Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de los conocidos como "Epicicloides" e "Hipocicloides" que son un tipo de Epi/Hipo Trocoides que a su vez son una clase de las Ruletas.
Dentro del amplio grupo de cicloides analizaremos los ll.gg. generados por un punto de una circunferencia, o dependiente de ella, cuando dicha circunferencia, a la que llamamos generatriz, gira sin deslizar, de forma tangencial, alrededor de otra circunferencia llamada directriz. Esto es, nuestro estudio se centra en uno de los tipos de las curvas planas cíclicas llamadas Ruletas.
Si la generatriz gira por el exterior de la directriz se genera una Epicicloide, que puede ser: ordinaria, epitrocoide acortada o epitrocoide alargada según la posición del punto generador respecto a la circunferencia generatriz de la que depende. Análogamente, si la generatriz gira por el interior de la directriz el l.g. generado es una hipocicloide que a su vez puede ser: ordinaria, hipotrocoide acortada o hipotrocoide alargada según veremos más adelante.
Para llevar a la práctica el estudio se han creado dos escenas: "epitrocoides.html" e "hipotrocoides.html" que se enlazan en la siguiente imagen que muestra como la utilidad "hipotrocoides.html" genera dos ll.gg. uno color rosa conocido como Deltoide (R/r=3) y el otro, de color azul, una hipotrocoide acortada. Esto es así porque se han considerado dos puntos generadores: uno en la circunferencia generatriz y otro, en este caso, interior a la misma. Ver detalles de la escena, dejando repetir la animación, o leer las instrucciones, hasta comprender el proceso de creación de los ll.gg.
Para profundizar en el estudio de los lugares geométricos y en el de uso del editor DescartesJS, hemos elaborado, de forma muy esquemática, las pequeñas utilidades mencionadas anteriormente. Son escenas basadas en la obra del profesor Ricardo Sarandeses Fernández, trabajo que está en proceso de adaptación a las nuevas versiones del editor DescartesJS. A propósito del nuevo editor hemos utilizado, a modo de plantilla, los extraordinarios recursos que la documentación del mismo enlaza en la web de sus creadores. La cantidad de ejemplos-ejercicios ofrecidos hacen que el potencial didáctico y de reutilización de dicha documentación y los ejemplos que la acompañan sea digno de mención ya que con un mínimo esfuerzo, cualquiera de esos abundantes trabajos, puede ser adaptado y servir así de plantilla para un proyecto personal tal como muestran los anteriores y el siguiente enlace.
Introducción al concepto de probabilidad
En ambas escenas, de las dos relacionadas con los ll.gg., se ha puesto especial énfasis en el proceso de elaboración de las ecuaciones paramétricas del l.g. lo que se manifiesta al analizarlas. Por otra parte las dos utilidades pueden ser reducidas a una sola muy fácilmente, lo que dejamos como ejercicio.
Indicamos que:
Como en anteriores ocasiones notamos que la utilidad es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
En los siguientes trabajos presentamos una recreación de las escenas anteriores realizadas con el programa GeoGebra con los propósitos de ahondar en el conocimiento de ambas plataformas: GeoGebra y DescartesJS de forma paralela para lograr los objetivos señalados en entradas anteriores.
La siguiente utilidad genera una amplia colección de epicicloides/epitrocoides según los valores que asignemos a los deslizadores. Conviene observar la animación para comprender la influencia que las asignaciones ejercen sobre los gráficos.
hoja de trabajo de las epicicloides
En la escena que enlaza la siguiente imagen se usa la ecuación de la curva para representarla una vez se conocen los valores que la definen.
Cuando el cociente R/r es un número natural la cicloide se completa en la primera vuelta de la generatriz, en cualquier otro caso es conveniente analizar el cociente anterior para preveer el comportamiento de la curva. La utilidad da un máximo de 10 vueltas, valor que puede modificarse para que se adapte dinámicamente a la situación y así hacer una aplicación más eficiente.
Al igual que en el caso de las epicicloides es conveniente analizar la animación.
hoja de trabajo de las hipocicloides
Proponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
En esta ocasión en la sección de vídeo hemos elegido de nuevo, debido a su indudable interés, dos de entre las muchas composiciones de Milton Donaire publicadas en YouTube.
La primera trata sobre el teorema de Menelao y la segunda sobre el teorema de Giovanni Ceva. El objetivo es el de apreciar la influencia directa, e indirecta, que el conocimiento del triángulo y de las razones geométricas tiene en el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
Hace unos días hemos dado por concluida la implementación de un módulo de búsqueda que venía siendo necesario para esta Web de Contenidos.
Desde las distintas secciones o categorías, Blog, Matemáticas, Física y Química, Otras áreas y Plantillas, se han ido publicando sin pausa, desde la aparición en los medios de RED Descartes, diferentes artículos y ya acumulamos un número importante, ¡sobrepasan los dos mil!
En esta situación es esencial disponer de un buscador que permita acceder a cualquiera de los artículos partiendo de determinados elementos que lo caractericen en función de su categoría, su contenido o su etiquetado. Esto es lo que pretende el Módulo de Búsqueda, para lo cual se han habilitado cinco elementos que actúan de filtro y se rotulan como Frase Clave, Título del artículo, Categoría, Etiqueta y Publicador.
Para mejor comprender la razón de ser de estos cinco elementos podemos decir que cada artículo publicado en la Web de Contenidos lleva, aparte de su contenido literario, metadatos como la fecha de publicación, escrito por (publicador), valoración (de 1 a 5 estrellas) de los lectores, categoría (sección) donde se publica y el etiquetado (conjunto de etiquetas que determinan un perfil para el artículo: temática, proyecto, materia, edad, nivel académico, lenguaje, etc.).
El Módulo de Búsqueda se encuentra en cada una de las secciones, Blog, Matemáticas, Física y Química, Otras áreas y Plantillas y puesto que cada sección se corresponde con una determinada categoría donde los artículos publicados quedan catalogados, el item correspondiente al elemento Categoría queda seleccionado automáticamente al acceder a una determinada sección, pudiendo no obstante desde aquí cambiar a voluntad a cualquier otra categoría.
El Módulo de Búsqueda incorpora un botón de Ayuda que caracteriza a cada uno de los elementos y detalla el formato que tiene el resultado de la búsqueda y las distintas formas como puede ser ordenado. No insistimos más por este lado en este artículo de presentación.
Esperamos haber acertado con esta herramienta y que realmente sea de utilidad a cualquier usuario de la Web de contenidos de RED Descartes.
El objeto dibujar funciones cuya gráfica es una línea recta que presentamos hoy pertenece al proyecto miscelánea de la RED y tiene como objetivo aprender a dibujar funciones reales de variable real cuya representación gráfica es una línea recta.
Los coeficientes de las funciones lineales se modifican aleatoriamente y para su representación se puede elegir dados dos puntos o dado un punto y la pendiente. Una vez seleccionada la función y los datos, se inicia una animación que muestra los pasos a seguir. Al finalizar la animación se puede seleccionar un nuevo ejercicio que se puede resolver en el cuaderno y después activar la animación para comprobar si se ha realizado correctamente.
En este vídeo se muestra también cómo embeber un objeto digital en un espacio web, en este caso un curso Moodle, utilizando el código para embeber:
<iframe style="width: 810px; height: 585px;" src="/descartescms/ https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/dibujar_funciones_con_grafica_una_recta-JS/index.html"></iframe>
Este mes vamos a ver un vídeo de 4º ESO académicas sobre las ecuaciones y sistemas:
En este vídeo hemos tratado los siguientes puntos:
1.Ecuaciones de segundo grado
Completas ax²+bx+c=0
Incompletas ax²+c=0, ax²+bx=0
Discriminante y soluciones
2.Otras ecuaciones
Bicuadradas
Racionales
Irracionales
Factorizadas
3.Sistemas de ecuaciones lineales
Solución de un sistema
Sistemas compatibles
Método de sustitución
Método de igualación
Método de reducción
4.Sistemas de segundo grado
Sistema ax+by=c xy=k
Sistema a0x²+b0y²=c0 a1x+b1y=c1
5.Aplicaciones prácticas
Resolución de problemas
En el Proyecto Plantillas hemos dispuesto una sección llamada Puzles, en la cual podemos encontrar puzles de arrastre, de intercambio, giratorios y por desplazamiento. La novedad en estos puzles con respecto a la herramienta de edición Puzles Descartes es el recortado automático de las piezas del puzle, es decir, el usuario sólo se tiene que preocupar por incluir la imagen que desee para el diseño de este tipo de actividad lúdica, evitando la edición de imágenes correspondientes a las piezas del puzle. No obstante esta ventaja, no podemos descartar la herramienta de edición, pues en los puzles tipo Jigsaw aún no tenemos el recortado automático.
Seguramente, algunos diseñadores de escenas quisieran conocer las técnicas utilizadas que, por la brevedad de este post, publicaremos en la sección de documentación de Descartes. Sin embargo, en forma reducida, lo que hemos hecho es aprovechar dos utilidades del editor de Descartes: el uso de capas y los espacios múltiples. El puzle de arrastre mostrado en la imagen anterior, está compuesto de 16 piezas cuadradas, las cuales se corresponden con 16 espacios de igual tamaño. El recortado de imágenes se logra copiando la misma imagen en cada espacio, pero en posiciones diferentes, por ejemplo, en la pieza de la esquina superior izquierda, copiamos la imagen, de tal forma que sólo muestre el 25% de la imagen base, para ello debemos definir la posición de la imagen en el espacio correspondiente. El uso de las capas nos ha permitido incluir controles gráficos invisibles y asociados a cada espacio, pero en una capa superior, de tal forma que al arrastrar el control gráfico se simula el arrastre de la pieza.
Pero, para el público en general estas explicaciones técnicas no son de interés, basta con saber cómo diseñamos nuestros puzles que, como lo dijimos antes sólo es necesario incluir la imagen que deseemos. La buena noticia es que podemos usar vídeos en lugar de imágenes, haciendo más atractivos nuestros puzles.
Presentamos, entonces, dos nuevos puzles que hemos denominado vídeo puzles, el primero de cuatro piezas y el segundo de seis.
Vídeo puzle de cuatro piezas (haz clic en la imagen para abrir el puzle)
Vídeo puzle de seis piezas (haz clic en la imagen para abrir el puzle)