidimensional, sugiere formas, sensaciones y conceptos cambiantes. Este procedimiento constructivo es el que los siguientes enlaces y escenas interactivas pretenden analizar aún cuando sea basándonos en los conceptos teóricos básicos y en los efectos visuales elementales que intervienen en el proceso.
La imagen siguiente está vinculada a la miscelánea que recoge un resumen de las ideas visuales expuestas a lo largo de esta entrada.
patrones y teselados
Para quien considere necesaria una inmersión en los conceptos básicos relacionados con las teselaciones hemos preparado los siguientes contenidos:
tesela pentagonal
La imagen anterior enlaza con una unidad que, en su día, desarrolló el profesor Ángel Aguirre Pérez y que he comenzado a adaptar a DescartesJS debido a que sus objetivos son similares a los que nos proponemos en este artículo y por tanto nos introduce en el tema de la forma clásica y básica.
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos acercamos a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
- Rellenado mínimo del plano y del espacio
Autor:
cubo de colores (origen de la imagen) - "Teselas de Escher y otras consideraciones sobre las teselaciones y movimientos en el plano.
Autora: María José Sánchez Quevedo.
Maurits C. Escher - Matemáticas mágicas, ingeniosas y... muy serias.
Autora: Therese Eveilleau.
Arte y Matemáticas - Amplio estudio del plano.
Blog. Varios Autores
Amplio trabajo sobre la teselación - Estudio de los frisos, cenefas y celosías.
Autora: Ángela Núñez Castaín
Amplio trabajo sobre movimientos y simetrías
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.
Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
A poco que se observen los trabjos de teselación expuestos o enlazados se evidencia que en cada uno de ellos se reproduce un patrón. Existe un amplio grupo de patrones y entre los más elementales están los conocidos como 'tipo mitad del cuadrado' que son los que se obtienen descomponiendo el cuadrado en dos o más partes diferenciadas, en nuestro caso, por el color, de manera que ambas formas tengan igual área. A continuación se exponen varios ejemplos de estos patrones que aclaran el concepto.
- Estudio de los patrones y sus teselaciones correspondientes tipo "mitad del cuadrado".
Mitad del cuadrado I.
Mitad del cuadrado: Patrón 1
El gráfico muestra que, por construcción, los triángulos ABM4, BCM4, DEM2 y M2FG son iguales por lo tanto el área de la parte azul es igual al área de la parte verde ya que los puntos: M1, M2, M3 y M4 son los puntos medios de los lados del cuadrado. - Mitad del cuadrado II.
Mitad del cuadrado: Patrón 2 - Mitad del cuadrado III.
Mitad del cuadrado: Patrón 3 - Mitad del cuadrado IV.
Mitad del cuadrado: Patrón 4 - Mitad del cuadrado V.
Mitad del cuadrado: Patrón 5
Debido a la extensión de la entrada las escenas que desarrollan la cuadratura del pentágono regular, tanto con DescartesJS como con GeoGebra, y otras relacionadas con el tema serán expuestas próximamente.
En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la tercera parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.
Cuadratura del círculo III
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos (cuadraturas) estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas."; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Una forma lúdica de teselar es resolver un rompecabezas, esto es un ejercicio para ejercitar la memoria visual y otras habilidades mentales por lo que proponemos, temporalmente, un amplio grupo de puzles para su resolución, uso y disfrute.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
- La Mitad del cuadrado. De José Antonio Mora Sánchez: aproximación al estudio de las teselaciones.
- CUADRATURAS. De Ildefonso Fernández Trujillo: aproximación al estudio de las cuadraturas.
- CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
- "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión.
XIV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica.
Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol. 105, Nº 2 (2012), 241-258
Fernando Bombal - Cuadraturas
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. Facultad de Ciencias UNAM. Cálculo Diferencial e Integral II - Páginas en GeoGebra de Vicente Martín Torres López
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
Misceláneas. Lugares geométricos: Cuadraturas II
Escrito por Ildefonso Fernández TrujilloCUADRATURAS II
Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos, las cuadraturas, las teselaciones y las particiones de un polígono en otros más pequeños con la intención de teselar, en general el espacio plano, y en particular otros polígonos de diferente forma es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las manifestaciones más sobresalientes de las diferentes culturas y épocas. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.
Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.
Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual, económico, agrario y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
- Teselaciones
aguilas - Mosaico de Escher
Autor: Enrique Martínez Arcos. Adaptación a DescartesJS: Mª José García Cebrian. Publicado por: Ángel Cabezudo Bueno
salamandras - Salamandra de Escher
Fernándo Pavez Peñaloza.
Salamandras 2 - Descubierto un nuevo pentágono que tesela el plano
teselas con pentágonos
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.
Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
- Estudio de la Cuadratura y Teselación de un Triángulo Equilátero.
Supongamos que el triángulo equilátero ABC (ver la siguiente figura), se descompone en los polígonos: AFEM3, FHI, IHBM2 y EM2CM3.
cuadratura del triángulo 1
Con los polígonos anteriores podemos formar muchas figuras, además del triángulo equilátero ABC, según coloquemos los polígonos en el plano. Una de las maneras de situar los polígonos es la que muestra la escena que enlaza la imagen anterior. En dicha escena: activando el botón anima o pulsando en el control alfa se observa como se recolocan los polígonos para formar el rectángulo EE2E3E4, visible cuando alfa = 3.14, que evidentemente es un cuadrado con el mismo área que el triángulo equilátero ABC.
Con la misma intención y con objeto de practicar con las animaciones y diferentes formas de lograr un objetivo se ha creado la escena que enlaza la imagen siguiente.
cuadratura del triángulo 2
Analizadas las dos escenas anteriores, conviene pulsar el botón ver aux. o aux, vamos a elaborar una nueva escena para obtener infinitas teselaciones del triángulo equilátero ABC y con dichas teselaciones recubrir un rectángulo y/o un cuadrado.
cuadratura del triángulo 3
En esencia la escena es la misma que las anteriores pero simplificada en extremo. Hemos procedido de la siguiente manera:
- dibujamos el triángulo equilátero ABC: A(0,0), B(6,0) y C(3, 6·sen(60º)).
- particionamos el lado horizontal de la siguiente forma:
- segmento AD controlado por el pulsador t
- segmento DE de longitud igual a la mitad del lado AB
- segmento EB tal que AD+EB=DE
- situamos los puntos medios de los lados AC y BC, M3 y M2.
- unimos, mediante una recta, uno de esos puntos medios con el punto más alejado de él entre D y E
- desde el otro punto medio y desde el punto intermedio de la partición que no se ha usado se trazan segmentos perpendiculares a la recta anterior.
- así se obtienen (por ejemplo) los polígonos: ADGM3, DEG, FEBM2 y FM2CM3 que teselan al triángulo. (ver escena enlazada con la imagen anterior)
- en la escena mencionada al pulsar el botón anima o llevar el pulsador ang a 3.14, se construye el rectángulo FF2F3F4 de igual área que el triángulo ABC y que cuando t vale 0.97 es un cuadrado.
- por lo tanto para cada valor de t tenemos una teselación diferente y para ciertos valores, además, la cuadratura.
- debe indicarse que la construcción está aproximada a las centésimas y que para cualquier otro grado de precisión habría que reajustar los valores.
- Cuadratura estándar de un triángulo. El método estándar de cuadrar un triángulo consiste en hallar el rectángulo con la misma área que él y a continuación cuadrar dicho rectángulo como muestra la escena que enlaza la siguiente imagen.
Construcción de la escena:
- paso 0
- Representamos el triángulo, en esta ocasión equilátero, ABC y los puntos médios de los lados: AC y BC.
- paso 1
- El rectángulo ABDE, obviamente, tiene la misma superficie que el triángulo ABC.
- El botón comprobar muestra una animación que evidencia la afirmación anterior.
- paso 2
- Prolongamos los lados BD y ED como apoyo a la construcción.
- Con centro en D y radio DB se traza la circunferencia que junto a la extensión del lado ED definen el punto F.
- Se determina G, punto medio del segmento EF.
- Con centro en G y radio EG se traza la circunferencia que en su intersección con la prolongación de BD determina el punto H.
- En la escena (paso 2) se observa que el segmento DH es medía geométrica de ED y DF, pero DF = BD, por lo tanto AB·BD = DH2.
- Construimos el cuadrado DIJH.
- paso 3
- SABC=SABDE=SDIJH
Cuadratura estándar de un triángulo - paso 0
Enlazamos a continuación otros ejemplos relacionados con el cuadrado y su partición en dos partes iguales o en dos/tres partes de forma que el área de una de las partes es siempre igual a la mitad de la superficie del cuadrado.
Escena 1
Partición dinámica del cuadrado en dos/tres partes.
Escena 2
Partición dinámica del cuadrado en dos partes iguales
Las escenas anteriores muestran la intima relación del cuadrado con el triángulo, el rectángulo y los trapecios para conformar teselas de indudable belleza.
Notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Cuadratura del Hexágono, por el método estándar o clásico y la descomposición de un triángulo equilátero de infinitas formas diferentes en cuatro polígonos para teselar rectángulos e incluso el cuadrado .
La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación de la Cuadratura del Hexágono por el método estándar.
Cuadratura del Hexágono. Método clásico.
Cuadratura del Hexágono
Descomposición de un triángulo equilátero.
La siguiente utilidad es copia de la ya analizada anteriormente.
Descomposición del triángulo
También, en esta introducción elemental al estudio de las cuadraturas, puede ser de interés el estudio de este otro trabajo sobre la cuadratura de un triángulo cualquiera.
Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido la segunda parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.
Cuadratura del círculo II
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografia:
- La Mitad del cuadrado. De José Antonio Mora Sánchez: aproximación al estudio de las teselaciones.
- CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
- "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión.
XIV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica.
Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol. 105, Nº 2 (2012), 241-258
Fernando Bombal - Cuadraturas
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. Facultad de Ciencias UNAM. Cálculo Diferencial e Integral II - Páginas en GeoGebra de Vicente Martín Torres López
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
Tablas y expresiones algebraicas
Escrito por Montserrat Gelis BoschEl proyecto Unidades Didácticas de la RED está formado por una serie de unidades independientes que cubren el currículo de Matemáticas y Física y Química de la Enseñanza Secundaria Obligatoria.
En este vídeo presentamos la unidad Tablas y expresiones algebraicas que consta de una serie de ejercicios y actividades para afianzar la lectura e interpretación de gráficas y su relación con las expresiones algebraicas.
Finalmente, para trabajar en el aula, se muestran los pasos a seguir para insertar esta unidad en un curso moodle.
Progresiones geométricas. Aplicaciones
Escrito por Montserrat Gelis BoschEsta semana presentamos una unidad interactiva del proyecto misceláneas que contiene actividades de aplicación de las progresiones geométricas. Ha sido creada a partir de unidades liberadas PISA y en ella se plantean tres actividades distintas en las cuales aplicar conocimientos sobre progresiones.
En la primera actividad, a partir de una imagen del triángulo de Pascal y la sucesión de los primeros términos, el alumnado deberá calcular la suma de un número determinado de filas.
En la segunda actividad, pentagramas, se presenta la imagen de una serie de pentágonos inscritos y se pide la suma de las áreas de los infinitos pentágonos.
Finalmente, en la actividad escala temperada, a partir de una frecuencia inicial dada y la razón, se debe calcular la frecuencia de una nota determinada.
EDAD 4º ESO Académicas - Semejanza
Escrito por Alfonso Saura EspínEl vídeo de este mes es también de semejanza pero de 4ºESO Académicas:
Los epígrafes tratados han sido los siguientes:
1.Semejanza
Figuras semejantes
Teorema de Tales
Triángulos semejantes
2.Triángulos rectángulos. Teoremas
Teorema del Cateto
Teorema de la Altura
Teorema de Pitágoras generalizado
3.Razón de semejanza
Razón de semejanza en longitudes
Razón de semejanza en áreas
Razón de semejanza en volúmenes
Este mes vamos a ver un vídeo de 2ºESO correspondiente a la Semejanza.
En él hemos tratado los siguientes puntos:
1.Teorema de Tales
Enunciado y posición de Tales
Aplicaciones
2.Semejanza de figuras
Figuras semejantes
Semejanza de triángulos
Aplicaciones
Relación entre áreas
3.Ampliación y reducción de figuras
Ampliación, reducción y escala
4.Teorema de Pitágoras.
Enunciado
Aplicaciones
Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas.
Escrito por Ildefonso Fernández TrujilloCUADRATURAS.
Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las expresiones artísticas, religiosas, estructurales y técnicas de las diferentes culturas y épocas. Los conceptos, fundamentalmente los geométricos, físicos y filosóficos aparentan una evolución-involución atractiva y armónica que fascina. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.
Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.
Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.
El movimiento de la pelota. Proyecto Newton
Escrito por Montserrat Gelis BoschEl subproyecto “Problemas” del proyecto Newton, está formado por un conjunto de materiales digitales interactivos que tratan aspectos muy variados del currículo de Física y Química en forma de resolución de un problema.
En este vídeo vamos a mostrar con detalle la unidad de 4º de la ESO, el movimiento de la pelota. En esta escena se considera el movimiento de una pelota lanzada con una determinada velocidad y en una dirección determinada. Se analizan las fuerzas y las ecuaciones del movimiento así como la trayectoria y las variaciones de energía en todo el proceso.
La escena consta de los siguientes apartados:
- Guía del alumno. Se plantea el enunciado del problema y se dan indicaciones para su resolución.
- Escenas interactivas. Dos escenas en las cuales se pueden observar las fuerzas que actúan y la velocidad en cada momento. El alumno puede modificar la masa de la pelota, la velocidad inicial de lanzamiento y el ángulo de la trayectoria
- Evaluación. Este apartado consta de varias preguntas con diferentes respuestas para comprobar lo aprendido.
- Problema resuelto. Se accede a un documento en pdf con el problema resuelto paso a paso.
EDAD 4ºESO Aplicadas Ecuaciones e inecuaciones
Escrito por Alfonso Saura EspínEste mes vamos a ver un vídeo sobre las ecuaciones e inecuaciones de 4ºESO Enseñanzas aplicadas:
Hemos tratado los siguientes puntos:
1.Ecuaciones
Elementos de una ecuación
Solución de una ecuación
2.Ecuaciones de primer grado
Solución
Aplicaciones
3.Ecuaciones de segundo grado
Solución
Incompletas
Número de Soluciones
Aplicaciones
4.Otros tipos de ecuaciones
Bicuadradas
Tipo (x-a)·(x-b)·...=0
Ensayo-error. Bisección
5.Inecuaciones con una incógnita
Definición. Propiedades
Inecuaciones de grado uno
Inecuaciones de grado dos
Misceláneas. Lugares geométricos: las cónicas III
Escrito por Ildefonso Fernández TrujilloLas cónicas como lugares geométricos: La Parábola.
Dentro del estudio de los lugares geométricos tienen un especial interés los relativos a las cónicas por motivos muy diversos, fundamentalmente geométricos, físicos y filosóficos. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación a su conocimiento genérico analizando algunos aspectos de la Parábola considerada como lugar geométrico. Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico y funcional que la Geometría clásica ha tenido en las poblaciones cultas: el cucurucho con sus múltiples aplicaciones, los niños y niñas jugando con el aro, la peonza, el yoyo...
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
- La Parábola como lugar geométrico.
El Origami y las Matemáticas - Generación de la Parábola como lugar geométrico.
Trabajo muy detallado de la creación del l.g. Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin)
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum para ESO y Bachillerato.
Ambos trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
- Estudio de la PARÁBOLA I. La parábola como l.g. generado por el método, basado en la definición, del triángulo isósceles.
A partir de una recta d (directriz) y de un punto F (foco) consideramos que un punto del plano, P, pertenece a la parábola (F,d) si la distancia de P a M (ver imagen) es igual a la distancia de P a F. Esto es, el triángulo PMF es isósceles y por lo tanto la altura de dicho triángulo trazada desde P corta al lado FM en su punto medio. O bien que la intersección de la perpendicular a la directriz por un punto M de la misma con la perpendicular por el punto medio de FM es un punto de la parábola. Haciendo que M recorra la directriz obtendremos la parábola (F,d).
parábola l.g. I - Estudio de la PARÁBOLA II. En esta ocasión se considera la parábola como el l.g. generado por los puntos, Q y R, intersección de la circunferencia c(F,r) con la paralela a la directriz por el vértice cuando el vértice, como punto virtual v', se desplaza por el eje focal desde su posición original hasta el infinito alejandose de la directriz (ver la animación completa), el radio de la circunferencia, r es igual a la distancia del vértice virtual v' a la directriz.
Es trivial comprobar que los puntos Q y R siempre son puntos de la parábola.
Se ha construido el l.g. por este segundo método sobre la construcción anterior por motivos didácticos.
parábola l.g. II
En la primera escena el botón anima y en la segunda el pulsador k y el botón anima, generan el l.g. (parábola).
Continuamos animando a conocer el editor DescartesJS. Volvemos a exponer la adaptación a DescartesJS de la Unidad realizada por el profesor Antonio Caro Merchante debido a su relación con los conceptos en estudio.
cónicas
Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Parábola, primero por el método del triángulo isósceles y a continuación por el método clásico de la intersección de recta y circunferencia.
La Parábola. Método I.
hoja de trabajo de la parábola (I)
La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método, intersección de paralela a la directriz con la circunferencia de centro el foco y radio variable..
La Parábola. Método II.
la parábola (método II)
Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la ecuación del lugar geométrico que define a una curva cónica.
Las Cónicas como lugares geométricos
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
- CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
- "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
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