Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas.
Escrito por Ildefonso Fernández TrujilloCUADRATURAS.
Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las expresiones artísticas, religiosas, estructurales y técnicas de las diferentes culturas y épocas. Los conceptos, fundamentalmente los geométricos, físicos y filosóficos aparentan una evolución-involución atractiva y armónica que fascina. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.
Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.
Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.
El movimiento de la pelota. Proyecto Newton
Escrito por Montserrat Gelis BoschEl subproyecto “Problemas” del proyecto Newton, está formado por un conjunto de materiales digitales interactivos que tratan aspectos muy variados del currículo de Física y Química en forma de resolución de un problema.
En este vídeo vamos a mostrar con detalle la unidad de 4º de la ESO, el movimiento de la pelota. En esta escena se considera el movimiento de una pelota lanzada con una determinada velocidad y en una dirección determinada. Se analizan las fuerzas y las ecuaciones del movimiento así como la trayectoria y las variaciones de energía en todo el proceso.
La escena consta de los siguientes apartados:
- Guía del alumno. Se plantea el enunciado del problema y se dan indicaciones para su resolución.
- Escenas interactivas. Dos escenas en las cuales se pueden observar las fuerzas que actúan y la velocidad en cada momento. El alumno puede modificar la masa de la pelota, la velocidad inicial de lanzamiento y el ángulo de la trayectoria
- Evaluación. Este apartado consta de varias preguntas con diferentes respuestas para comprobar lo aprendido.
- Problema resuelto. Se accede a un documento en pdf con el problema resuelto paso a paso.
EDAD 4ºESO Aplicadas Ecuaciones e inecuaciones
Escrito por Alfonso Saura EspínEste mes vamos a ver un vídeo sobre las ecuaciones e inecuaciones de 4ºESO Enseñanzas aplicadas:
Hemos tratado los siguientes puntos:
1.Ecuaciones
Elementos de una ecuación
Solución de una ecuación
2.Ecuaciones de primer grado
Solución
Aplicaciones
3.Ecuaciones de segundo grado
Solución
Incompletas
Número de Soluciones
Aplicaciones
4.Otros tipos de ecuaciones
Bicuadradas
Tipo (x-a)·(x-b)·...=0
Ensayo-error. Bisección
5.Inecuaciones con una incógnita
Definición. Propiedades
Inecuaciones de grado uno
Inecuaciones de grado dos
Misceláneas. Lugares geométricos: las cónicas III
Escrito por Ildefonso Fernández TrujilloLas cónicas como lugares geométricos: La Parábola.
Dentro del estudio de los lugares geométricos tienen un especial interés los relativos a las cónicas por motivos muy diversos, fundamentalmente geométricos, físicos y filosóficos. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación a su conocimiento genérico analizando algunos aspectos de la Parábola considerada como lugar geométrico. Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico y funcional que la Geometría clásica ha tenido en las poblaciones cultas: el cucurucho con sus múltiples aplicaciones, los niños y niñas jugando con el aro, la peonza, el yoyo...
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
- La Parábola como lugar geométrico.
El Origami y las Matemáticas - Generación de la Parábola como lugar geométrico.
Trabajo muy detallado de la creación del l.g. Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin)
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum para ESO y Bachillerato.
Ambos trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
- Estudio de la PARÁBOLA I. La parábola como l.g. generado por el método, basado en la definición, del triángulo isósceles.
A partir de una recta d (directriz) y de un punto F (foco) consideramos que un punto del plano, P, pertenece a la parábola (F,d) si la distancia de P a M (ver imagen) es igual a la distancia de P a F. Esto es, el triángulo PMF es isósceles y por lo tanto la altura de dicho triángulo trazada desde P corta al lado FM en su punto medio. O bien que la intersección de la perpendicular a la directriz por un punto M de la misma con la perpendicular por el punto medio de FM es un punto de la parábola. Haciendo que M recorra la directriz obtendremos la parábola (F,d).
parábola l.g. I - Estudio de la PARÁBOLA II. En esta ocasión se considera la parábola como el l.g. generado por los puntos, Q y R, intersección de la circunferencia c(F,r) con la paralela a la directriz por el vértice cuando el vértice, como punto virtual v', se desplaza por el eje focal desde su posición original hasta el infinito alejandose de la directriz (ver la animación completa), el radio de la circunferencia, r es igual a la distancia del vértice virtual v' a la directriz.
Es trivial comprobar que los puntos Q y R siempre son puntos de la parábola.
Se ha construido el l.g. por este segundo método sobre la construcción anterior por motivos didácticos.
parábola l.g. II
En la primera escena el botón anima y en la segunda el pulsador k y el botón anima, generan el l.g. (parábola).
Continuamos animando a conocer el editor DescartesJS. Volvemos a exponer la adaptación a DescartesJS de la Unidad realizada por el profesor Antonio Caro Merchante debido a su relación con los conceptos en estudio.
cónicas
Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Parábola, primero por el método del triángulo isósceles y a continuación por el método clásico de la intersección de recta y circunferencia.
La Parábola. Método I.
hoja de trabajo de la parábola (I)
La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método, intersección de paralela a la directriz con la circunferencia de centro el foco y radio variable..
La Parábola. Método II.
la parábola (método II)
Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la ecuación del lugar geométrico que define a una curva cónica.
Las Cónicas como lugares geométricos
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
- CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
- "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
Misceláneas. Lugares geométricos: las cónicas II
Escrito por Ildefonso Fernández TrujilloLugares geométricos: La Hipérbola.
Dentro del estudio de los lugares geométricos tienen un especial interés los relativos a las cónicas por motivos muy diversos y no únicamente cronológicos; si no que también filosóficos, mercantilísticos y geométricos y en esta entrada vamos a continuar la aproximación a su conocimiento genérico analizando algunos aspectos de la Hipérbola considerada como lugar geométrico. Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico y funcional que la Geometría clásica ha ejercido sobre las poblaciones cultas: el cono como cucurucho para envolver desde tiempos ancestrales, los niños y niñas jugando con el aro y el yoyo...
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
- La Hipérbola como lugar geométrico. MB (M. Banasik)
- Construcción de la hipérbola como lugar geométrico, a partir de un circulo y un punto exterior al círculo. La hipérbola que se genera tiene como focos el centro del círculo y el punto exterior al círculo. DORIS ÁLVAREZ QUINTERO
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum para ESO y Bachillerato.
Ambos trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
- Estudio de la HIPÉRBOLA I. La hipérbola como l.g. generado, la mitad del mismo, por los puntos de intersección de dos circunferencias: una con centro en el foco F y radio k y otra de centro el foco F' y radio r dependiente del pulsador k, de forma que cuando un radio aumenta el otro también. La otra mitad de la hipérbola se genera intercambiando los radios.
hipérbola l.g. I - Estudio de la HIPÉRBOLA II. En esta ocasión se considera la hipérbola como el l.g. generado por un punto, H cuando un punto P gira alrededor de la circunferencia de centro uno de los focos y radio cualquiera r1. El punto H se obtiene de la siguiente forma:
- Los puntos F y G son dos puntos libres que van a ser los focos de la hipérbola.
- Se traza la recta que une el centro de la circunferencia, punto F (uno de los focos), con el punto P.
- Se une el punto P con el otro foco, punto G.
- Se halla el punto medio del segmento PG, punto M y por él se traza la perpendicular al segmento.
- La intersección de las dos rectas trazadas es el punto H.
hipérbola l.g. II
En ambas escenas los pulsadores k y a o el botón anima, generan el l.g. (hipérbola).
Continuamos animando a conocer el editor DescartesJS. Exponemos, en esta ocasión, la adaptación a DescartesJS de una Unidad realizada por el profesor Antonio Caro Merchante
cónicas
Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Hipérbola, primero como el l.g. creado por los dos puntos intersección de las circunferencias con centro en los focos y radios variables y en segundo lugar el l.g. generado por un punto cuando otro se desplaza por una circunferencia.
La Hipérbola. Método I.
hoja de trabajo de la hipérbola (I)
La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método.
La Hipérbola. Método II.
la hipérbola (método II)
Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la creación, paso a paso, del lugar geométrico que define a la hipérbola.
Las Cónicas como lugares geométricos
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
- CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
- "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
Esta semana presentamos una actividad de introducción a las funciones que forma parte del proyecto iCartesiLibri.
Este proyecto consta de libros dinámicos e interactivos centrados en el aprendizaje autónomo y competencial del estudiante. Los materiales de este proyecto abarcan diferentes áreas de conocimiento.
En este caso hemos seleccionado un objeto de aprendizaje dedicado a la determinación del dominio y rango de una función.
Este mes vamos a ver una unidad de 1ºESO correspondiente a números decimales. Veamos al vídeo:
En este vídeo hemos visto los siguientes puntos:
1.Números decimales
Numeración decimal
Orden y aproximación
Representación
2.Operaciones
Suma y resta
Multiplicación
División
3.Sistema Métrico Decimal
Longitud
Capacidad
Peso
Esta semana hemos seleccionado dos escenas del Proyecto ED@D que, por su diseño en forma de tutorial, se convierten en una herramienta muy útil para introducir las ecuaciones de 1º grado.
Las actividades seleccionadas pertenecen a la unidad expresiones algebraicas de 1º de ESO. En una primera escena se introduce el concepto de solución de una ecuación con ejercicios para comprobar si un número determinado es solución o no de una ecuación. En la segunda escena se guía al alumno en la resolución de ecuaciones sencillas.
El proyecto ED@D de la RED contiene recursos educativos para la ESO en las áreas curriculares de Matemáticas, Ciencias Naturales y Física y Química. Las unidades didácticas están estructuradas como una secuencia didáctica y cubre el proceso completo de enseñanza/aprendizaje del tema en cuestión.
En este vídeo vemos que también podemos seleccionar algunas escenas y trabajar independientemente o bien complementando con actividades o materiales de otros proyectos.
Este mes vamos a ver un vídeo sobre sistemas de ecuaciones:
Hemos tratado los siguientes epígrafes:
1.Ecuaciones lineales
Definición. Solución
2.Sistemas de ecuaciones lineales
Definición. Solución
Número de soluciones
3.Métodos de resolución
Reducción
Sustitución
Igualación
4.Aplicaciones prácticas
Resolución de problemas
Misceláneas: Lugares geométricos. Las Cónicas.
Escrito por Ildefonso Fernández TrujilloLugares geométricos: Las Cónicas.
Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de las curvas Cónicas no degenaradas, esto es: de la circunferencia, la Elipse, la Parábola y la Hipérbola consideradas como lugares geométricos. Curvas estas resultantes del trabajo de observación y posterior interpretación geométrica de la relación entre el ser humano y la naturaleza, por parte de los sabios griegos clásicos. En esta ocasión estudiaron la incidencia, en el cono de la visión ocular, de las ondas visibles, con objeto de establecer los principios teóricos del conocimiento de las formas y los colores.
Es de interés recordar que estas curvas están entre las primeras que fueron estudiadas y descritas.
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos los que se enlazan a continuación.
- Estudio de las CÓNICAS. Trabajo realizado por M. Teresa Pérez y Oscar Arratia. Universidad de Valladolid.
cónicas propias (no degeneradas) - CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas.
amplio estudio de las secciones cónicas - CÓNICAS, del profesor Antonio Caro Merchante. Tanto la unidad didáctica como la miscelánea que sobre este tema creó en su día el profesor Caro Merchante están en fase de adaptación al nuevo editor DescartesJS; no obstante avanzamos algunos resultados, aún provisionales, por el interés didáctico y posibilidad de uso del material en clase para consolidar conceptos y sobre todo como ayuda a la realización de ejercicios sobre cónicas: ecuaciones, tangencias, clasificación,.....
amplio estudio de las secciones cónicas y las tangencias
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado o adaptado, con DescartesJS, las misceláneas que se exponen a continuación. Queremos notar la intención didáctica de dichos trabajos en los que se condensan una buena cantidad de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum.
- Los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema o desee trabajar la precisión en clase, el ajuste fino de algunas variables controladas con pulsadores.
- Las siguientes posibles mejoras de la utilidad:
- convertir los pulsadores en animaciones.
- mostrar la ecuación de la elipse en algunas de sus formas
- ampliar la generación del l.g. al caso en el que el eje mayor de la elipse sea el vertical
- .................
- Estudio de la ELIPSE I. La elipse como l.g. generado por los puntos, P y P', de intersección de dos circunferencias una con centro en el foco F y otra en el F' ambas con radios dependientes del pulsador k de forma que cuando un radio aumenta el otro disminuye.
Tanto en esta como en la siguiente miscelánea el pulsador k controla la generación del l.g.
elipse l.g. I - Estudio de la ELIPSE II. En esta ocasión se considera la elipse como el l.g. generado por un punto de un segmento, distinto de los extremos, cuando dicho segmento desliza sin separarse por dos rectas perpendiculares tal como se muestra a continuación.
elipse l.g. II -
A continuación exponemos la adaptación a DescartesJS de la miscelánea realizada por el profesor Antonio Caro Merchante como ilustración de la contundencia didáctica del uso interactivo de una utilidad simple, que muestra de forma palpable un único concepto, como la enlazada a continuación.
propiedad de los puntos de la elipseLas miceláneas siguientes, que abordan algunas situaciones de tangencia, son también consecuencia directa del trabajo del profesor Caro Merchante.
- Estudio de la ecuación de la tangente a una circunferencia por uno de sus puntos.
tangente en un punto - Estudio de las ecuaciones de las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.
tangentes desde un punto exterior
Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Elipse, primero como el l.g. creado por los dos puntos intersección de las circunferencias con centro en los focos y radios variables y en segundo lugar el l.g. generado por un punto de un segmento cuando dicho segmento se desliza por dos rectas perpendiculares.
La Elipse. Método I.
hoja de trabajo de la Elipse (I)
La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método.
La elipse. Método II.
la elipse (método II)
Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la ecuación del lugar geométrico que define a una curva cónica.
Las Cónicas como lugares geométricos
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
- "Secciones cónicas" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- " Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- " Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
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