La pandemia que nos asola desde marzo originó la declaración del estado de alarma, el cierre de los centros educativos y nos llevó al confinamiento en nuestros domicilios, afectando a todos los sectores de la comunidad educativa y debiendo afrontar retos para los que ninguno contaba con experiencia. Por su parte, las administraciones educativas instaron a los centros a adoptar las medidas necesarias para continuar con el proceso de enseñanza-aprendizaje a distancia usando espacios virtuales y herramientas de intercomunicación, pero se precisaban recursos especialmente diseñados para la enseñanza a distancia. Por ello, el domingo 15 de marzo, publicamos y difundimos por nuestras redes sociales el artículo "Educación a distancia y gratuita con Descartes", en el que ofrecíamos, debidamente catalogados por etapas educativas, todos los recursos educativos abiertos de RED Descartes. Pues bien, cuatro meses después, y con un final de trimestre agotador para todos los sectores de la comunidad educativa, ponemos en marcha la campaña "Vacaciones con Descartes para las familias", donde sugerimos a padres y madres que inviten a sus hijos e hijas, en los momentos que consideren adecuados y en función de la edad, a explorar y pensar, conscientes del considerable número de familias que demandan los tradicionales cuadernos de vacaciones y que podrán personalizar con una sencilla selección de nuestros recursos gratuitos.
Nuestros niños y niñas se encuentran disfrutando del período vacacional de verano, con mucho tiempo para compartir con sus familias y amigos, así como para el descanso y ocio. No obstante, siempre es recomendable encontrar el momento adecuado para sugerirles una interesante lectura y realizar, en nuestra compañía o junto a sus hermanas y hermanos mayores, algunas actividades de las áreas básicas del conocimiento. Ahora bien, para ello, las familias requieren de una orientación y asesoramiento que pueden recibir por diferentes canales de comunicación.
Con este fin, la Red Educativa Digital Descartes ofrece una amplia selección de recursos digitales interactivos a los que pueden accederse desde cualquier lugar y hora, en el campo o en la playa, con un simple ordenador personal, portátil o dispositivo móvil y conexión a la red de internet, aunque también es posible descargarse el objeto de aprendizaje para usarlo en local, es decir, sin conexión a internet.
Estos recursos están organizados y catalogados por etapa educativa y edad, como se aprecia en la imagen inferior, así , las familias podrán seleccionar, con un simple clic sobre la imagen correspondiente o sobre el texto que la acompaña a su derecha, los adecuados para sus hijos e hijas, encontrando la relación con los nombres de las actividades y una breve descripción de la misma.
No obstante lo anterior, cada familia, como mejor conocedora de las capacidades de los niños y niñas, podrá optar por realizar las actividades de diferente edad.
La LOMCE no contempla los tres ciclos de Primaria, sino seis cursos independientes. lo que no supone obstáculo alguno para que los niños y niñas disfruten con estos recursos de gran calidad, pues accediendo al ciclo en cuestión, según la edad, y seleccionando el recurso deseado puede verse con detalle a qué curso concreto corresponde.
Esperamos que esta aportación, completamente gratuita, de la RED Descartes sea de utilidad para el mayor número posible de familias y animamos a dejar comentarios con sus opiniones.
El mapeado de la imagen se ha realizado desde la nube con la herramienta Image-Maps.
La Organización No Gubernamental RED Descartes viene ofreciendo, desde hace casi siete años, recursos educativos abiertos para todas las etapas educativas durante 24 horas al día y los 365 días del año, de forma completamente altruista, queriendo aportar nuestro granito de arena en estos tiempos tan difíciles. Por ello, elaboramos y difundimos este especial artículo veraniego con resumen y acceso a todos los recursos disponibles.
Después del encuentro que en julio del año pasado tuvimos en la Asamblea general ordinaria de RED Descartes que celebramos en Santiago de Compostela donde, en la esplendorosa Galicia, disfrutamos plácida e intensamente de los placeres paisajísticos, monumentales y culinarios de la tierra, del campo, del mar y de lo que por ella se pasea y donde ¡también gozamos del clima gallego! —basta observar el siguiente vídeo como suscinta acta y memoria de actividades—... Nos esperaba ¡ZARAGOZA 2020!
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Pero el pretérito imperfecto usado: "esperaba", nos marca lo que no queremos recordar, lo que es una conjugación verbal que cambiando su significado original ha englobado al pasado, al presente y al futuro, y nos ha cambiado nuestro devenir diario. ¡No, no hay que hacer más circunloquio! El y la Covid-19 ha modificado nuestro tiempo y nuestras decisiones y no nos ha permitido abordar el esperado y deseado chateo aragonés, ni hemos tenido la fortuna de ver cumplido nuestro deseo, o al menos intentarlo, de que nos llamen "zagalicos majicos", sino que más bien, o más certeramente más mal, parece que el cierzo invernal se ha aposentado y no nos quiere abandonar. Y, por ahora, también nos hemos visto obligados a desistir de nuestra visita colectiva al Museo de Matemáticas "Monasterio de Casbas", el primer Museo de Matemáticas de Aragón.
No obstante, al menos, las TIC en las que se fundamenta nuestro proyecto educativo Descartes nos han ayudado y ¡sí!, hemos podido chatear de otra forma y transformando los impedimentos en facilidades hemos realizado la Asamblea general ordinaria de RED Descartes de manera virtual. Hemos encasillando, no nuestra mente, pero sí nuestras imágenes cual elementos de una matriz con localizada posición cartesiana, pero con procedencia local diversa y con amplísima distribución geográfica: Cádiz, Santiago, Lebrija (Sevilla), Murcia, Villaviciosa (Asturias), Ponteareas y Poio (Pontevedra), Zaragoza, Santander, Córdoba, Valladolid, Sant Joan les Fonts (Girona), Madrid y también desde la Medellín de la bella Colombia participó el presidente de RED Descartes Colombia en horario para él de maitines, aparte de la participación asíncrona de otros colegas que no pudieron asomarse a esta ventana y lo hicieron desde el foro interno de la asociación.
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En animada charla abordamos las tareas estatutariamente reguladas aprobando el acta anterior, hicimos algo de memoria recapitulando las actividades anuales, vigilamos las cuentas e intercambiamos ideas. Todas ellas sustentadas en la utilidad pública de nuestra asociación, pues en estos tiempos difíciles, con un sabor agridulce, hemos hecho acúmulo de acontecimientos y sentimientos y hemos experimentado cómo, desde nuestro servidor de contenidos, se ha logrado dar una ayuda educativa a miles y miles de necesitados y amantes del saber que han hallado mensajes de solidaridad en todas y cada una de las consultas realizadas y en todas y cada una de las más de diecinueve millones de páginas servidas en los seis primeros meses de este año. Altruismo satisfecho, objetivo alcanzado.
Como en todo colectivo hay inquietudes no satisfechas, deseos por llevar a término, tareas que retomar o iniciar, pero lo fundamental es tener interés en continuar, sentir ganas de seguir avanzando juntos, ampliar horizontes, colaborar, compartir, experimentar y cumplir años repletos de ilusión. El bagaje colectivo conseguido a lo largo de los veintidós años del proyecto Descartes y de los siete de RED Descartes nos permite estar satisfechos: ¡Enhorabuena cartesianos!
Finalizando la Asamblea volvimos a manifestar nuestra certera voluntad de encontranos en Zaragoza en julio de 2021.
¡Zaragoza queremos satisfacer tu espera y satisfacer nuestra deuda!, sentirnos en tus calles y entre tu gente, ¡sin olvidar! y mirando positivamente al futuro. Y al igual que el agua que desde al menos ocho millones de años fluye continuadamente en tu/nuestro Ebro, desde el ámbito educativo de nuestro proyectodeseamos poder seguir contribuyendo a la formación de personas matemáticas, científicas, que ayuden a un futuro mejor para todos.
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¡Nos vemos en Zaragoza en julio 2021! y mientras tanto en la Red.
Los cilindros generalizados, los conos generalizados y las superficies tangenciales son los tres tipos de superficies regladas desarrollables. Todas ellas pueden obtenerse a partir de una curva directriz sobre la que desplazando una recta se genera la superficie, de ahí que a la recta se le denomine generatriz. En el caso de los cilindros todas las rectas tienen la misma dirección, en los conos todas pasan por un punto que es el vértice y en las superficies tangenciales son las rectas tangentes a la curva directriz. Todas ellas pueden parametrizarse como:
donde es la curva directriz y
es la dirección de la generatriz. En el artículo "Superficies desarrollables con Descartes" detallé todos estos aspectos e indiqué que en las misceláneas allí compartidas la curva directriz que había considerado era plana y, por tanto, procedería abordar una extensión que contemplara que fuera tridimensional. También planteé abordar una miscelánea en la que se obtuvieran superficies tangenciales y el desarrollo plano de las mismas. Todo ello es lo que aquí presento.
En la miscelánea "Construyo mis cilindros generalizados con curva base 3D" se abordan las superficies que pueden parametrizarse como . El usuario define su curva directriz tridimensional
y la dirección de la generatriz que es constante y puede simular la generación del cilindro, obtener su desarrollo plano e imprimirlo si lo desea. En el caso en el que la curva directriz es plana, imprimiendo la base, se tiene una guía sobre la que proceder a la reproducción física del cilindro a partir del desarrollo impreso, pero en el caso de curva tridimensional no siempre será fácil esa construcción ya que no dispone de la reproducción física tridimensional de la curva directriz en la que poder apoyarse para poder plegar el desarrollo. Se requeriría abordar una impresión 3D de la directriz o bien construir la superficie lateral de un prisma cuya base inferior fuera plana y la superior siguiera el perfil de la curva directriz que serviría como soporte sobre el que apoyar y construir el cilindro. Ambas opciones son accesibles, pero no se contemplan en este recurso interactivo.
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Con identica funcionalidad tenemos la miscelánea "Construyo mis conos generalizados con curva base 3D" correspondiente a la parametrización . En ella, definiendo la curva directriz tridimensional y el vértice se procede a generar el cono y a obtener su desarrollo plano. En este caso la reproducción material del cono, gracias a la referencia del vértice, puede ser más sencilla.
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El desarrollo de las dos escenas anteriores a partir de las escenas análogas de base plana no requirió mucho trabajo porque realmente estaban diseñadas para ello y practicamente lo que había era una restricción de la curva directriz estableciendo que la tercera componente fuera nula. El pimer objetivo planteado se alcanzó sin un coste excesivo.
El segundo objetivo era desarrollar la miscelánea "Construyo mis superficies tangenciales" asociada a las parametrizaciones del tipo y en las que en cada punto de la curva directriz la generatriz sigue la dirección de la recta tangente a dicha directriz. He aquí la miscelánea:
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En ella hay que detallar y aclarar algunas cuestiones:
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Aproximación con seis segmentos | Aproximación con cincuenta segmentos |
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Te invito a construir ¡tus superficies regladas desarrollables!
tanto de manera virtual como real.
¡Séptimo aniversario de RED Descartes! ¡Vigésimo segundo del proyecto Descartes! ¡Nuevo récord de páginas servidas desde nuestro servidor!... centros educativos cerrados, sociedad confinada, enfermedad, sufrimiento, muerte... pandemia. ¡Ciencia, investigación, estudio, aprendizaje, esfuerzo, colectividad, solidaridad!
¡Acumulación de acontecimientos, de sentimientos y de agradecimientos!
Cumplir años en tiempos de pandemia superando récords mes a mes gracias al incremento en el número de nuevos amigos que, estando confinados, necesitan satisfacer su aprendizaje y ejercer su docencia en entornos virtuales, provoca una acumulación de sentimientos contrapuestos. Todo acontece a causa de la concatenación de las extrañas y duras circunstancias en las que vivimos en estos días, pero contribuye a la consecución de nuestros objetivos como asociación. Un paradójico oxímoron que desde RED Descartes tratamos de revestirlo aglutinando la ilusión que nos motiva a trabajar altruistamente con el agradecimiento a quienes nos eligen y, que al hacerlo, dan valor y sentido a nuestro esfuerzo. Agradecimiento que hemos de hacer explícito a nuestros patrocinadores: grupo IC e Hidral que desde el mundo empresarial, con profunda visión social, han apoyado nuestro proyecto educativo y obviamente estos logros también son suyos. Gratitud al Ministerio de Educación español por impulsar y promover el desarrollo del proyecto y la herramienta Descartes durante sus primeros catorce años, al Instituto de Matemáticas de la UNAM por auspiciar el desarrollo de DescartesJS, a la Institución Universitaria Pascual Bravo de Medellín (Colombia) promotora de los libros interactivos y a nuestra red hermana ColDescartes. Y a todos los que en estos veintidós años habéis contribuido a que este proyecto, esta RED, sea una realidad.
¡Felicidades a todos los socios y miembros de RED Descartes!
Los cumpleaños, a cierta edad, suelen acumular sentimientos encontrados pues son hitos significativos en los que se interseca el pasado y el futuro, momentos de reflexión en la transición o continuidad vital. Generan alegría y tristeza, esperanza y añoranza, certeza y duda, perdurabilidad y caducidad. Son momentos en los que lo transcurrido puede, debe, actuar de trampolín para la mejora, más cuando las circunstancias en el entorno no son óptimas y mucho más cuando son más bien desfavorables.
Hoy, 1 de junio de 2020, cumplimos siete añitos como organización no gubernamental sin ánimo de lucro. Hace siete años que decidimos y llevamos a cabo la constitución de la asociación "Red Educativa Digital Descartes". ¡Ya! siete no es mucho, pero es que son veintidós los transcurridos desde que en 1998 surgió el proyecto Descartes, un proyecto de profesorado centrado en la mejora de la educación matemática —en sus orígenes, pero despúes en cualquier materia— usando las TIC y los recursos interactivos desarrollados con la herramienta Descartes. A este proyecto, inicialmente promovido por el Ministerio de Educación español y desarrollado a través de él hasta el año 2012, le tuvimos que dar continuidad, impulso y mejora desde una perspectiva independendiente no gubernamental.
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Este aniversario acontece en el preocupante y difícil contexto de una pandemia que se ha adentrado drásticamente en el entorno educativo impidiendo la relación cotidiana directa entre el alumnado y el profesorado dado que los centros escolares de todos los niveles ¡están cerrados! Un cambio drástico en los procedimientos y metodologías que han tenido que encaminarse al uso intensivo y extensivo de las TIC. Pero para poder llegar a una planificación adecuada, que contribuya a intensificar la adquisición de la competencia de "aprender a aprender" y la de autonomía personal, es necesario contar con recursos que potencien y ayuden a ese logro. Y los recursos de nuestra RED, que han sido desarrollados por profesorado que imbuye en ellos su experiencia de aula, pensamos y valoramos que pueden ayudar significativamente a la consecución de ese objetivo, ahora y siempre. Pero el navegante discente y/o docente que llega a nuestro servidor de contenidos es quien tiene en su mano, literalmente, la capacidad de elección. ¡Y eso es lo que ha hecho!
En junio del pasado año coincidió que festejábamos nuestro aniversario con un récord en el número de páginas servidas en un mes (más de dos millones cuatrocientas mil) y estos tiempos de pandemia se han ido incrementando el número de páginas servidas y a la vez se han concatenando nuevos récords. En marzo, con sabor agridulce, superamos los cuatro millones de páginas, en abril ¡ayudamos en los tiempos del COVID-19! con más de cuatro millones seiscientas mil y en este aniversario comunicamos nuestro nuevo récord al haber superado los cinco millones de páginas en el recién acabado mes de mayo.
La siguiente tabla refleja un detalle de lo acontecido estadísticamente en este mes de mayo de 2020 en proyectodescartes.org
Si estos logros estadísticos se han ido sucediendo es porque al otro lado de nuestro/vuestro servidor estáis todos vosotros que nos elegís y que retornáis para dar continuidad a vuestro aprendizaje o docencia. Consecuentemente, también hemos de hacer una acumulación equitativa de agradecimientos y daros millones de gracias por dar sentido a nuestra labor altruista.
En ese cúmulo de agradecimientos hemos de ser especialmente explícitos en nuestro reconocimiento al grupo empresarial IC S. L. (consultar artículo I y artículo II) y a la empresa HIDRAL (consultar artículo), porque desde la perspectiva empresarial han puesto de manifiesto de manera nítida que la formación y la educación es un pilar básico en su modelo de empresa y que en la reinversión social de sus logros y éxitos, ése es un foco básico de interés. Gracias a su patrocinios económicos hemos tenido suficiente holgura monetaria para disponer y mantener, durante los años 2017, 2018 y 2019, la imprescindible infraestructura TIC para el alojamiento de contenidos y difusión de los mismos y, así, poder llegar a todos los amantes del saber y del aprender que nos visitáis. Este agradecimiento se refleja en muchos recursos (pulsad sobre las imágenes para ver un par de ejemplos)
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También hemos de agradecer grandemente al Instituto de Matemáticas de la UNAM (Universidad Nacional Autónoma de México) el patrocinio para el mantenimiento y mejora de la herramienta DescartesJS y a José Luis Abreu León que con genialidad y eficiencia ha mimado y mima a Descartes en esta extensa e intensa trayectoria de veintidós años. Y a Joel Espinosa Longi y a Alejandro Radillo Díaz que aportan su buen hacer y saber, y su juventud, dando continuidad vital a la herramienta y con ella al proyecto.
Nuestro agradecimiento a la Institución Universitaria Pascual Bravo de Medellín (Colombia) por su apoyo directo al proyecto Descartes y especialmente por impulsar los libros interactivos y publicarlos bajo su sello editorial, y a nuestra red hermana "Red Educativa Digital Descartes Colombia" que no sólo suma sino que multiplica poniendo de manifiesto la sinergia de la colaboración.
Y en la reflexión acerca de lo vivido hay que remontarse al nacimiento y a los primeros años, aquellos en los que se asientan los pilares de un futuro seguro y firme, y así agradecer a Agustín Quintana Alonso y a Juan Madrigal Muga, que desde el Intef del Ministerio de Educación español, vislumbraron y trazaron las líneas primigenias del proyecto Descartes, atisbando que este proyecto educativo tenía que configurarse como un proyecto de profesorado en pro de la comunidad educativa, que llegara y se desarrollara a pie de aula y que introdujera cambios metodológicos apoyados en la tecnología, pero donde ésta quedara diluida.
Agradecimiento a todos los pioneros cartesianos que, en el interludio de cambio del siglo XX al XXI, acudieron con ilusión a trasladar su inquietud y experiencia profesional en los albores de Descartes y que aportaron los mimbres con los que se empezó a dar forma a un proyecto y a una realidad —perdonad que no detalle aquí vuestros nombres, la lista es amplia y sería muy probable que cometiera una omisión imperdonable, todos estáis reflejados en nuestro servidor de contenidos a través de las aportaciones que habéis ido realizando—. Gratitud a quienes conformaron proyectos de profesorado análogos usando la herramienta Descartes como el proyecto Newton (hoy unificado dentro de la RED Descartes) y a todos los que en estos veintidós años habéis dedicado en algún momento parte de vuestro saber, de vuestro tiempo y de vuestra experiencia aportando lo que habéis podido, sin cuantificar si es poco o mucho porque toda contribución es importante.
Y, finalmente, agradecimiento infinito a todos los socios de RED Descartes por haber constituido esta asociación y seguir con empeño contribuyendo día a día a la consecución de sus objetivos estatutarios.
¡Continuamos...! ¡Con ilusión iniciamos un nueva vuelta al Sol... con Descartes!
En este artículo se describen y clasifican las superficies regladas desarrollables poniendo de manifiesto que éstas son cilindros, conos y superficies tangenciales. Y, mediante el uso de Descartes, se permite al usuario abordar la construcción virtual de "su" cilindro y cono personalizado, pero también se le da la posibilidad de convertirlo en un objeto tridimensional tangible sin más que proceder a la obtención automática de su desarrollo plano y, mediante su impresión en papel, proceder a su construcción.
Una superficie es reglada si está constituida por una familia de rectas. Todas estas superficies se pueden parametrizar como:
(1)
donde y
son curvas en el espacio tridimensional. La primera es la curva base o curva directriz y la segunda es el vector director de cada una de las rectas (generatriz). Efectivamente, fijado un valor del parámetro u puede observarse que la expresión obtenida es la ecuacion de una recta y, variando u, geométricamente lo que se puede interpretar es que se va recorriendo cada punto de la curva base
y por él pasa una recta cuya dirección viene dada por
.
También puede expresarse de manera equivalente como:
(2)
que algebraicamente representa, para cada valor de u, a una recta (o un segmento si consideramos 0 ≤ v ≤ 1), pero en este caso lo que se pone de manifiesto es que esa recta se apoya en un punto de la curva y en otro de la
.
El ejemplo más simple de superficie reglada es un plano, pero entre otras, también lo son los cilindros, los conos, la banda de Moebius, el hiperboloide, etc.
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Cilindro generalizado | Cono generalizado |
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Banda de Möbius | Hiperboloide |
Una herramienta matemática que permite caracterizar la curvatura de cualquier superficie regular es la denominada curvatura de Gauss, y se verifica que dicha curvatura es invariante por isometrías. Todas las superficies regladas cumplen que su curvatura de Gauss es menor o igual que cero y, en particular, que la curvatura de Gauss de un plano es identicamente nula. En base a lo anterior, todas las superficies regladas que tienen curvatura cero son isométricas con el plano y son denominadas como superficies desarrollables ya que, consecuentemente, pueden construirse a partir de su desarrollo plano.
En la parametrización (1) la condición de curvatura nula equivale a que el denominado parámetro de distribución sea nulo, y éste viene dado por:
(3)
o en el caso de la parametrización (2) como:
(4)
De (4) se observa que para que la superficie reglada sea desarrollable tiene que ocurrir que para todo u el vector tangente a la curva , el vector tangente a
y el vector director de la recta que une a ambas curvas sean coplanarios al ser el producto mixto de los tres cero, o dicho de otra forma que el plano tangente es constante lo largo de cada recta generatriz.
Pero un análisis más detenido de cuándo es identicamente nulo el parámetro de distribución nos puede permitir clasificar a las superficies desarrollables. Así en la expresión (3):
En el proyecto "El metro: patrón inexacto para medir exactamente", que en el año 2004 contó con una ayuda de la Junta de Andalucía (España) para la elaboración de materiales y recursos educativos digitales, desarrollamos con Descartes en su versión Java algunos objetos educativos interactivos sobre conos y cilindros generalizados incluyendo la posibilidad de obtener su desarrollo plano. En este año 2020 hemos procedido a adaptarlos a DescartesJS y a mejorar sus posibilidades, en particular en lo relativo a forma de obtener ese desarrollo plano, a incluir la posibilidad de su impresión y consecuentemente a la posibilidad de su reproducción tangible tridimensional. Estos recursos actualizados están publicados en el subproyecto "misceláneas" de la RED Descartes y los enlazamos a continuación aquí en dos triadas de imágenes que respectivamente se corresponden con cilindros y conos generalizados.
En la primera triada correspondiente a los cilindros tenemos:
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Cilindro generalizado | Ejemplos de cilindros generalizados | Construyo mis cilindros |
De manera análoga en la triada correspondiente a los conos generalizados tenemos:
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Cono generalizado | Ejemplos de conos generalizados | Construyo mis conos |
En estos objetos interactivos se ha considerado que la curva base es una curva plana, así pues, he de ponerme la tarea de incorporar la tridimensionalidad de la curva base y presentarlo en un próximo artículo en este blog. Y, adicionalmente, este trabajo debería incoporar el caso de superficies tangenciales que implictamente, a priori, entraña cierta dificultad si se deja libertad de definición al usuario, pero sobre ello ya hablaremos.
Finalizo reseñando que para la obtención automática y animada del desarrollo plano del cilindro y el cono se aplica la rotación de Rodrigues descrita en un artículo anterior de este blog. Lo que se hace es plantearlo como el desarrollo plano de un prisma o una pirámide que se ajuste suficientemente al cilindro o cono dado. En la animación siguiente se refleja el desarrollo plano de un cilindro generalizado en el que su base es la curva denominada bifolium.
Pulsa sobre la imagen para ampliarla
Bibliografía
Lucas, E. (2017). Superficies regladas [Trabajo fin de grado]. Universidad de Murcia.
Rosado, E (2010). Superficies regladas [Apuntes docentes]. Universidad Politécnica Madrid.