Durante los días 30 de Septiembre y 1 de Octubre se celebró en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela el VIII Congreso de AGAPEMA (Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática), con más de 35 ponencias (comunicaciones y talleres) a las que asistieron más de 200 profesores de las etapas de Educación Infantil, Primaria y Secundaria.

La Red Educativa Digital Descartes estuvo representada por Emilio Pazo Núñez y Xosé Eixo Branco, que dirigieron el Obradoiro (Taller) titulado: “Aulas con Proyectodescartes.org” y expusieron durante una hora y media un resumen de los subproyectos enmarcados en el Proyecto Descartes, así como su trabajo y experiencia en la incorporación de los materiales digitales y los cuadernos de trabajo del subproyecto ED@D a sus Aulas Virtuales Moodle.

La exposición y el trabajo que fueron desarrollando los asistentes al Obradoiro, consistió, en primer lugar, en un recorrido por unidades didácticas digitales y objetos interactivos de los subproyectos incluidos en nuestra página web: Telesecundaria, Aprende México, Plantillas, Ingeniería y Tecnología, UN-100, Icartesilibri, COMPETENCIAS, ASIPISA, CANALS, PI, ED@D, Unidades didácticas, Misceláneas, Problemas, Juegos didácticos,… Los asistentes pudieron entrar en algunas de las unidades propuestas a modo de ejemplo e interactuar con ellas, con especial hincapié en el proyecto ED@D, que ambos ponentes utilizan diariamente en sus clases en Educación Secundaria. En una segunda parte del taller se mostraron las características de las aulas Moodle en la nueva versión instalada en los servidores de la Consellería de Educación de la Xunta de Galicia, así como modelos de aula virtual Moodle, que ya se están usando, a la que se han incorporado mediante enlaces o mediante paquetes SCORM, diversas actividades para seguir de este modo los materiales digitales del mencionado Proyecto ED@D e incluso los propios cuadernos de trabajo que, de este modo, se usan de manera digital.

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Lugares geométricos: Caracol de Pascal.

Continuando con el estudio de los lugares geométricos y sus utilidades se exponen a continuación una serie de escenas de introducción al estudio del l.g. conocido como Caracol de Pascal. Este l.g. está directamente relacionado con otros lugares geométricos estudiados en la Grecia clásica y analizados en entradas anteriores en este blog. De hecho, para ciertos valores de los parámetros que lo definen adopta la forma de la cardioide o la funcionalidad de la trisectriz.

Han sido muchos los científicos y artístas que, por diferentes motivos, han estudiado esta curva, entre ellos destacan: Étienne Pascal, su amigo Gilles Personne de Roberval (Roberval es una importante comarca en la región francesa de Picardía) y el artista y pintor alemán Alberto Durero. Cada uno de ellos consiguió sus diferentes objetivos probando así la versatilidad de estos lugares geométricos, característica esta que los define.

Las siguientes escenas tienen un doble propósito: servir de plantilla para un desarrollo más amplio relacionado con el tema y ser la introducción al estudio del l.g. de forma pausada y atendiendo a algún aspecto o consideración particular del mismo como la definición, generación o tipo de ecuación utilizada.

En primer lugar se exponen las gráficas de las curvas:

(x²+y²-2·a·x)²=b²·(x²+y²)   y su simétrica   (x²+y²+2·a·x)²=b²·(x²+y²)

en principio para el caso partícular de a=1 y b=2, esto es  b=2·a  donde el l.g. coincide con el de la cardioide.

Las ecuaciones anteriores derivan directamente de las definiciones siguientes:

Definición 1.

El Caracol de Pascal es el l.g. formado por los puntos de la podaria de una circunferencia respecto a un punto. (esta afirmación puede comprobarse activando la animación de la siguiente escena)

La utilidad, que evidentemente es una plantilla, es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que el usuario considere convenientes para su uso personal.

escena 1.

A continuación, y dedicado a los lectores interesados en el proceso de creación de escenas DescartesJS mostramos la escena anterior con algunas modificaciones.

Se evidencia que las escenas están carentes de estilo. La intención es que el usuario se documente, tal y como hemos descrito en artículos anteriores, e implemente los formatos y colores que considere más adecuados.

La escena es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos de uso.

escena 2.

En el siguiente trabajo presentamos otra versión de la escena anterior con el propósito de que, analizando los cambios respecto a la escena inicial, se facilite el procedimiento de generalizar el funcionamiento de esta.

Repetimos lo dicho anteriormente: la escena permite, con cierta facilidad, todas las modificaciones que se consideren necesarias.

escena 3.

En la tercera escena se añaden más cambios respecto de la anterior insistiendo en la importancia de elaborar  utilidades de carácter genérco; o bien como sugerencia de tipo de ejercicio de traslación y/o simetría en el plano.

En la cuarta escena, para generar el l.g. se ha usado la siguiente definición:

Definición 2.

El Caracol de Pascal es el l.g. definido por los puntos P y Q equidistantes del punto M, de la circunferencia c₁, en la cuerda de la misma AM cuando M recorre dicha circunferencia.

Puede comprobarse la generación del l.g. activando la animación de la escna 4.

escena 4.

Proponemos al lector el análisis del significado de los parámetro a y b en esta última escena y de que, efectivamente, cuando ambos tienen el mismo valor el l.g. puede usarse como trisector de ángulos.

En la siguiente escena hemos obtenido el l.g. considerando el carácter de curva ruleta del Caracol de Pascal.

Definición 3.

El Caracol de Pascal es la curva plana de tipo ruleta formada por la trayectoria de un punto fijo, D, de una circunferencia que gira sobre si misma y alrededor de otra sin deslizar.

En esta escena, cuando h=3, se introduce el uso de la ecuación polar, ρ = a + b·cos(θ), del Caracol de Pascal.

escena 5

A continuación incluimos una pequeña utilidad que obtiene la podaria de una circunferencia.

Podaria

Un ejercicio interesante es la generalización del funcionamiento de la escena anterior para cualquier radio de la circunferencia y posición del punto.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que trata sobre la identificación de la curva en coordenadas Polares y estudio de las simetrías de un caracol con lazo. El objetivo de este vídeo es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas completaremos el estudio del Caracol de Pascal y abordaremos el de otros lugares geométricos.

Se ha incluido el Mesolabio de Eratóstenes con objeto de animar a su uso para adquirir destreza y poder usarlo, por ejemplo, en los temas de semejanza en el plano.

Relacionado con el tema del l.g. expuesto mostramos estas interesantes aplicaciones:

Geogebra. Uso de la ecuación polar para hacer la gráfica del Caracol de Pascal

Construcción del péndulo isocrono.

péndulo

En próximas entradas continuaremos con el paso a paso del estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografia:

• Unidad creada por el profesor Pedro González Enríquez que se encuentra en fase de adaptación a DescartesJS.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS EN EL PLANO de J. Lafuente (ucm)
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2016

Este mes vamos a ver la unidad de 4ºESO Académicas correspondiente a "Potencias y radicales":

En el vídeo hemos tratado los puntos siguientes:

1.Radicales
   Definición. Exponente fraccionario
   Radicales equivalentes
   Introducir y extraer factores
   Cálculo de raíces
   Reducir a índice común
   Radicales semejantes

2.Propiedades  
   Raíz de un producto
   Raíz de un cociente
   Raíz de una potencia
   Raíz de una raíz

3.Simplificación
   Racionalización
   Simplificar un radical

4.Operaciones
   Suma y resta
   Multiplicación de radicales
   División de radicales

Entre los proyectos de la RED Descartes se encuentra un grupo de actividades creadas a partir de unidades liberadas de PISA y de Pruebas de Evaluación Diagnóstico utilizadas en diferentes Comunidades autónomas. Se trata del Proyecto Competencias.

Las unidades digitales pertenecientes a este proyecto se basan en situaciones y contextos cotidianos. Las actividades que se proponen son interactivas y autoevaluables y permiten que un mismo alumno puede realizar muchas veces la misma actividad, que presentará pequeñas variaciones. Esta característica convierte a las unidades de este proyecto en un recurso importante para la formación en competencias del estudiante.

En el siguiente vídeo se han seleccionado una serie de objetos en los cuales se deben utilizar propiedades geométricas y equivalencias entre medidas para resolver situaciones reales. Una vez seleccionadas las actividades, se muestran los pasos a seguir para insertar estas actividades en nuestra aula virtual Moodle.  

   Hay una tendencia a tratar de asociar o encontrar en todo aquello que es bello la proporción áurea o divina, o a construir objetos a partir de esta razón porque se presuponen serán apreciados como bellos por el simple hecho de seguir dicha pauta. Esto, como no, también ha acontecido con la modelación matemática de la concha del Nautilus pompilius sobre la que suele afirmarse que su forma y crecimiento es áureo. Sin embargo, en este artículo se muestra y se analiza en detalle cómo dicha concha lo que realmente sigue es un patrón ubicado en la denominada proporción cordobesa o humana. Con apoyo en un recurso interactivo desarrollado con la herramienta Descartes se motiva el análisis y comportamiento y se procede a partir de la yocto-yotta realidad observada a construir el modelo matemático, el cual se detalla ampliamente.

Pulsando sobre la siguiente imagen se accede a dicho recurso interactivo que se aborda o plantea en seis fases:

1. 1. 1. Ajuste de la concha por una espiral logarítmica.
      2. Ajuste del sifúnculo por una espiral logarítmica.
      3. Ajuste global por una familia de espirales cordobesas.
      4. Mejora del modelo discreto.
      5. Aproximación de los septos.
      6. Modelo matemático del Nautilus pompilius.

Y en el botón de indicaciones se aborda una introducción, los objetivos, las instrucciones de uso en cada fase y finalmente se enlaza un artículo donde se detalla el análisis matemático realizado.  Este artículo está embebido a continuación o bien puede abrirse y/o descargarse desde este enlace.

 En las conclusiones del artículo anterior afirmamos:

A través del detallado y progresivo análisis realizado hemos ido construyendo la base teórica o modelo matemático que soporta a la bella morfología del Nautilus Pompilius y hemos tratado del encontrar el modelo de crecimiento que conduce a poder explicar y a comprender por qué adquiere esa forma.  Desde su inicio la espiral logarítmica cordobesa tomó presencia y a medida que la mirada se deslizaba hacia algún nuevo detalle esta espiral ha vuelto a imponer su presencia marcándonos y alumbrándonos el camino del descubrimiento y de la adquisición del conocimiento. La belleza del Nautilus pompilius se sustenta en la proporción cordobesa o humana y todo punto de su concha o del interior ha quedado determinado por la intersección de dos espirales cordobesas. El germen o base inicial matemática que explica el por qué acontece todo lo observado, se ha ubicado en el crecimiento gnomónico de un triángulo cordobés, las propiedades de éste se trasladan al desarrollo y comportamiento global detectado y modelado.

Deseamos que nuestro trabajo de investigación satisfaga tu curiosidad y te animamos a interactuar con nosotros bien realizando algún comentario en este blog (los comentarios no se publicarán directamente sino que pasan por una moderación previa a su publicación) o bien escribe al correo de nuestra RED Descartes: Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.. 

Esta semana presentamos un libro digital interactivo sobre los números complejos que forma parte del proyecto iCartesiLibri de la RED.

En cada página de este libro encontramos múltiples ejemplos y representaciones gráficas modificables para introducir los contenidos a estudiar: los números complejos y sus distintas formas de representación, las operaciones y algunas aplicaciones. Se dispone también de una serie de ejercicios autocorregibles sobre los conceptos estudiados que permiten al estudiante practicar y consolidar lo aprendido.

Siguiendo el diseño de las unidades del proyecto iCartesiLibri, en el desarrollo de estas actividades se ha tenido en cuenta la interactividad, para facilitar el autoaprendizaje a través de la intervención directa del estudiante.  

Este mes vamos a ver un vídeo sobre Polinomios:

En este video hemos tratado los siguientes puntos

1.Polinomios

   Grado. Expresión en coeficientes

   Valor numérico de un polinomio.

2.Operaciones con polinomios

   Suma diferencia, producto

   División.

 
3.Identidades notables

   (a+b)²

   (a-b)²

   (a+b)·(a-b)

   Potencia de un binomio

4.División por x-a

   Regla de Ruffini

   Teorema del resto

5.Descomposición factorial

   Factor común xⁿ

   Raíces de un polinomio

   Fracciones algebraicas

Proporcionalidad. Las Espirales XIV

Entre las innovaciones producidas en el ámbito de colaboración de la Red Educativa Digital Descartes destaca la continua aportación de nuevas unidades a los subproyectos: TELESECUNDARIA, GEOgráfica-GEOevaluación e iCartesiLibri.

Como muestra enlazamos la unidad sobre Como se mueven las cosas. Aceleración, del subproyecto TELESECUNDARIA,

la GEOevaluación de SurAmérica,

y el libro interactivo Paletización y Empaque.

Dentro de nuestro ámbito local destacan, entre otras, la permanente actualización del Proyecto ED@D cuyos materiales pueden enlazarse desde este espacio web mediante los botones MATEMÁTICAS y FÍSICA Y QUÍMICA y los contenidos del subproyecto Competencias en general y en particular los referidos como PISA con ordenador. De entre ellos enlazamos, con la siguiente imagen, el extraordinario trabajo sobre la generación de energia Central eléctrica azul

Continuando con el estudio de los l.g. y sus utilidades se expone a continuación una escena con el instrumento ideado por la escuela platónica para duplicar un cubo, esto es, dado un cubo de arista a y volumen V halla de forma mecánica y basandose en los razonamientos de Hipócrates, el segmento de longitud a'= a·2^1/3 que será la arista del cubo de volumen V' = 2·V.

La escena permite, con cierta facilidad, determinar el segmento OD pero si el usuario no está familiarizado con el uso del instrumento puede pulsar el botón de información, , que muestra un breve texto con las indicaciones adecuadas y una demostración, que usa la construcción de Platón, o atribuida a la escuela platónica, del hecho de la duplicidad.

La utilidad es facilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que el usuario considere convenientes para su uso personal.

En el siguiente trabajo presentamos el instrumento conocido como Mesolabio de Eratóstenes y la manera de encontrar, con su uso virtual, el segmento que sirva de arista al cubo que doble en volumen a uno inicial dado.

Repetimos lo dicho anteriormente: la escena permite, con cierta facilidad, determinar la arista del cubo con volumen doble a uno dado, pero si el usuario no está familiarizado con el uso del instrumento puede pulsar el botón de información, , que muestra un breve texto con las indicaciones adecuadas y una demostración, que usa la semejanza de triángulos, del hecho de la duplicidad.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la tercera parte de los que se han mostrado en las últimas entradas. El objetivo de este vídeo es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Las Espirales".

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" hemos añadido al menú de tipos de espiral una nueva opción: "la espiral Compleja" tal y como anunciamos en artículos anteriores.
En esta ocasión hemos procedido de la siguiente manera:

• Se ha creado la siguiente escena: Espiral compleja. El crecimiento de esta espiral, tal y como se ha construido, es extremadamente rápido debido al factor rⁿ el lector puede modificar facilmente el comportamiento de la escena añadiendo más controles y/o modificando el rango de valores de los actuales.
  La demostración de las fórmulas (teoremas) de Moivre y Euler están disponibles en la wikipedia.
• Inclusión de parte del código de la escena anterior en el de la miscelánea en proyecto.

La escena del proyecto puede verse a continuación:

Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral Compleja incluida.

Con el siguiente trabajo realizado con GeoGebra, tendremos la oportunidad de manejar, virtualmente, un mesolabio para hallar la arista de un cubo que tenga doble volumen que uno dado. Esto es, partiremos de esta situación

y trataremos de llegar a esta otra

solución

al manipular los controles gráficos G y K y conseguir el objetivo, se muestran las dos medias proporcionales, FR e IS, propuestas por Hipócrates, entre dos segmentos, MT y DA, de longitudes a y 2·a respectivamente, donde a es la longitud de la arista del cubo inicial. La recta determina el segmento que se usará de arista del cubo de volumen doble al primero. 
Con ayuda de los cursores y seleccionando alternativamente con el ratón los puntos G y K el ajuste puede ser bastante exacto tal y como muestra la imagen solución.

Se ha creado el recurso en la web de GeoGebra: 'Las espirales complejas.

En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo nuevas espirales entre sus funcionalidades y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografia:

• Documentación de Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez y Benjamin R. Sarmiento Lugo
• El problema de la Duplicación del cubo de Juana Contreras S. y Claudio del Pino O. Instituto de Matemática y Física. Universidad de Talca.
• Una aproximación a la curva de transición Clotoide vista desde Mathematica de:
  Luís Blanch, Emilio Checa, Josefa Marín
  Universitat Politecnica de Valencia
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• Problema de la duplicación del cubo de Juan Pablo Mora.
• Consideraciones sobre los complejos y las espirales de:
  Miguel Ángel Morales Medina
• Otros documentos buscados en Internet.

Ildefonso Fernández Trujillo

Proporcionalidad. Las Espirales XIII

Entre las innovaciones producidas en el ámbito de colaboración de la Red Educativa Digital Descartes destaca la continua aportación de nuevas unidades a los subproyectos: TELESECUNDARIA, GEOgráfica-GEOevaluación y PLANTILLAS.

Como muestra enlazamos la unidad sobre Probabilidad, del subproyecto TELESECUNDARIA,

la GEOevaluación de Francia.

y los cinco ejemplos de plantillas transparentes, de los que enlazamos el primero.

Dentro de nuestro ámbito local destacan, entre otras, la permanente actualización del Proyecto ED@D en particular los materiales de 2º y 4º LOMCE y LOE y la experiencia: Aprendemos a resolver problemas con Descartes y Wiris
Aprendemos a resolver problemas con Descartes es una iniciativa del Departamento de Matemáticas del IES Bajo Guadalquivir de Lebrija, realizada con alumnos y alumnas de 4º ESO durante el curso escolar 2015/2016, basada en la experiencia para el "Desarrollo de la comunicación audiovisual a través de las Matemáticas con Descartes"

Continuando con el estudio de los l.g. y sus utilidades se expone a continuación una escena con el primero de los métodos para duplicar un cubo, esto es, dado un cubo de arista a y volumen V halla, mediante la Duplicatriz de Hipócrates, un segmento de longitud a'= a·2^1/3 que será la arista del cubo de volumen V' = 2·V.

La escena, en primer lugar, construye dinámicamente la curva duplicatriz pulsando en el botón , en el momento en que la recta MA corta a la recta PO (M = C y A = B) se activa el botón de información que al pulsarlo deja ver un breve texto con la definición del l.g. y una demostración, que usa la construcción de Platón, del hecho de la duplicidad. En cualquier instante puede detenerse la animación mediante el botón .

La escena es facilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que el usuario considere convenientes para su uso personal.

En el siguiente trabajo se muestra la forma en que se genera el l.g. conocido como Cisoide de Diocles y la manera de encontrar con dicha curva el segmento que sirva de arista al cubo que doble en volumen a uno inicial dado.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la primera parte del que se ha mostrado en las últimas entradas. El objetivo de este vídeo es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Las Espirales.

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" hemos añadido al menú de tipos de espiral una nueva opción: "la espiral de Cornu" tal y como anunciamos en artículos anteriores.
En esta ocasión hemos procedido de la siguiente manera:

• Hemos creado la siguiente escena: Espiral de Cornu (pulsad sobre la imagen para acceder a ella). Debemos advertir que, tal y como hemos procedido, esta realiza cálculos intensivos con números extremadamente grandes y pequeños, lo que hace que la ejecución de la misma sea muy lenta. Esta manera de proceder tiene la intención de hacer visible la sensibilidad de las aproximaciones polinómicas y sus efectos secundarios según muestra el trabajo posterior realizado con GeoGebra y que puede reproducirse con la escena actual con unas pocas modificaciones.

• Inclusión de parte del código de la escena anterior en el de la miscelánea en proyecto.

La escena del proyecto puede verse a continuación:

Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral de Cornu incluida.

En el siguiente trabajo realizado con GeoGebra, al activar la animación puede observarse como se genera el lugar geométrico conocido como curva Duplicatriz. En primer lugar se obtienen las dos medias proporcionales, propuestas por Hipócrates, entre dos segmentos de longitudes a y 2·a, donde a es la longitud de la arista del cubo inicial. A continuación la curva determina el segmento que se usará de arista del cubo de volumen doble al primero. Para la demostración se usa la composición de triángulos rectángulos semejantes atribuida a la escuela platónica.

De los recursos de la web de GeoGebra hemos tomado como origen para el análisis de las características de la aproximación polinómica de las integrales de Fresnel el "material-956849" y entre otras hemos encontrado ocurrencias como las que se exponen a continuación, que se ponen en evidencia pulsando el botón 'GO'.

En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo nuevas espirales entre sus funcionalidades y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:

• Documentación de Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez y Benjamin R. Sarmiento Lugo
• El problema de la Duplicación del cubo de Juana Contreras S. y Claudio del Pino O. Instituto de Matemática y Física. Universidad de Talca.
• Una aproximación a la curva de transición Clotoide vista desde Mathematica de:
  Luís Blanch, Emilio Checa, Josefa Marín
  Universitat Politecnica de Valencia
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• Problema de la duplicación del cubo de Juan Pablo Mora.
• Y otros documentos buscados en Internet.

Ildefonso Fernández Trujillo