Este mes vamos a ver un vídeo sobre sistemas de ecuaciones:

Hemos tratado los siguientes epígrafes:

1.Ecuaciones lineales
   Definición. Solución

2.Sistemas de ecuaciones lineales    
   Definición. Solución
   Número de soluciones

3.Métodos de resolución
   Reducción
   Sustitución
   Igualación

4.Aplicaciones prácticas
   Resolución de problemas

Lugares geométricos: Las Cónicas.

Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de las curvas Cónicas no degenaradas, esto es: de la circunferencia, la Elipse, la Parábola y la Hipérbola consideradas como lugares geométricos. Curvas estas resultantes del trabajo de observación y posterior interpretación geométrica de la relación entre el ser humano y la naturaleza, por parte de los sabios griegos clásicos. En esta ocasión estudiaron la incidencia, en el cono de la visión ocular, de las ondas visibles, con objeto de establecer los principios teóricos del conocimiento de las formas y los colores.

Es de interés recordar que estas curvas están entre las primeras que fueron estudiadas y descritas.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos los que se enlazan a continuación.

Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado o adaptado, con DescartesJS, las misceláneas que se exponen a continuación. Queremos notar la intención didáctica de dichos trabajos en los que se condensan una buena cantidad de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum.

• Los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema o desee trabajar la precisión en clase, el ajuste fino de algunas variables controladas con pulsadores.
• Las siguientes posibles mejoras de la utilidad:
  • convertir los pulsadores en animaciones.
  • mostrar la ecuación de la elipse en algunas de sus formas
  • ampliar la generación del l.g. al caso en el que el eje mayor de la elipse sea el vertical
  • .................

Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Elipse, primero como el l.g. creado por los dos puntos intersección de las circunferencias con centro en los focos y radios variables y en segundo lugar el l.g. generado por un punto de un segmento cuando dicho segmento se desliza por dos rectas perpendiculares.

La Elipse. Método I.

hoja de trabajo de la Elipse (I)

La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método.

La elipse. Método II.

la elipse (método II)

Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la ecuación del lugar geométrico que define a una curva cónica.

Las Cónicas como lugares geométricos

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• "Secciones cónicas" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• " Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• " Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

En este vídeo presentamos una serie de unidades de la Red Descartes para los cursos de la ESO dentro del área de Ciencias de la Naturaleza. Se trata de actividades interactivas y de autoevaluación que se han elaborado partiendo de unidades liberadas del Programa Internacional PISA y que han sido desarrolladas en el proyecto de la RED ASIPISA. Al final del vídeo se indican los pasos a seguir para insertar esta selección de materiales en un espacio web, en este caso en un blog de WordPress.

En concreto se han seleccionado las siguientes actividades:

• Los autobuses: Actividad relacionada con el movimiento de los cuerpos, la inercia y los grados de contaminación de las diferentes energías usadas en el transporte.
• Las Moscas: A partir de un problema de superpoblación de moscas en una determinada granja, se elabora un estudio sobre un determinado producto para la fumigación y su efecto, con una serie de gráficos que indican la eficacia del producto a lo largo del tiempo.
• Detengan ese germen: Se relatan diferentes experimentos de investigación sobre la inmunidad en determinadas enfermedades.
• Luz del día II: Trata aspectos relacionados con el movimiento de rotación de la Tierra, la inclinación de su eje y el movimiento de traslación alrededor del Sol.

Este mes vamos a ver la unidad correspondiente de funciones:

En este vídeo hemos tocado los siguientes puntos:

1. Funciones polinómicas
   Función de proporcionalidad directa
   Funciones afines
   Funciones cuadráticas

2. Otras funciones
   Función de proporcionalidad inversa
   Función exponencial
   Funciones definidas a trozos
   Función valor absoluto

Lugares geométricos: Trisectrices de Hipias y Nicomedes.

Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada volvemos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de los conocidos como "Trisectriz (Cuadratriz) de Hipias" y "Concoide (Trisectriz) de Nicomedes" que son las curvas resultantes del trabajo de estos sabios griegos para resolver el problema de la trisección de un ángulo.

Dentro del amplio grupo de cicloides y demás ll.gg. retomamos el análisis de los mencionados anteriormente por su especial interés debido a que cronológicamente estas curvas están, después de la circunferencia, entre las primeras que fueron creadas y descritas.

Para llevar a la práctica el estudio remitimos a la publicación en el Blog de dos escenas que los generan de forma interactiva. Se aconseja ver los detalles de estas utilidades, repitiendo la animación, hasta comprender el proceso de creación de los ll.gg. Son escenas basadas en la obra del profesor Pedro González Enríquez, trabajo que está en proceso de adaptación a las nuevas versiones del editor DescartesJS; no obstante, debido a su interés, las siguientes imágenes enlazan directamente con cada uno de los trabajos en su estado actual.

Estudio de la Trisectriz (Cuadratriz) de Hipias.

Estudio de la Concoide de Nicomedes

Animamos a conocer las nuevas caractrísticas del editor DescartesJS. Exponemos otra vez el ejemplo sobre probabilidad publicado en la entrada anterior como ilustración de lo que se puede hacer, en muy pocos minutos, reutilizando la documentación que aporta.

Introducción al concepto de probabilidad

Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrea el proceso de generación de la Concoide de Nicomedes, la trisectriz de Hipias y el uso por parte de Dinostrato de dicha trisectriz para hallar la cuadratura del círculo. Como ya se ha explicado esto se hace con el doble propósito de profundizar en el estudio de dichas curvas y ahondar en el conocimiento de ambas plataformas: GeoGebra y DescartesJS de forma paralela para lograr los objetivos señalados en entradas anteriores.

Estudio de la Trisectriz (Concoide) de Nicomedes.

hoja de trabajo de la Concoide

La siguiente imagen es un vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. "Trisectriz de Hipias" y su uso como trisector de ángulos agudos.

Tiene especial interés la consideración de que según el procedimiento mostrado, cuando el segmento horizontal que se desplaza verticalmente y el que gira alrededor de O, centro del círculo, son ambos horizontales ( k = 0), el punto M intersección de los mismos (generador del l.g.) está indefinido. Esta situación no interfiere en nada a la trisección pues ahí el ángulo a trisecar vale 0 rad, pero si es transcendental considerar la distancia, en ese instante de horizontalidad, del hipotético punto M, deducido por la tendencia de la curva antes y después de ese instante, al centro del círculo.

Dinostrato, entre otros, consideró la tendencia de la curva y llegó a la conclusión de que cuando k → 0 entonces   d(O,M) → 2·r/π, hecho que le permitió cuadrar el círculo usando la trisectriz.

La herramienta enlazada comprueba lo anterior al hacer k = 0.

Estudio de la Trisectriz de Hipias.

trisectriz de Hipias

Proponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la creación de la Concoide de Nicomedes paso a paso. Consideramos que su uso en centros bilingües es muy adecuado por la claridad de la exposición.

Concoide de Nicomedes

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografia:

• Unidad para el taller de 4º de la E.S.O. "Curvas clásicas en coordenadas paramétricas" del profesor: Ricardo Sarandeses Fernández, que está en proceso de adaptación a la nueva versión del editor DescartesJS.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

En el número 94 de la revista Epsilon de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales se ha publicado el artículo titulado "Sobre la forma y el crecimiento cordobés del Nautilus pompilius". Un detallado trabajo de investigación desarrollado dentro de nuestra RED Descartes, reflejándose así en la autoría, por los socios José R. Galo Sánchez, Ángel Cabezudo Bueno e Ildefonso Fernández Trujillo.

Os invitamos a su lectura, a que realicéis observaciones y comentarios al mismo y a que lo divulguéis a través de vuestras redes sociales y profesionales.

Hace unos días hemos dado por concluida la implementación de un módulo de búsqueda que venía siendo necesario para esta Web de Contenidos.

Desde las distintas secciones o categorías, Blog, Matemáticas, Física y Química, Otras áreas y Plantillas, se han ido publicando sin pausa, desde la aparición en los medios de RED Descartes, diferentes artículos y ya acumulamos un número importante, ¡sobrepasan los dos mil!

En esta situación es esencial disponer de un buscador que permita acceder a cualquiera de los artículos partiendo de determinados elementos que lo caractericen en función de su categoría, su contenido o su etiquetado. Esto es lo que pretende el Módulo de Búsqueda, para lo cual se han habilitado cinco elementos que actúan de filtro y se rotulan como Frase Clave, Título del artículo, Categoría, Etiqueta y Publicador.

Para mejor comprender la razón de ser de estos cinco elementos podemos decir que cada artículo publicado en la Web de Contenidos lleva, aparte de su contenido literario, metadatos como la fecha de publicación, escrito por (publicador), valoración (de 1 a 5 estrellas) de los lectores, categoría (sección) donde se publica y el etiquetado (conjunto de etiquetas que determinan un perfil para el artículo: temática, proyecto, materia, edad, nivel académico, lenguaje, etc.).

El Módulo de Búsqueda se encuentra en cada una de las secciones, Blog, Matemáticas, Física y Química, Otras áreas y Plantillas y puesto que cada sección se corresponde con una determinada categoría donde los artículos publicados quedan catalogados, el item correspondiente al elemento Categoría queda seleccionado automáticamente al acceder a una determinada sección, pudiendo no obstante  desde aquí cambiar a voluntad a cualquier otra categoría.

El Módulo de Búsqueda incorpora un botón de Ayuda que caracteriza a cada uno de los elementos y detalla el formato que tiene el resultado de la búsqueda y las distintas formas como puede ser ordenado. No insistimos más por este lado en este artículo de presentación.

Esperamos haber acertado con esta herramienta y que realmente sea de utilidad a cualquier usuario de la Web de contenidos de RED Descartes.

El objeto dibujar funciones cuya gráfica es una línea recta que presentamos hoy pertenece al proyecto miscelánea de la RED y tiene como objetivo aprender a dibujar funciones reales de variable real cuya representación gráfica es una línea recta.

Los coeficientes de las funciones lineales se modifican aleatoriamente y para su representación se puede elegir dados dos puntos o dado un punto y la pendiente. Una vez seleccionada la función y los datos, se inicia una animación que muestra los pasos a seguir. Al finalizar la animación se puede seleccionar un nuevo ejercicio que se puede resolver en el cuaderno y después activar la animación para comprobar si se ha realizado correctamente.

En este vídeo se muestra también cómo embeber un objeto digital en un espacio web, en este caso un curso Moodle, utilizando el código para embeber: 

  <iframe style="width: 810px; height: 585px;" src="/descartescms/ https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/dibujar_funciones_con_grafica_una_recta-JS/index.html"></iframe>

Este mes vamos a ver un vídeo de 4º ESO académicas sobre las ecuaciones y sistemas:

En este vídeo hemos tratado los siguientes puntos:

1.Ecuaciones de segundo grado
   Completas ax²+bx+c=0
   Incompletas ax²+c=0, ax²+bx=0
   Discriminante y soluciones

2.Otras ecuaciones
   Bicuadradas
   Racionales
   Irracionales
   Factorizadas

3.Sistemas de ecuaciones lineales  
   Solución de un sistema
   Sistemas compatibles
   Método de sustitución
   Método de igualación
   Método de reducción

4.Sistemas de segundo grado
   Sistema ax+by=c xy=k
   Sistema a0x²+b0y²=c0 a1x+b1y=c1

5.Aplicaciones prácticas
   Resolución de problemas