Con motivo de la gravísima situación que estamos sufriendo, las autoridades educativas instan a los centros a adoptar las medidas que consideren más adecuadas para garantizar la continuidad de los procesos de enseñanza-aprendizaje a través de tareas y actividades que puedan ser desarrolladas por el alumnado en sus domicilios, utilizando los medios de comunicación electrónicos establecidos o acordados entre el alumnado y el profesorado, como pueden ser entornos virtuales de aprendizaje. Ahora bien, como manifiesta Fernando Trujillo en Twitter, cuya opinión comparto, no debemos empezar buscando la herramienta de comunicación, sino qué información daremos a nuestro alumnado, qué deben desarrollar con ella, cómo deben hacerlo y cómo los evaluaremos, en su caso. Particularmente, y es lo que haré en estos días, recomiendo usar las herramientas de intercomunicación que venimos empleando durante el curso, indicando a nuestro alumnado, día a día, todos los aspectos que menciona Fernando.
Superadas estas decisiones iniciales, obviamente necesitaremos recursos especialmente diseñados para la enseñanza a distancia y, con todos mis respetos a otras alternativas, los que mejor reúnen estas características son los libros interactivos del Proyecto ED@D, que fueron diseñados por el CIDEAD, Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación A Distancia, organismo dependiente del Ministerio de Educación, con el objetivo de atender "a los ciudadanos españoles en el exterior y a aquellas personas que, aun residiendo en territorio nacional, se ven imposibilitadas para recibir enseñanza a través del régimen ordinario", a pesar de encontrarse en edad de escolarización obligatoria.
Por diseño, se trata de un material interactivo autosuficiente, proporcionando tanto las convenientes explicaciones teóricas como un número suficiente de actividades y ejercicios en los que la introducción de semillas aleatorias aportan diferentes instancias de los mismos, permitiendo practicar a la medida de las necesidades de cada cual, ya que van acompañadas de correcciones automáticas. Consecuentemente se promueve el objetivo de “aprender a aprender”, se refuerza la autonomía personal y el adecuado desarrollo competencial.
En base a estos supuestos, cada unidad consta de seis secciones, cuyos detalles pueden consultarse en la página del proyecto, bajo los epígrafes: Antes de empezar, Contenidos y resumen, Ejercicios para practicar, Autoevaluación, Para enviar al tutor y Para saber más, disponiendo de versiones para las distintas materias de Matemáticas en la ESO en castellano, catalán y gallego.
En caso de necesidad, ofrecemos tutoriales con los detalles concretos de cada unidad y el procedimiento para insertar estos y otros recursos en un aula Moodle.
La Organización No Gubernamental RED Descartes viene ofreciendo, desde hace casi siete años, recursos educativos abiertos para todas las etapas educativas durante 24 horas al día y los 365 días del año, de forma completamente altruista, queriendo aportar nuestro granito de arena en estos tiempos tan difíciles. Por ello, elaboramos y difundimos este especial artículo con resumen y acceso a todos los recursos disponibles.
El "triángulo de Pascal o de Tartaglia" es ampliamente conocido tanto por las curiosas propiedades que en él pueden encontrarse como por su aplicación en el desarrollo algebraico de la potencia de un binomio. Suele aprenderse ligado a lo que usualmente se enseña con el nombre de "binomio de Newton" y que se identifica con la potencia de un binomio cuyo exponente es un número natural. Pero quien enunció o al menos divulgó este desarrollo particular, relacionándolo con ese triángulo, fue Pascal y de ahí que se denomine a dicho triángulo con su nombre. No obstante, el "triángulo de Pascal" ya era conocido, siglos antes, por matemáticos persas y chinos. Según Maor (1994) la aportación concreta de Newton en el contexto del desarrollo binomial se sitúa en el caso del desarrollo con exponentes racionales y con exponentes enteros y únicamente llegó a conjeturarla sin llegar a abordar o al menos divulgar su demostración. Actualmente este resultado es un caso particular del denominado "Teorema binomial".
Newton abordó la extensión del triángulo de Pascal efectuando un cálculo hacia atrás, de manera que se mantuviera la misma propiedad recursiva de que un elemento de una fila sea el resultado de la suma de dos de la fila anterior siguiendo la propiedad que se verifica entre los números combinatorios.
Con esta extensión recursiva en sentido inverso, Newton construye nuevas filas, cada una de las cuales tiene infinitos números y cuya escritura conduce a la forma de un "paralelogramo" (o si se desea puede mostrarse, en particular, como un rectángulo) y cada una de ellas puede asociarse a filas que se corresponderían con números "combinatorios" cuyo índice superior serían números enteros negativos.
A su vez, Newton hace corresponder los números ubicados en cada fila con los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio cuyo exponente ya no sólo sería un número natural, sino que en general puede ser un número entero. Y, consecuentemente, a todos los números del paralelogramo de Newton los denominaremos coeficientes binomiales (pierde sentido asociarlo con el número de combinaciones). El desarrollo del binomio conduce a un número finito de sumandos cuando el exponente es natural e infinitos (una serie) cuando es un entero negativo.
En la miscelánea "Extensión del triángulo de Pascal: El paralelogramo de Newton" se muestran los coeficientes binomiales de dicho paralelogramo. Pulsando el botón "indicaciones" de este recurso se pueden consultar algunos detalles adicionales.
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La representación de dicho paralelogramo numérico entraña dos dificultades principales a medida que se incrementa la cantidad de números a visualizar. Por un lado, el espacio que necesita ocupar la escritura de cada coeficiente binomial que progresiva y rápidamente va aumentando, al ser mayor el número de cifras que lo constituyen. Y, por otro, el tiempo de cálculo necesario para ubicar, desplazar y representar en la tabla dichos coeficientes y para poder escalarla (si se desea). Adicionalmente, el cálculo de los coeficientes conduce a números enteros que superan el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 253-1 (algo superior a 9 mil billones); así pues, en esos casos no se refleja el coeficiente y se colorea la casilla donde iría ubicada con un fondo rojizo.
En dicha escena se pueden visualizar, mediante colores, pautas geométricas de cómo se distribuyen dichos coeficientes cuando se plantean congruencias numéricas respecto a un divisor y resto seleccionado. No obstante, estas distribuciones pueden observarse mejor si no se muestran los valores de los coeficientes y ello es lo que se aborda en la miscelánea: "Congruencias en el paralelogramo de Newton"
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En este caso (ver las indicaciones incluidas en la miscelánea) la dificultades siguen centrándose en el espacio necesario para representar el paralelogramo cuando el número de filas y columnas considerado es elevado, pero al no reflejarse el número en sí, cada uno de estos coeficientes ocupa el mismo espacio y puede escalarse hasta el extremo de que ocupe un único píxel. Por otro lado, el cálculo de las congruencias puede hacerse de manera recursiva sin necesidad de calcular el coeficiente y consecuentemente no se ve afectado por lo indicado sobre el máximo entero admisible en javascript. Obviamente, las necesidades computacionales son elevadas y, por defecto, en la escena se ha limitado el número de filas y columnas a 400, pero editando la escena puede cambiarse.
Para evitar que cada interesado tenga que dedicar tiempo en la generación de las imágenes de las congruencias, he preparado un muestrario de consulta para las congruencias con los números primos hasta el treinta y uno, representando los coeficientes binomiales de índice superior en el rango desde -999 a 999 y de índice inferior de 0 a 999. Éste está accesible en la miscelánea: "Muestrario de congruencias en el paralelogramo de Newton", pudiéndose ampliar las imágenes ahí incluidas.
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En un próximo artículo en este blog, mostraré que si retomamos el esquema organizativo original que Pascal (Traité du triangle arithmétique, 1665) utilizó al presentar y analizar las propiedades de este triángulo numérico, entonces los patrones de las congruencias que se observan en él son mas fáciles de identificar y pautar, y la extensión de estos a los coeficientes binomiales con índice superior un entero negativo se realiza de manera trivial.
Finalmente, quienes deseen aplicar los coeficientes binomiales y practicar con el desarrollo algebraico de potencias de un binomio pueden usar las siguientes misceláneas:
Ejercicios de desarrollo algebraico usando el "Binomio de Newton"
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Ejercicios del "binomio de Newton" con exponente entero
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Durante la primera semana de marzo de 2020, entre los días 2 y 6, se celebra la Open Education Week, un evento comunitario global que busca crear conciencia sobre los beneficios de los recursos educativos abiertos y las prácticas educativas abiertas.
El Congreso Mundial sobre los Recursos Educativos Abiertos (REA), celebrado en París del 20 al 22 de junio de 2012, resalta que el término REA "designa a materiales de enseñanza, aprendizaje e investigación en cualquier soporte, digital o de otro tipo, que sean de dominio público o que hayan sido publicados con una licencia abierta que permita el acceso gratuito a esos materiales, así como su uso, adaptación y redistribución por otros sin ninguna restricción o con restricciones limitadas". Una definición cuyos requisitos cumplen escrupulosamente los recursos interactivos generados con la herramienta de autor Descartes JS y compartidos con la aldea global en el portal de la ong RED Descartes. Por ello, y dado que la Semana de la Educación Abierta se ha convertido en uno de los eventos mundiales más destacados que reconoce el alto rendimiento y la excelencia en la educación abierta, desde Proyecto Descartes, con una larga trayectoria en este ámbito, hemos decidido colaborar y participar en la #OEWeek con varios de nuestros conocidos proyectos:
"¿Por qué es importante la Educación Abierta?
La gente quiere aprender. Al proporcionar acceso gratuito y abierto a la educación y al conocimiento, la educación abierta ayuda a crear un mundo para apoyar el aprendizaje. Los estudiantes pueden obtener información adicional, puntos de vista y materiales para ayudarlos a tener éxito. Los trabajadores pueden aprender cosas que los ayudarán en el trabajo. La facultad puede recurrir a recursos de todo el mundo. Los investigadores pueden compartir datos y desarrollar nuevas redes. Los maestros pueden encontrar nuevas formas de ayudar a los estudiantes a aprender.
Las personas pueden conectarse con otras personas que de otra manera no se encontrarían para compartir ideas e información. Los materiales se pueden traducir, mezclar, dividir y compartir abiertamente de nuevo, lo que aumenta el acceso e invita a nuevos enfoques. Cualquiera puede acceder a materiales educativos, artículos académicos y comunidades de aprendizaje de apoyo en cualquier momento que lo deseen. La educación está disponible, accesible, modificable y gratuita".
(El párrafo anterior ha sido extraído literalmente de la web de la Open Education Week)
La rotación de Rodrigues es un procedimiento analítico matricial, fácil y cómodo que permite rotar, un ángulo θ, un vector v tridimensional alrededor de otro vector unitario k = (kx, ky, kz). La expresión matricial de este giro es la siguiente:
Su deducción puede realizarse mediante planteamientos vectoriales geométricos como se aborda en este artículo o bien apoyándose en el trabajo con cuaterniones. Este trabajo de Rodrigues ha quedado algo relegado y opacado por los ángulos de Euler o más directamente por los parámetros de Euler mediante los que se obtiene la fórmula de Euler-Rodrigues que no es más que una parametrización especial de la fórmula de Rodrigues reflejada anteriormente.
En este artículo se busca mostrar la aplicación de esta rotación de Rodrigues visualizando gráficamente su efecto y, en particular, usando la rotación dar respuesta al problema de obtener el desarrollo plano de las caras que determinan un ángulo poliedro. Esto último lo utilizaremos, a modo de ejemplo, para mostrar el desarrollo plano animado de un icosaedro, así como el de cualquier cilindro generalizado.
En la siguiente escena interactiva se tiene acceso a siete opciones de menú que detallamos a continuación.
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Otra muestra de aplicación de la rotación de Rodrigues es la obtención automática del desarrollo plano de un cilindro generalizado ya que éste puede plantearse como el desarrollo plano de un prisma que se ajuste suficientemente al cilindro dado. En la animación siguiente se plantea el desarrollo plano de un cilindro generalizado en el que su base es la curva denominada bifolium.
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Este ejemplo y algunos más puede consultarse en la miscelánea "Ejemplos de cilindros generalizados" y también cada cual puede construir el cilindro generalizado que desee, obtener su respectivo desarrollo plano y construirlo físicamente con la miscelánea "Construyo mis cilindros".
"En la actualidad, las mujeres y niñas encuentran barreras de muchos tipos, a veces muy sutiles, que dificultan su presencia en la ciencia. Esta desigualdad es patente en la elección de los estudios por parte de las niñas y se va agudizando al avanzar en las carreras científicas y tecnológicas. Con el objetivo de lograr el acceso y la participación plena y equitativa en la ciencia para las mujeres y las niñas, la igualdad de género y el empoderamiento de las mujeres y las niñas, el 15 de diciembre de 2015, la Asamblea General de las Naciones Unidas proclamó el 11 de febrero de cada año como el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia".
El párrafo ha sido extraído literalmente del sitio web 11 de febrero, donde puedes encontrar toda la información relativa a esta importante fecha, a la que RED Descartes se suma animando a celebrar dicha efemérides, programando y realizando actividades en las aulas y aportando los recursos y experiencias disponibles en nuestros dominios.
Desde RED Descartes se difunde la enorme labor desarrollada, a lo largo de la historia, por la mujer en la ciencia, y muy especialmente en las ciencias matemáticas, físicas y químicas. Además, promovemos en nuestras aulas y divulgamos la ciencia que realizan nuestras alumnas desde los diversos proyectos que abordamos y que compartimos en este artículo para apoyar los objetivos del 11 de febrero.
LA MUJER EN LA CIENCIA |
"El personaje misterioso" es un programa de Radio Descartes conducido por Eva Perdiguero y Ángel Cabezudo con el objetivo de dar a conocer un poco más de cerca la parte humana de los personajes matemáticos famosos a lo largo de la historia. Concretamente, tras la entrevista del invitado, que no se desvela, el escuchante debería conocer su nombre o bien tomar los datos que se aportan en la dramatización y tomarse un tiempo para averiguarlo consultando en la múltiple documentación que hoy día se encuentra disponible, principalmente en Internet o en libros divulgativos de Historia de las Matemáticas o de Matemáticos célebres, pasando a responder en un comentario del blog de nuestro portal. Pues bien, de este proyecto hemos seleccionado las siguientes entrevistas a mujeres matemáticas de la historia, cuyas voces son interpretadas por mujeres científicas del ámbito educativo. Así, aportamos los siguientes recursos:
Para descubrir al personaje misterioso, se publica un puzle creado con Descartes JS que incluye imágenes alusivas, alegóricas o de efemérides que descubren al personaje:
CONTRIBUCIONES DE ALUMNAS A LA CIENCIA |
Son varios los proyectos difundidos desde el portal de RED Descartes donde las alumnas son protagonistas y divulgadoras de la ciencia, especialmente de la matemática. Así, del proyecto para el "desarrollo de la comunicación audiovisual a través de las matemáticas con Descartes", hemos seleccionado con motivo del día 11 de febrero las siguientes contribuciones y aportaciones de alumnas a la ciencia:
"La radio ficción en el aula de matemáticas" es otro de los proyectos difundidos en el portal de RED Descartes, del que hemos seleccionado las siguientes contribuciones de alumnas a la ciencia:
Finalmente, del proyecto "El alumnado como generador de contenido multimedia con Descartes JS" hemos realizado la siguiente selección de producciones en las que participan alumnas:
JUEGO DIDÁCTICO SOBRE MUJERES CIENTÍFICAS |
El juego es una de las estrategias didácticas de gran valor que motiva a nuestro alumnado y que se potencia con las tecnologías de la información y la comunicación. Así que os dejamos el que ha creado nuestro compañero Jesús M. Muñoz Calle, del proyecto Aplicación de Juegos Didácticos en el Aula, para difundir algunos de los decubrimientos y avances científicos gracias a la mujer, con algunas capturas de pantalla por si fueran necesarias.