En este artículo se presentan dos misceláneas del Proyecto Descartes relacionadas con el cálculo de integrales dobles utilizando cambios de variable. En una de ellas se incluyen diferentes ejemplos que muestran la interpretación geométrica del jacobiano y en la otra se puede practicar con el cálculo de integrales dobles sobre dominios descritos en coordenadas polares.
Acceso a la miscelánea: Interpretación geométrica del jacobiano.
Cuando en una integral doble o triple se realiza un cambio de variable, además de expresar la función y el dominio de integración en las nuevas coordenadas, se debe introducir en el integrando un factor que se corresponde con el valor absoluto del jacobiano de la transformación. Este término juega un papel equivalente al que tendría la derivada x'(t) cuando en una integral simple de una función de una variable x se realiza un cambio de la forma x=x(t) y se sustituye dx por x'(t)dt.
La miscelánea Interpretación geométrica del jacobiano incluye distintos ejemplos que justifican el papel del jacobiano como factor de escala entre las áreas o volúmenes de un dominio y su transformado cuando se realiza un cambio de variable.
En el siguiente video se explica el funcionamiento de esta miscelánea.
Acceso a la miscelánea: Integral doble sobre dominios en polares.
El cambio a coordenadas polares resulta especialmente útil en el cálculo de integrales dobles cuando la región cuenta con alguna simetría radial y/o la función de integración tiene una expresión más simple en estas coordenadas.
Plantear integrales utilizando estas coordenadas exige describir adecuadamente el dominio en las nuevas variables e introducir el jacobiano de la transformación. En la miscelánea Integral doble en dominios en polares se puede practicar con distintas regiones delimitadas por curvas en polares así como con el cálculo de las integrales iteradas que resultan.
En el siguiente video se ilustra las opciones y el funcionamiento de la miscelánea.
En este artículo se presentan dos misceláneas del Proyecto Descartes que abordan el tema de la integración de funciones de dos variables. En una de ellas se introduce la definición de integral doble y en la otra se practica con su cálculo cuando el dominio de integración es un dominio plano regular.
En el siguiente video se explica la utilización de la primera de las escenas que tiene por objetivo comprender el concepto de integral doble de una función de dos variables sobre un rectángulo. Además, la miscelánea permite experimentar con la aproximación que proporciona la suma de Riemann dada una partición y visualizar la interpretación geométrica de la integral doble cuando se considera una función positiva.
Acceso a la miscelánea: Sumas de Riemann sobre rectángulos
Con la segunda miscelánea se puede practicar el cálculo de integrales dobles de funciones de dos variables sobre dominios regulares, es decir, sobre dominios planos que pueden describirse mediante franjas horizontales y/o franjas verticales.
El video muestra las posibilidades de la escena para definir un dominio regular y para plantear, a partir de la descripción establecida, las integrales iteradas que permiten calcular la integral doble. Para el cálculo de estas integrales se precisa tener conexión a internet.
Acceso a la miscelánea: Integral doble sobre dominios regulares
En la Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito y bajo la coordinación de la profesora Ana Alicia Guzmán Castro el presidente de RED Descartes, el Dr. José R. Galo Sánchez, ha impartido la conferencia "Estrategias metodológicas que pueden contribuir a desarrollar competencias en las asignaturas de matemáticas. El caso de la RED DESCARTES."
La presentación usada en la conferencia fue la siguiente:
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El contenido se desglosó en varios bloques cuya síntesis se detalla a continuación y en las diapositivas hay hiperenlaces ligados al icono que dan acceso a las páginas y recursos utilizados:
"Comprensión matemática con material manipulativo" es el título del Proyecto de Innovación (PIN-068/19) aprobado recientemente por la Consejería de Educación y Deporte de la Junta de Andalucía para la formación del profesorado en matemáticas durante el curso 2019/2020, bajo la coordinación de Mari Ángeles Armario, maestra de PT en el CEIP "José Cortines Pacheco" de Lebrija (Sevilla). La experiencia se desarrolla en un aula que se ha dotado de material didáctico y sobre una propuesta de Manuel Muñoz Cañadas, maestro jubilado con trayectoria de continua renovación en el sistema educativo durante cuarenta años de servicio, que imparte cursos de formación a través del CEP de Lebrija, antiguo miembro del MCEP (Movimiento Cooperativo de Escuela Popular), ha formado parte de la plantilla del CEIP "José Cortines Pacheco", es socio de RED Descartes y ha sido solicitado por su claustro como colaborador para mejorar la práctica educativa de las matemáticas.
Se sitúa la experiencia en el CEIP "José Cortines Pacheco" de Lebrija durante el curso escolar 2018/19. Interviene todo el profesorado de infantil y primaria que imparte el área curricular de matemáticas. Insistimos en indicar que se ha formado un aula específica con el material didáctico que va a ser empleado en las diferentes sesiones. Todos los grupos del alumnado, desde infantil 4 años hasta 6º de primaria, realizan en esa aula una sesión de las destinadas a su horario semanal.
El material didáctico básico empleado se compone de regletas, bloques multibase, instrumentos de medición (cinta métrica, balanza, vasos de medida de capacidad, envases comerciales...), pentominós, policubos, tangram, fracciones magnéticas, monedas y billetes didácticos, piezas de construcción, tarjetas de sumas, tarjetas de cantidades, tarjetas de unidades, decenas y centenas, plantillas cuadriculadas de 1cmx1cm, cuerpos geométricos y recursos interactivos en ordenadores portátiles y la PDI.
Se trata de comprender y resolver conceptos del currículo escolar a través del empleo de material manipulativo y estrategia acorde, bien de forma individual o cooperativa, resolviendo de forma natural, motivadora y comprensiva cualquier problema planteado, bien del entorno, construido a través de una situación creada o cualquier problema tradicional de texto siempre que se aborde con el material didáctico adecuado. Los docentes participantes en cada sesión son el asesor, que es quien plantea una situación con el material manipulativo y escrito, la persona que imparte matemáticas en el grupo y la maestra de PT. El objetivo principal es realizar una sesión práctica que contribuya a la formación de cada docente ampliando su concepción didáctica en matemáticas y generar el hábito de empleo de
materiales necesarios para afrontar los conceptos. Así mismo, se trataría de prolongar esta forma natural de trabajo al resto de sesiones del horario de matemática de las que dispone con su alumnado.
En el vídeo de esta semana presentamos una actividad de geometría que pertenece al subproyecto Misceláneas de la RED.
El proyecto Misceláneas agrupa una serie de escenas independientes que tratan aspectos muy variados de currículo de Matemáticas. Estas escenas se pueden utilizar para completar, ampliar o reforzar el trabajo del estudiante en su formación.
Los materiales están agrupados por temas o por niveles. En la clasificación por temas encontramos un apartado de juegos que incluye una serie de escenas realizadas a partir de juegos matemáticos.
En el siguiente vídeo vamos a ver las actividades propuestas en la unidad Tangram clásico, una serie de actividades de geometría que se proponen a partir del conocido juego del Tangram.
Después de una pequeña explicación del juego, se plantean una serie de actividades:
Un juego de construcción de figuras
Construcción de un Tangram sobre una cartulina
Construcción de diferentes figuras geométricas con las piezas del Tangram
Cálculo del área de las piezas construidas
Ejercicio del tipo “completar huecos”
Cuestionario de cálculo medidas de lados y ángulos