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Viernes, 27 Octubre 2017 00:05

Misceláneas: Lugares geométricos. Cuadraturas III.

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CUADRATURAS III.

Los problemas clásicos de la geometría griega son, por activa o por pasiva, fuente inagotable de inspiración. En esta ocasión el estudio de los lugares geométricos nos llevó a sus orígenes por ende a Hípias, Dinostrato, Arquímedes... e inevitablemente a la cuadratura dinámica del círculo, esto es, a la cuadratura de cualquier polígono regular; o no, con cualquier número de lados. Resultando que, aparentemente, en la base de este proceso está el cuadrado. Motivo por el cual decidimos estudiar este polígono. Ahora bien, al intentar analizar el cuadrado este, en sí mismo, parece desaparecer mostrando como en su interior subyacen infinidad de polígonos: triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, rombos… y una infinidad de otras formas inexistentes, virtuales, cuya proyección a la realidad tangible proporcionan, probablemente, los objetos y formas más útiles, en todos los sentidos, para el ser humano. Puede comprobarse como el trazo de unas pocas líneas en un cuadrado y a continuación al realizar el teselado del plano con el mismo, aparecen, de manera dinámica, formas que son el resultado de la composición de una traslación y/o de un giro; u otros, y como la visión de conjunto, a veces un palíndromo geométrico bidimensional, sugiere formas, sensaciones y conceptos cambiantes. Este procedimiento constructivo es el que los siguientes enlaces y escenas interactivas pretenden analizar aún cuando sea basándonos en los conceptos teóricos básicos y en los efectos visuales elementales que intervienen en el proceso.

La imagen siguiente está vinculada a la miscelánea que recoge un resumen de las ideas visuales expuestas a lo largo de esta entrada.

tesela
patrones y teselados 

Para quien considere necesaria una inmersión en los conceptos básicos relacionados con las teselaciones hemos preparado los siguientes contenidos:

tesela
tesela pentagonal 

La imagen anterior enlaza con una unidad que, en su día, desarrolló el profesor Ángel Aguirre Pérez y que he comenzado a adaptar a DescartesJS debido a que sus objetivos son similares a los que nos proponemos en este artículo y por tanto nos introduce en el tema de la forma clásica y básica.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos acercamos a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.



Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

A poco que se observen los trabjos de teselación expuestos o enlazados se evidencia que en cada uno de ellos se reproduce un patrón. Existe un amplio grupo de patrones y entre los más elementales están los conocidos como 'tipo mitad del cuadrado' que son los que se obtienen descomponiendo el cuadrado en dos o más partes diferenciadas, en nuestro caso, por el color, de manera que ambas formas tengan igual área. A continuación se exponen varios ejemplos de estos patrones que aclaran el concepto.

  • Estudio de los patrones y sus teselaciones correspondientes tipo "mitad del cuadrado".
    Mitad del cuadrado I.

    mitad del cuadrado I
    Mitad del cuadrado: Patrón 1



    El gráfico muestra que, por construcción, los triángulos ABM4, BCM4, DEM2 y M2FG son iguales por lo tanto el área de la parte azul es igual al área de la parte verde ya que los puntos: M1, M2, M3 y M4 son los puntos medios de los lados del cuadrado.

  • Mitad del cuadrado II.

    mitad del cuadrado II
    Mitad del cuadrado: Patrón 2



  • Mitad del cuadrado III.

    Mitad del cuadrado
    Mitad del cuadrado: Patrón 3



  • Mitad del cuadrado IV.

    Mitad del cuadrado
    Mitad del cuadrado: Patrón 4



  • Mitad del cuadrado V.

    cuadratura del triángulo
    Mitad del cuadrado: Patrón 5

Debido a la extensión de la entrada las escenas que desarrollan la cuadratura del pentágono regular, tanto con DescartesJS como con GeoGebra, y otras relacionadas con el tema serán expuestas próximamente.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la tercera parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.


Cuadratura del círculo III

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos (cuadraturas) estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas."; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.


Una forma lúdica de teselar es resolver un rompecabezas, esto es un ejercicio para ejercitar la memoria visual y otras habilidades mentales por lo que proponemos, temporalmente, un amplio grupo de puzles para su resolución, uso y disfrute.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

 

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Viernes, 22 Septiembre 2017 00:01

Misceláneas. Lugares geométricos: Cuadraturas II

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CUADRATURAS II

Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos, las cuadraturas, las teselaciones y las particiones de un polígono en otros más pequeños con la intención de teselar, en general el espacio plano, y en particular otros polígonos de diferente forma es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las manifestaciones más sobresalientes de las diferentes culturas y épocas. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.

Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.

Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual, económico, agrario y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.

  • Teselaciones


    aguilas

  • Mosaico de Escher
    Autor: Enrique Martínez Arcos. Adaptación a DescartesJS: Mª José García Cebrian. Publicado por: Ángel Cabezudo Bueno


    salamandras

  • Salamandra de Escher
    Fernándo Pavez Peñaloza.


    Salamandras 2

  • Descubierto un nuevo pentágono que tesela el plano


    teselas con pentágonos

Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

    • Estudio de la Cuadratura y Teselación de un Triángulo Equilátero.
      Supongamos que el triángulo equilátero ABC (ver la siguiente figura), se descompone en los polígonos: AFEM3, FHI, IHBM2 y EM2CM3.

      cuadratura del triángulo
      cuadratura del triángulo 1



      Con los polígonos anteriores podemos formar muchas figuras, además del triángulo equilátero ABC, según coloquemos los polígonos en el plano. Una de las maneras de situar los polígonos es la que muestra la escena que enlaza la imagen anterior. En dicha escena: activando el botón anima o pulsando en el control alfa se observa como se recolocan los polígonos para formar el rectángulo EE2E3E4, visible cuando alfa = 3.14, que evidentemente es un cuadrado con el mismo área que el triángulo equilátero ABC.

      Con la misma intención y con objeto de practicar con las animaciones y diferentes formas de lograr un objetivo se ha creado la escena que enlaza la imagen siguiente.

      cuadratura del triángulo
      cuadratura del triángulo 2



      Analizadas las dos escenas anteriores, conviene pulsar el botón ver aux. o aux, vamos a elaborar una nueva escena para obtener infinitas teselaciones del triángulo equilátero ABC y con dichas teselaciones recubrir un rectángulo y/o un cuadrado.

      cuadratura del triángulo
      cuadratura del triángulo 3



      En esencia la escena es la misma que las anteriores pero simplificada en extremo. Hemos procedido de la siguiente manera:
      • dibujamos el triángulo equilátero ABC: A(0,0), B(6,0) y C(3, 6·sen(60º)).
      • particionamos el lado horizontal de la siguiente forma:
        • segmento AD controlado por el pulsador t
        • segmento DE de longitud igual a la mitad del lado AB
        • segmento EB tal que AD+EB=DE
      • situamos los puntos medios de los lados AC y BC, M3 y M2.
      • unimos, mediante una recta, uno de esos puntos medios con el punto más alejado de él entre D y E
      • desde el otro punto medio y desde el punto intermedio de la partición que no se ha usado se trazan segmentos perpendiculares a la recta anterior.
      • así se obtienen (por ejemplo) los polígonos: ADGM3, DEG, FEBM2 y FM2CM3 que teselan al triángulo. (ver escena enlazada con la imagen anterior)
      • en la escena mencionada al pulsar el botón anima o llevar el pulsador ang a 3.14, se construye el rectángulo FF2F3F4 de igual área que el triángulo ABC y que cuando t vale 0.97 es un cuadrado.
      • por lo tanto para cada valor de t tenemos una teselación diferente y para ciertos valores, además, la cuadratura.
      • debe indicarse que la construcción está aproximada a las centésimas y que para cualquier otro grado de precisión habría que reajustar los valores.


  • Cuadratura estándar de un triángulo. El método estándar de cuadrar un triángulo consiste en hallar el rectángulo con la misma área que él y a continuación cuadrar dicho rectángulo como muestra la escena que enlaza la siguiente imagen.
    Construcción de la escena:
    • paso 0
      • Representamos el triángulo, en esta ocasión equilátero, ABC y los puntos médios de los lados: AC y BC.
    • paso 1
      • El rectángulo ABDE, obviamente, tiene la misma superficie que el triángulo ABC.
      • El botón comprobar muestra una animación que evidencia la afirmación anterior.
    • paso 2
      • Prolongamos los lados BD y ED como apoyo a la construcción.
      • Con centro en D y radio DB se traza la circunferencia que junto a la extensión del lado ED definen el punto F.
      • Se determina G, punto medio del segmento EF.
      • Con centro en G y radio EG se traza la circunferencia que en su intersección con la prolongación de BD determina el punto H.
      • En la escena (paso 2) se observa que el segmento DH es medía geométrica de ED y DF, pero DF = BD, por lo tanto AB·BD = DH2.
      • Construimos el cuadrado DIJH.
    • paso 3
      • SABC=SABDE=SDIJH

    cuadratura
    Cuadratura estándar de un triángulo

Enlazamos a continuación otros ejemplos relacionados con el cuadrado y su partición en dos partes iguales o en dos/tres partes de forma que el área de una de las partes es siempre igual a la mitad de la superficie del cuadrado.

Escena 1


Partición dinámica del cuadrado en dos/tres partes.

Escena 2


Partición dinámica del cuadrado en dos partes iguales

Las escenas anteriores muestran la intima relación del cuadrado con el triángulo, el rectángulo y los trapecios para conformar teselas de indudable belleza.

Notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Cuadratura del Hexágono, por el método estándar o clásico y la descomposición de un triángulo equilátero de infinitas formas diferentes en cuatro polígonos para teselar rectángulos e incluso el cuadrado .

La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación de la Cuadratura del Hexágono por el método estándar.

Cuadratura del Hexágono. Método clásico.


Cuadratura del Hexágono

Descomposición de un triángulo equilátero.
La siguiente utilidad es copia de la ya analizada anteriormente.


Descomposición del triángulo

También, en esta introducción elemental al estudio de las cuadraturas, puede ser de interés el estudio de este otro trabajo sobre la cuadratura de un triángulo cualquiera.

Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido la segunda parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.


Cuadratura del círculo II

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografia:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

 

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Viernes, 08 Septiembre 2017 00:24

Tablas y expresiones algebraicas

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El proyecto Unidades Didácticas de la RED está formado por una serie de unidades independientes que cubren el currículo de Matemáticas y Física y Química de la Enseñanza Secundaria Obligatoria.

En este vídeo presentamos la unidad Tablas y expresiones algebraicas que consta de una serie de ejercicios y actividades para afianzar la lectura e interpretación de gráficas y su relación con las expresiones algebraicas.

Finalmente, para trabajar en el aula, se muestran los pasos a seguir para insertar esta unidad en un curso moodle.

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Lunes, 04 Septiembre 2017 10:00

¡La vuelta al cole con Descartes en 2017/2018!

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Una vez más, desde RED Descartes comenzamos el curso escolar 2017/2018 con ilusión, entusiasmo y emoción, atributos que esperamos transmitir a todos los agentes que intervienen en la educación. Con este objetivo queremos favorecer el acceso gratuito a todos nuestros recursos al personal docente, al alumnado y a sus familias, ofreciendo completamente actualizado, el catálogo de recursos interactivos en HTML5 para cualquier ordenador y dispositivo móvil, con una clasificación por etapa educativa y área o materia.
Esperamos que desde cualquier lugar del mundo, a cualquier hora, sólos o acompañados, los recursos ofrecidos sean de la mayor utilidad posible para aprender a aprender, para fomentar la iniciativa emprendedora, para desarrollar la autonomía personal y todas las competencias y habilidades que corresponde en la Escuela del s. XXI.
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Viernes, 18 Agosto 2017 00:30

Ejercicios interactivos con tutorización automática. Una experiencia de aula

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Como se informó desde este blog, durante la celebración del VIII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática (CIBEM) en julio del 2017 en Madrid, la Red Educativa Descartes participó con el taller “El Proyecto Descartes en el aula” y la comunicación “Diseño y desarrollo online de ejercicios interactivos de matemáticas con estrategias de tutorización automática”. El objetivo del taller dirigido por Rita Jiménez Igea fue dar a conocer el portal de la Red Educativa Digital Descartes a los profesores y profesoras de Matemáticas, mostrando los recursos educativos generados en el Proyecto Descartes para todas las etapas del sistema educativo.

En la comunicación presentada por Elena Álvarez Sáiz y Mª Reyes Ruiz Cobo, se expuso una experiencia de aula desarrollada durante el curso 2016-2017 en dos asignaturas que se imparten en el primer curso de los Grados de Ingeniería de la E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación de la Universidad de Cantabria. Su diseño y desarrollo ha formado parte de un Proyecto apoyado por esta universidad dentro de la III Convocatoria de Innovación Docente.

Teniendo en cuenta la problemática específica de las asignaturas de Matemáticas en los primeros cursos de Grado respecto a la heterogeneidad del alumnado y las dificultades de su adaptación a la universidad, el Proyecto se planteó como primer objetivo la creación de actividades de autoevaluación que favoreciesen la evaluación continua formativa y tutorizada. Para su diseño se adoptó como estrategia didáctica la gestión de errores de forma que, mediante la intervención docente, se pudiera llegar a un fortalecimiento de los contenidos de más difícil comprensión.

cibem 17

En el desarrollo de estas actividades se ha utilizado la herramienta DescartesJS y su posibilidad de comunicación con páginas html. Gracias a las potentes funcionalidades de esta herramienta se han podido construir actividades de evaluación multimedia que incorporan, entre otros elementos, videos interactivos, animaciones, representaciones gráficas, controles numéricos y gráficos así como evaluación de resultados por un sistema de álgebra computacional (CAS). Las características más destacables de estas actividades son:

  1. Se adaptan a cada alumno.
  2. Contemplan distintos niveles de aprendizaje.
  3. Incluyen asistencia personalizada y retroalimentación inmediata a la actuación del estudiante utilizando para ello botones de acción, menús de navegación y diálogos multimedia que hacen sentir al estudiante que está ayudado en todo momento.
  4. Sitúan al estudiante en el centro del proceso de aprendizaje.
  5. Se integran en un entorno de aprendizaje virtual estando disponibles en abierto.

El material generado se puso a disposición de los estudiantes al finalizar los temas seleccionados en cada asignatura como actividad voluntaria a realizar dentro de la evaluación continua. La participación del alumnado en esta experiencia ha sido alta y su satisfacción ha sido muy positiva valorando la utilidad del material en el aprendizaje de los contenidos abordados.

El guión de la presentación que se realizó en el VIII CIBEM muestra los aspectos destacados de esta experiencia.

Puede obtenerse más información accediendo al texto de la comunicación presentada en el VIII CIBEM: Diseño y desarrollo online de ejercicios interactivos de matemáticas con estrategias de tutorización automática .

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Martes, 08 Agosto 2017 13:10

Comunicación audiovisual en Matemáticas con Descartes

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Compartimos un nuevo multimedia correspondiente al proyecto "Matemáticas para todos con Descartes", desarrollado desde el Departamento de Matemáticas del IES Bajo Guadalquivir de Lebrija, durante el curso escolar 2016/2017 con un grupo de 4º ESO del área de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas, coordinado desde el aula virtual de Matemáticas, que tiene acceso para invitados, donde se fueron publicando, paulatinamente, las distintas fases con las correspondientes instrucciones para el alumnado. Así, con la pregunta ¿Qué tienes que hacer?, se decía que el reto a superar consiste en generar contenido audiovisual de Matemáticas. Concretamente, tienes que grabar un vídeo en el que se ejecute y explique la resolución de dos ejercicios sobre fracciones polinómicas.

La experiencia ha resultado sumamente satisfactoria y quiero felicitar desde el portal de RED Descartes al equipo Mary Somerville por la calidad técnica del producto final conseguido. Agradecimiento extensivo a su familia por autorizar la publicación y difusión de este vídeo en internet y las redes sociales, conscientes de lo beneficioso para la formación de sus hijos.

Gracias a nuestra integración en Cero en conducta y en la Tribu 2.0, tuvimos constancia de la existencia del curriculum para docentes sobre Alfabetización Mediática e Informacional, como parte de una estrategia integral para auspiciar que las sociedades sean alfabetizadas en medios e información y promover la cooperación internacional, constituyendo un gran aporte para la innovación y mejora en todas las etapas educativas.

A su vez, fuimos conscientes de la necesidad de formarnos en comunicación audiovisual y de iniciar un Plan de Alfabetización Audiovisual en las aulas para lograr una buena formación del futuro espectador. Para ello, creamos un grupo de trabajo en el CEP de Lebrija con la denominación "Elaboración y desarrollo del Plan de Alfabetización Audiovisual para el IES Bajo Guadalquivir, en el marco del proyecto Cine y Educación".

En consecuencia, son ya bastantes años de experiencia con satisfacciones por lo conseguido, aunque nos queda un camino por delante en el que hay que ir insistiendo en esta línea y mejorando paulatinamente. Dejamos aquí enlace a lo más significativo, por si puede servir de orientación y ayuda a los docentes que se inicien en este ámbito. Añadir que cada audiovisual generado por el alumnado es completamente diferente, cual película enfocada por distintos directores de cine, demostrando así su creatividad e imaginación y sacando parte de esas capacidades ocultas que poseen nuestros alumnos y alumnas.

 TRIGONOMETRÍA EN 1º BACHILLERATO
 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN 4º ESO
 FRACCIONES POLINÓMICAS EN 4º ESO

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Viernes, 11 Agosto 2017 00:52

Progresiones geométricas. Aplicaciones

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Esta semana presentamos una unidad interactiva del proyecto misceláneas que contiene actividades de aplicación de las progresiones geométricas. Ha sido creada a partir de unidades liberadas PISA y en ella se plantean tres actividades distintas en las cuales aplicar conocimientos sobre progresiones.

En la primera actividad, a partir de una imagen del triángulo de Pascal y la sucesión de los primeros términos, el alumnado deberá calcular la suma de un número determinado de filas.

En la segunda actividad, pentagramas, se presenta la imagen de una serie de pentágonos inscritos y se pide la suma de las áreas de los infinitos pentágonos.

Finalmente, en la actividad escala temperada, a partir de una frecuencia inicial dada y la razón, se debe calcular la frecuencia de una nota determinada.

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Viernes, 01 Septiembre 2017 00:30

EDAD 4º ESO Académicas - Semejanza

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El vídeo de este mes es también de semejanza pero de 4ºESO Académicas:

Los epígrafes tratados han sido los siguientes:

1.Semejanza
   Figuras semejantes
   Teorema de Tales
   Triángulos semejantes

2.Triángulos rectángulos. Teoremas  
   Teorema del Cateto
   Teorema de la Altura
   Teorema de Pitágoras generalizado

 
3.Razón de semejanza
   Razón de semejanza en longitudes
   Razón de semejanza en áreas
   Razón de semejanza en volúmenes

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Viernes, 04 Agosto 2017 00:30

EDAD 2ºESO Semejanza

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Este mes vamos a ver un vídeo de 2ºESO correspondiente a la Semejanza. 

En él hemos tratado los siguientes puntos:

1.Teorema de Tales
   Enunciado y posición de Tales    
   Aplicaciones

2.Semejanza de figuras
   Figuras semejantes
   Semejanza de  triángulos
   Aplicaciones
   Relación entre áreas

3.Ampliación y reducción de figuras
   Ampliación, reducción y escala
 
4.Teorema de Pitágoras.
   Enunciado
   Aplicaciones

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Viernes, 25 Agosto 2017 00:05

Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas.

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CUADRATURAS.

Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las expresiones artísticas, religiosas, estructurales y técnicas de las diferentes culturas y épocas. Los conceptos, fundamentalmente los geométricos, físicos y filosóficos aparentan una evolución-involución atractiva y armónica que fascina. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.

Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.

Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

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