Título: Ruletas cicloidales
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría plana
Nivel/Edad: 4º ESO (15 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Ildefonso Fernández Trujillo y Ángel Cabezudo Bueno

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Lugares geométricos: Epicicloides e Hipocicloides.

Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de los conocidos como "Epicicloides" e "Hipocicloides" que son un tipo de Epi/Hipo Trocoides que a su vez son una clase de las Ruletas.

Dentro del amplio grupo de cicloides analizaremos los ll.gg. generados por un punto de una circunferencia, o dependiente de ella, cuando dicha circunferencia, a la que llamamos generatriz, gira sin deslizar, de forma tangencial, alrededor de otra circunferencia llamada directriz. Esto es, nuestro estudio se centra en uno de los tipos de las curvas planas cíclicas llamadas Ruletas.

Si la generatriz gira por el exterior de la directriz se genera una Epicicloide, que puede ser: ordinaria, epitrocoide acortada o epitrocoide alargada según la posición del punto generador respecto a la circunferencia generatriz de la que depende. Análogamente, si la generatriz gira por el interior de la directriz el l.g. generado es una hipocicloide que a su vez puede ser: ordinaria, hipotrocoide acortada o hipotrocoide alargada según veremos más adelante.

Para llevar a la práctica el estudio se han creado dos escenas: "epitrocoides.html" e "hipotrocoides.html" que se enlazan en la siguiente imagen que muestra como la utilidad "hipotrocoides.html" genera dos ll.gg. uno color rosa conocido como Deltoide (R/r=3) y el otro, de color azul, una hipotrocoide acortada. Esto es así porque se han considerado dos puntos generadores: uno en la circunferencia generatriz y otro, en este caso, interior a la misma. Ver detalles de la escena, dejando repetir la animación, o leer las instrucciones, hasta comprender el proceso de creación de los ll.gg.

Para profundizar en el estudio de los lugares geométricos y en el de uso del editor DescartesJS, hemos elaborado, de forma muy esquemática, las pequeñas utilidades mencionadas anteriormente. Son escenas basadas en la obra del profesor Ricardo Sarandeses Fernández, trabajo que está en proceso de adaptación a las nuevas versiones del editor DescartesJS. A propósito del nuevo editor hemos utilizado, a modo de plantilla, los extraordinarios recursos que la documentación del mismo enlaza en la web de sus creadores. La cantidad de ejemplos-ejercicios ofrecidos hacen que el potencial didáctico y de reutilización de dicha documentación y los ejemplos que la acompañan sea digno de mención ya que con un mínimo esfuerzo, cualquiera de esos abundantes trabajos, puede ser adaptado y servir así de plantilla para un proyecto personal tal como muestran los anteriores y el siguiente enlace.

Introducción al concepto de probabilidad

En ambas escenas, de las dos relacionadas con los ll.gg., se ha puesto especial énfasis en el proceso de elaboración de las ecuaciones paramétricas del l.g. lo que se manifiesta al analizarlas. Por otra parte las dos utilidades pueden ser reducidas a una sola muy fácilmente, lo que dejamos como ejercicio.

Indicamos que:

• Si se desea volver a ver la generación del l.g. o la realización de cualquier actividad desde el principio y con la escena despejada es suficiente con pulsar el botón inicio y efectuar las acciones adecuadas.
• Los pulsadores R, r y a definen la forma de los ll.gg. generados. Estos lugares podrian representarse, una vez configurados, mediante sus ecuaciones paramétricas; aunque hemos elegido visualizar su creación dinámica mediante una animación.

Como en anteriores ocasiones notamos que la utilidad es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

En los siguientes trabajos presentamos una recreación de las escenas anteriores realizadas con el programa GeoGebra con los propósitos de ahondar en el conocimiento de ambas plataformas: GeoGebra y DescartesJS de forma paralela para lograr los objetivos señalados en entradas anteriores.

La siguiente utilidad genera una amplia colección de epicicloides/epitrocoides según los valores que asignemos a los deslizadores. Conviene observar la animación para comprender la influencia que las asignaciones ejercen sobre los gráficos.

hoja de trabajo de las epicicloides

En la escena que enlaza la siguiente imagen se usa la ecuación de la curva para representarla una vez se conocen los valores que la definen.
Cuando el cociente R/r es un número natural la cicloide se completa en la primera vuelta de la generatriz, en cualquier otro caso es conveniente analizar el cociente anterior para preveer el comportamiento de la curva. La utilidad da un máximo de 10 vueltas, valor que puede modificarse para que se adapte dinámicamente a la situación y así hacer una aplicación más eficiente.
Al igual que en el caso de las epicicloides es conveniente analizar la animación.

hoja de trabajo de las hipocicloides

Proponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

En esta ocasión en la sección de vídeo hemos elegido de nuevo, debido a su indudable interés, dos de entre las muchas composiciones de Milton Donaire publicadas en YouTube.
La primera trata sobre el teorema de Menelao y la segunda sobre el teorema de Giovanni Ceva. El objetivo  es el de apreciar la influencia directa, e indirecta, que el conocimiento del triángulo y de las razones geométricas tiene en el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".

Teorema de Menelao

Teorema de Giovanni Ceva

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• Unidad para el taller de 4º de la E.S.O. "Curvas clásicas en coordenadas paramétricas" del profesor: Ricardo Sarandeses Fernández, que está en proceso de adaptación a la nueva versión del editor DescartesJS.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017