Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas V. La cuadratura del círculo II.

Son varios los grandes matemáticos que han conseguido, por uno u otro camino, la cuadratura del círculo. Hemos analizado, en este blog, algunas de las formas en que dicha cuadratura se ha logrado, fundamentalmente las relacionadas con lugares geométricos que de una u otra manera consiguen determinar un segmento relacionado con el número π.

Dentro de la particularidad que nos ocupa: la cuadratura del círculo, también hemos podido apreciar el indudable valor de algunos de los procedimientos mecánicos (técnicos) que diferentes artistas, arquitectos y científicos interesados en el tema han elaborado. En este sentido enlazamos a continuación con el interesante trabajo del profesor Carlos Calvimontes Rojas sobre la cuadratura del círculo donde muestra una selecta documentación relacionada con el tema y basada en la desarrollada por Leonardo Da Vinci y Vitrubio, con la verificación de la aportación gráfica de la misma con el programa de diseño arquitectónico Autocad.

cuadratura del círculo 

Recomendamos la lectura completa del documento así como el análisis de su bibliografía.

Volvemos a enlazar con el blog de Miguel Ángel Morales Medina, en esta ocasión lo hacemos al artículo sobre la cuadratriz.

Blog Gaussianos 

A continuación exponemos varias escenas interactivas elaboradas con DescartesJS y el programa GeoGebra que muestran la cuadratura del círculo utilizando los lugares geométricos aportados por Hípias (Dinostrato) y Arquímedes.

• Cuadratura del círculo I: Con la ayuda de la animación y siguiendo las instrucciones encontramos la media proporcional que depende de π y de r y que nos permite hallar el cuadrado con el mismo área que el círculo dado.
  
  Escena desarrollada con DescartesJS.

  
  cuadratura del círculo (Dinostrato)

• Cuadratura del círculo II: La siguiente escena, creada también con el editor DescartesJS muestra la generación de la espiral de Arquímedes y la determinación de un segmento de longitud (raíz cuadrada de π) · r con dicha espiral.

  
  
  cuadratura del círculo (Arquímedes)

A continuación exponemos las mismas escenas anteriores pero en esta ocasión elaboradas con el programa GeoGebra. Las escenas son especialmente sencillas por si se desean tomar como referencia para ampliar con contenido propio.

En primer lugar se muestra la cuadratura del círculo con la cuadratriz de Dinostrato y a continuación la cuadratura del círculo con la espiral de Arquímedes.

cuadratura del círculo (Dinostrato)

cuadratura del círculo (Arquímedes)

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la generación del lugar geométrico Trisectriz - Cuadratriz de Hípias - Dinostrato.

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con las cuadraturas estudiadas para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos  analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
• "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión.
  XIV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica.
  Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol. 105, Nº 2 (2012), 241-258
  Fernando Bombal
• Cuadraturas
  Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. Facultad de Ciencias UNAM. Cálculo Diferencial e Integral II
• Páginas en GeoGebra de Vicente Martín Torres López
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2018

Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas V. La cuadratura del círculo.

Como prólogo a un breve estudio sobre la cuadratura del círculo, hemos analizado la manera de cuadrar algunos polígonos y hecho una breve reflexión sobre los teselados. En particular se ha visto, entre otros asuntos, el método general de cuadrar los polígonos regulares y referente a las teselaciones se ha mostrado, entre otras, la manera de teselar un triángulo cordobés con una sucesión de triángulos cordobeses.

Dentro del tema que nos ocupa: los Lugares geométricos también, en su día, estudiamos las Trisectrices de Hipias y Nicomedes y en otros artículos se han expuesto misceláneas y escenas que desarrollan la espiral de Arquímedes y la cuadratriz de Dinostrato; no obstante en la presente entrada volvemos a insistir en el estudio de las primeras curvas mecánicas o lugares geométricos creados por estos autores por su evidente interés y para animar a la conversión en misceláneas de las escenas que aún no lo son.

Anteriormente hemos enlazado el extraordinario trabajo del profesor Fernando Bombal sobre la cuadratura del círculo, volvemos a hacerlo y en el leemos:

curva trisectriz (cuadratriz) 

Recomendamos la lectura completa del documento así como el análisis de su extensa bibliografía.

También en entradas anteriores hemos enlazado con el blog de Miguel Ángel Morales Medina, en esta ocasión lo hacemos al básico pero minucioso artículo sobre la cuadratura del círculo: ¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?.

Blog Gaussianos 

A continuación y también como prolegómeno al estudio de la cuadratura del círculo enlazamos con dos pequeños trabajos sobre la cuadratura de las lúnulas: el primero de ellos creado con DescartesJS y el segundo con el programa GeoGebra.

• Cuadratura de una lúnula I: Con la ayuda de dos semicírculos creamos una lúnula y aplicando el teorema de Hipócrates de Chios encontramos, según se muestra en la siguiente escena interactiva, un triángulo de igual área que dicha lúnula. Cuadrando el triángulo obtenemos la cuadratura de la lúnula.
  
  Escena desarrollada con DescartesJS.
  

  
  cuadratura de una lúnula

• Cuadratura de una lúnula II: actuando de forma análoga a como hemos hecho en la escena anterior obtenemos la cuadratura de una lúnula con el programa GeoGebra

  
  
  cuadratura de una lúnula

Las escenas que se exponen a continuación son recreaciones de otras ya expuestas en este blog y tienen como objetivo refrescar la memoria sobre las curvas mecánicas mencionadas anteriormente.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

La trisectriz de Hípias

trisectriz

La trisectriz - cuadratriz de Hípias - Dinostrato

En la siguiente escena se determina un segmento relacionado directamente con el número π utilizando la trisectriz - cuadratriz de Hípias - Dinostrato

trisectriz - cuadratriz

Las siguientes utilidades muestran: la primera, además de las ecuaciones paramétricas de la espiral, la manera como se genera el lugar geométrico conocido como espiral de Arquímedes y la otra la determinación de un segmento de longitud raiz cuadrada de π, en esta ocasión mediante la mencionada espiral de Arquímedes y la ecuación cartesiana de dicho lugar geométrico.

espiral de Arquímedes

deducción de raiz de π con la espiral de Arquímedes

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, del área de las lúnulas de Hipócrates.

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con las cuadraturas estudiadas para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
• "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión.
  XIV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica.
  Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol. 105, Nº 2 (2012), 241-258
  Fernando Bombal
• Cuadraturas
  Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. Facultad de Ciencias UNAM. Cálculo Diferencial e Integral II
• Páginas en GeoGebra de Vicente Martín Torres López
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

CUADRATURAS IV.

La cantidad de patrones de teselado, por lo tanto la cantidad de teselados, es infinita e inagotable. También lo es la cantidad de no teselados. Los alarifes que hicieron posible la habitación de retiro de la reina y sus alrededores, en la alhambra de Granada, hicieron realmente, poesía geométrica viva, dinámica, sensorial, placentera, evocativa…

Hacemos hincapié en el estudio de los patrones más elementales del grupo de los básicos con objeto de analizar como una sutil variación en la forma o el color produce efectos anímicos y visuales muy diferentes y así facilitar el proceso de análisis y creación de las teselaciones más complejas.

Además de nuevos enlaces volvemos a mostrar, por su interés, algunos de los ya expuestos en entradas anteriores:

patrones y teselados 

Para quien considere necesaria una inmersión en los conceptos básicos relacionados con las teselaciones hemos preparado los siguientes contenidos:

tesela pentagonal 

La imagen anterior enlaza con una unidad que, en su día, desarrolló el profesor Ángel Aguirre Pérez y que he comenzado a adaptar a DescartesJS debido a que sus objetivos son similares a los que nos proponemos en este artículo y por tanto nos introduce en el tema de la forma clásica y básica.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos acercamos a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.

• teselado del plano y del espacio
  
  Wikipedia

  
  Teselado

• "Teselas de Escher y otras consideraciones sobre las teselaciones y movimientos en el plano.
  Autora: María José Sánchez Quevedo.

  
  Maurits C. Escher

• Matemáticas mágicas, ingeniosas y... muy serias.
  Autora: Therese Eveilleau.

  
  Arte y Matemáticas

• Amplio estudio del plano.
  Blog. Vaios Autores

  
  Amplio trabajo sobre la teselación

• Estudio de los frisos, cenefas y celosías.
  Autora: Ángela Núñez Castaín

  
  Amplio trabajo sobre movimientos y simetrías

Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

A poco que se observen los trabjos de teselción expuestos o enlazados se evidencia que en cada uno de ellos se reproduce un patrón. Existe un amplio grupo de patrones y entre los más elementales están los conocidos como 'tipo mitad del cuadrado' que son los que se obtienen descomponiendo el cuadrado en dos o más partes diferenciadas, en nuestro caso, por el color, de manera que ambas formas tengan igual área. A continuación se exponen varios ejemplos de estos patrones que aclaran el concepto.

• Estudio de los patrones y sus teselaciones correspondientes tipo "mitad del cuadrado".
  Mitad del cuadrado I.

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 6

• Mitad del cuadrado II.
  

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 7

  
  
  
• Mitad del cuadrado III.
  Este patrón ya ha sido expuesto en entradas anteriores, en la actual enlazamos con un ejemplo de las teselaciones a que da lugar.

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 8

  
  
  
• Mitad del cuadrado IV.
  

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 9

  
  
  
• Mitad del cuadrado V.
  

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 10

A continuación exponemos los trabajos que desarrollan la cuadratura del pentágono regular, tanto con DescartesJS como con GeoGebra.

• Cuadratura de un pentágono regular de lado AB. La miscelánea Pentágono regular: Cuadratura. Método clásico detalla más explícitamente la misma escena.

  
  cuadratura del pentágono

  Recordamos que:
  • La circunferencia c tiene de centro el punto D' y radio A'B'.
  • El arco c₂ tiene de centro el punto G' (punto medio de B'F') y radio G'B'.
  • El arco c₃ tiene de centro el punto D' y radio D'H'.
• La misma cuadratura realizada con el programa GeoGebra

  
  cuadratura del pentágono

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la creación, paso a paso, de una tesela reutilizando un "cede (CD)".

Interesante manualidad sobre teselación.

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con las cuadraturas estudiadss para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

Una forma lúdica de teselar es resolver un rompecabezas, esto es un ejercicio para ejercitar la memoria visual y otras habilidades por lo que proponemos, temporalmente, un amplio grupo de puzles para su resolución, uso y disfrute.

Juegos para entrenar la memoria visual.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
• "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión.
  XIV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica.
  Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol. 105, Nº 2 (2012), 241-258
  Fernando Bombal
• Cuadraturas
  Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. Facultad de Ciencias UNAM. Cálculo Diferencial e Integral II
• Páginas en GeoGebra de Vicente Martín Torres López
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017